1.
Сформулировать определение первообразной
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Функцию
2.
Сформулировать определение неопределѐнного интеграла
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Множество всех первообразных функции f(x) в некотором промежутке называют неопределенным интегралом от этой функции в данном промежутке и
обозначают
При этом символ
называют знаком интеграла, f(x)-подынтегральной функцией, f(x)dx-подынтегральным выражением, x-переменной
интегрирования.
3.
Сформулировать определение определенного интеграла
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Определѐнным интегралом функции f(x) на отрезке [a,b] называют предел I интегральных сумм, при стремлении максимального шага разбиения этого
отрезка к нулю. Определѐнный интеграл обозначают
4.
Сформулировать определение интеграла с переменным верхним пределом
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Пусть функция f(x) определена на бесконечном полуинтервале и интегрируема на любом конечном отрезке [a,b]. Тогда в полуинтервале
как определенный интеграл с переменным верхним пределом
5.
Сформулировать определение несобственного интеграла 1 рода
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Предел функции
называют несобственным интегралом от функции f(x) первого рода и обозначают
6.
Сформулировать определение несобственного интеграла 2 рода
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Пусть функция f(x) определена в полуинтервале [a,b) и неограничена при Предел функции
называют
несобственным интегралом функции f(x) второго рода и обозначают
7.
Сформулировать определение сходящегося несобственного интеграла 1 рода
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Если существует и конечен предел функции
, то данный несобственный интеграл называют сходящимся
8.
Сформулировать определение абсолютно сходящегося несобственного интеграла 1 рода
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Если наряду с несобственным интегралом от функции f(x) по бесконечному промежутку сходится и интеграл по этому промежутку от функции
|f(x)|, то первый интеграл называют сходящимся абсолютно и говорят об абсолютной сходимости несобственного интеграла по бесконечному промежутку.
9.
Сформулировать определение условно сходящегося несобственного интеграла 1 рода
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Если несобственный интеграл от функции f(x) по промежутку сходится, а интеграл от функции |f(x)| по этому промежутку расходится, то первый
интеграл называют сходящимся условно.
10.
Сформулировать определение сходящегося несобственного интеграла 2 рода
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Если существует и конечен предел функции
, то данный несобственный интеграл называют сходящимся
11.
Сформулировать определение абсолютно сходящегося несобственного интеграла 2 рода
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Если несобственный интеграл от неограниченной при сходится и сходится интеграл от функции |f(x)| по этому же
промежутку, то первый интеграл называют сходящимся абсолютно.
12.
Сформулировать определение условно сходящегося несобственного интеграла 2 рода
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Если несобственный интеграл от неограниченной при сходится, а интеграл от функции |f(x)| по этому же
промежутку расходится, то первый интеграл называют сходящимся условно.
1.
Сформулировать и доказать теорему об оценке определенного интеграла
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Теорема: Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a,b], а также
.
Доказательство: По условию
Умножая все части этого неравенства на
Так
как определѐнный интеграл линеен и при
, то справедливость условия теоремы очевидна.
2.
Сформулировать и доказать теорему о среднем
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Теорема: Если определенная на отрезке [a,b] функция f(x) имеет на нем первообразную F(x), то существует такая точка
Доказательство: Согласно определению первообразной, F’(x)=f(x), , т.е. функция F(x) дифференцируема, а значит и непрерывна на отрезке [a,b].
Поэтому она удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, и можно записать
3.
Сформулировать и доказать теорему о производной интеграла с переменным верхним пределом
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Теорема: Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b] и непрерывна в некоторой точке x этого отрезка. Тогда функция
дифференцируема в точке
Доказательство: Достаточно доказать что
Оценим сверху модуль выражения под знаком предела в левой части
равенства; имеем
Так как по условию
функция f непрерывна в точке х, то для любого , такое, что при любом
выполняется неравенство
. Поэтому для
указанных t
Это означает справедливость (*).
4.
Сформулировать и доказать теорему Ньютона - Лейбница
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и Ф(х) – какая-либо первообразная этой функции на указанном отрезке, то
Доказательство: Одной из первообразных функции f(x) является
две первообразные функции f(x) различаются не более чем на
константу, т.е.
При x=b получаем требуемую формулу.
Теорема доказана.
5.
Сформулировать и доказать теорему об интегрировании по частям и определѐнном интеграле
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Теорема: Пусть функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a,b]. Тогда
Доказательство: Рассмотрим функцию
Следовательно,
функция F(x) – первообразная для u(x)v'(x). По формуле Ньютона-Лейбница получаем что
Теорема доказана.
6.
Сформулировать и доказать признак сходимости по неравенству для несобственных интегралов 1 рода
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Теорема: Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на любом отрезке
. Тогда если сходится несобственный
интеграл
, то сходится и интеграл
, а если расходится несобственный интеграл
, то расходится и
Доказательство: Пусть сходится несобственный интеграл от функции g(x), тогда существует конечный предел
Поскольку по
условию теоремы
, то
Согласно условию теоремы и свойству 8 определѐнного интеграла,
. Так как
то функция
монотонно возрастает и ограничена сверху значением с. Следовательно, такая
функция имеет предел, и
, что означает сходимость несобственного интеграла
.
Второе утверждение теоремы доказывается от противного. Предположим, что интеграл от функции g(x) сходится. Но тогда, как только что было доказано,
сходится и интеграл от функции f(x), что противоречит условию теоремы.
7.
Сформулировать и доказать предельный признак сравнения для несобственных интегралов 1 рода
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Теорема: Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на любом отрезке
Если существует конечный
положительный предел
либо оба сходятся, либо оба расходятся
Доказательство: В теореме содержатся четыре утверждения. Докажем лишь одно из них: если интеграл
сходится, то сходится и интеграл
Возьмѐм
, тогда при всех
Так как
то при всех
указанных х выполняется неравенство
На основании теоремы о признаке сравнения получаем, что сходится интеграл
а тогда
сходится и интеграл
. Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично.
8.
Сформулировать и доказать признак абсолютной сходимости для несобственных интегралов 1 рода
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Теорема: Если интеграл
сходится абсолютно, тон он сходится.
Доказательство: Для любого
Следовательно, по признаку сравнения сходится интеграл
Но тогда сходится и интеграл
. Теорема доказана.
9.
Вывести формулу для вычисления площади криволинейного сектора, ограниченного лучами
.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Для вычисления площади криволинейного сектора рассмотрим разбиение
. Предположив, что
непрерывна на рассматриваемом отрезке, напишем неравенство
где Si – площадь криволинейного сектора, отвечающего
изменению
соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на указанном частичном отрезке
разбиения. Предполагаем дополнительно, что
Суммируя неравенства по i=1,2…n получим, что для площади S
рассматриваемого криволинейного сектора справедливо неравенство
. Переходя здесь к пределу при
получаем требуемую формулу:
10.
Вывести формулу для вычисления длины дуги графика функции
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Производная переменной длины дуги вычисляется по формуле:
Т.к. одной из первообразных функции из правой части этого
равенства является
, то отсюда, поскольку F(a)=0, следует равенство
. Поэтому для длины
всей кривой имеем формулу
. Если кривая Г задана явно уравнением
, то, беря х в качестве параметра,
получаем формулу
.
