1.
Сформулировать определение общего решения ОДУ n-го порядка
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Для ОДУ вида
, где х – независимая переменная, у = неизвестная функция,
– производные соответствующих порядков,
решением называется функция
, заданная на некоторой области D (n+1)-мерного пространства переменных
. Условие: при любых
фиксированных С, для которых существует хотя бы один интервал I такой, что точка
лежит в области D, данная функция является решением
данного уравнения на любом таком интервале.
2.
Сформулировать определение задачи Коши для ОДУ n-го порядка
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Задача решения уравнения
, удовлетворяющего начальным условиям
, называется
задачей Коши
3.
Сформулировать определение линейного ОДУ n-го порядка
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Линейным ДУ n порядка называется уравнение вида
где функции а1(x)…аn(x), b(x) определены и непрерывны на
некотором промежутке I числовой прямой.
4.
Сформулировать определение линейной зависимости и независимости системы функций на промежутке
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Система функций
заданная на промежутке I, называется линейно зависимой (независимой), если существует (не существует)
нетривиальная равная нулю линейная комбинация этих функций
.
5.
Сформулировать определение определителя Вронского системы функций
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Если система функций
заданных на промежутке I, состоит из n-1 раз дифференцируемых функций, то определителем Вронского этой системы
называют определитель
6.
Сформулировать определение фундаментальной системы решений линейного однородного ОДУ
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Фундаментальной системой решений линейного однородного ДУ называется базис решений этого уравнения. Если
ФСР линейного
однородного ДУ, то общее решение можно записать в виде
где С – произвольные постоянные.
7.
Сформулировать определение характеристического уравнения линейного ОДУ с постоянными коэффициентами
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Характеристическим уравнением линейного ОДУ с постоянными коэффициентами
является уравнение
.
1.
Сформулировать и доказать теорему о вронскиане системы линейно зависимых функций
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Теорема: Если система n-1 раз дифференцируемых на промежутке I функций линейно зависима, то определитель Вронского этой системы функций
тождественно равен нулю.
Доказательство: Т.к. функции
линейно зависимы, то существует нетривиальная комбинация этих функций, тождественно равная нулю:
Дифференцируя это равенство n-1 раз, получим
. Столбцы определителя Вронского рассматриваемой системы
функций линейно зависимы, и следовательно, определитель равен нулю.
2.
Сформулировать и доказать теорему о вронскиане системы линейно независимых частных решений линейного однородного ОДУ
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Теорема: Пусть
- линейно независимая система решений уравнения
, где
- функции, непрерывные на
промежутке I. Тогда определитель Вронского этой системы решений не равен нулю ни в одной точке промежутка I.
Доказательство: Пусть вопреки утверждению теоремы в некоторой точке
. Из этого равенства следует,
что столбцы определителя W(x0) линейно зависимы, т.е. существует нетривиальный набор чисел
такой, что
.
Рассмторим функцию
; по теореме о пространстве решений линейного ОДУ эта функция есть решение уравнения. Функция,
тождественно равная нулю на промежутке I, также удовлетворяет этому уравнению и начальным условиям. ПО теореме существования и единственности
получаем, что
, т.е. существует нетривиальная равная нулю линейная комбинация функий
, что противоречит линейной независимости этих
функций. Полученное противоречие доказывает теорему.
3.
Сформулировать и доказать теорему о существовании ФСР линейного однородного ОДУ n порядка
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Теорема: Для любого линейного однороднго дифференциального уравнения порядка n существует ФСР.
Доказательство: Рассмотрим определитель
Построим n частных решений, удовлетворяющих в некоторой точке x0 следующим
начальным условиям:
. Таким образом, система решений
– линейно независимая система
решений, и значит образует ФСР.
4.
Сформулировать и доказать теорему о структуре общего решения линейного однородного ОДУ n порядка
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Теорема: Пусть имеется дифференциальное уравнение
, где функции a1(x)…an(x) определены и непрерывны на
промежутке I. Тогда совокупность всех решений этого уравнения есть линейное пространство размерности n.
Доказательство: То, что совокупность Х всех решений данного дифференциального уравнения образует линейное пространство доказано в теореме о
линейном пространстве решений линейного однородного уравнения. Чтобы доказать, что dim X=n, достаточно указать в Х базис из n векторов. Рассмотрим
решения
данного дифференциального уравнения, удовлетворяющие начальным условиям
, где х0 – произвольная точка промежутка I. Существование таких решений следует из
теоремы существования и единственности. Решения эти линейно независимы, т.к. определитель Вронского данной системы не равен нулю. Далее, если y(x) –
произвольное решение рассматриваемого уравнения, и если
, то в точке х0 выполняются равенства
. Поэтому по теореме существования и единственности,
при любом Таким образом,
образуют в Х базис и dimX=n. Теорема доказана.
5.
Сформулировать и доказать теорему о структуре общего решения линейного неоднородного ОДУ n порядка
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Теорема: Общее решение уравнения
может быть записано в виде
,
где y0(x) – частное решение уравнения, а у1…уn – ФСР соответствующего однородного уравнения; С – произвольные постоянные.
Доказательство: Уравнение ЖЖ с помощью дифференциального оператора можно записать
; соответствующее однородное уравнение
запишется в виде
. Применяя этот дифференциальный оператор к (2), получим:
, и при
любых С функция у, определяемая равенством (2) является решением уравнения.
Проверим теперь, что при соответствующем подборе констант С можно получить решение, удовлетворяющее любым начальным условиям
. Для определения констант С имеем систему
. Определитель этой системы
, т.к. у1,…уn – ФСР однородного уравнения, соответствующего уравнению (1). Поэтому требуемый набор
постоянных С существует. Теорема доказана.
6.
Сформулировать и доказать теорему о наложении частных решений линейного неоднородного ОДУ
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Теорема: Пусть имеются два линейных неоднородных уравнения
;, где
, и пусть - решения эих
уравнений. Тогда будет решением уравнения
.
Доказательство:
, т.е. y1+y2 - решение уравнения
Теорема доказана.
7.
Сформулировать и доказать свойства частных решений линейного однородного ОДУ
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
//замечание автора: вот тут я абсолютно ниипу что имеется в виду, по идее это то что я доказываю v, однако в нескольких местах ещѐ встречал
вдобавок кэтому и теоремы про определитель вронского для линейно зависимых\независимых
Теорема: Совокупность всех решений линейного однородного уравнения n порядка образует линейное пространство.
Доказательство: Уравнение
при можно записать в виде
. Если у,у1,у2 – произвольные решения этого
уравнения и – вещественное число, то в силу линейности оператора L имеем, где
, где
обозначает функцию, тождественно
равную нулю на промежутке I. Мы видим, что у1+у2 и ау – также решения уравнения. Прочие условия из определения линейного пространства также
проверяются без труда. Поэтому совокупность решений уравнения образует линейное пространство.
8.
Вывести формулу Остроградского – Лиувилля для линейного ОДУ 2 порядка
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Пусть
- решения линейного ОДУ второго порядка
. Для определителя Вронского указанных решений имеем
Определитель Вронского удовлетворяет уравнению
. Непосредственной проверкой можно убедиться, что этому же уравнению
удовлетворяет и функция
, причем
где х0 – произвольная точка промежутка I. Из теоремы существования и
единственности для уравнения
получаем что для всех выполняется равенство
. Данное равенство называется
формулой Остроградского-Лиувилля.
9.
Вывести формулу для общего решения линейного однородного ОДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами в случае простых действительных
корней характеристического уравнения
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Рассмотрим линейное ОДУ
где а1 и а2 – вещественные числа. Характеристическое уравнение имеет вид
Пусть корни характеристического уравнения вещественны и различны, Тогда ФСР дифференциального уравнения образуют функции
Определитель Вронского данной системы
Таким образом, у1 и у1 ЛНЗ и образуют ФСР данного ДУ.
10.
Вывести формулу для общего решения линейного однородного ОДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней
характеристического уравнения
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Рассмотрим линейное ОДУ
где а1 и а2 – вещественные числа. Характеристическое уравнение имеет вид
Пусть характеристическое уравнение имеет один вещественный корень кратности 2, этого уравнения образуют функции
а общее решение уравнения -
Т.к. 0 – корень кратности 2 характеристического уравнения, то
Далее
Отсюда
- решение дифференциального уравнения. Определитель Вронского (//комментарий автора: аналогично ^ ) не равен нулю, и у1 и у2 образуют
ФСР ДУ.
11.
Вывести формулу для общего решения линейного однородного ОДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами в случае кратных корней
характеристического уравнения
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Рассмотрим линейное ОДУ
где а1 и а2 – вещественные числа. Характеристическое уравнение имеет вид
Пусть характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни
Тогда ФСР ДУ имеет вид
общее решение запишется как
Здесь в проверке нуждается лишь линейная независимость решений у1 и у2. Имеем
. Поэтому у1 и у2
линейно независимы и образуют ФСР.
12.
Описать метод Лагранжа вариации произвольных постоянных для линейного неоднородного ОДУ 2-го порядка и вывести систему соотношений для
варьируемых переменных
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Пусть y1,…,yn – ФСР однородного уравнения
Тогда частное решение неоднородного уравнения
можно записать в виде
, где функции
определяются из системы
. Т.к.
определитель
, то из этой системы
определяются однозначно, а сами функции
– с точностью до произвольных
постоянных. Если в (1) подставить именно эти функции, то получаем частное решение дифференциального уравнения.
Докажем последнее утверждение для n=2. Уравнение в этом случае имеет вид
, где a1,a2,b – непрерывные на некотором
промежутке функции. Частное решение данного уравнения ищем в виде
, где y1, y2 – фундаментальная система решений однородного
уравнения
, а C1=C1(x), C2=C2(x) – подлежащие определению функции. Предположим, что они удовлетворяют системе:
. Тогда
. Отсюда
, т.е.
, и наше утверждение доказано.
