Билет 10
Принцип суперпозиции для электростатических полей. Примените его к расчёту напряжённости
электростатического поля на оси и в центре кольца
Энергия и импульс электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга. Теорема Пойнтинга.
Дифракционная решетка содержит n = 200 штрихов на миллиметр длины. Найти зависимость
угловой дисперсии решетки от длины волны в первом порядке дифракции, если свет падает на
решетку под углом θ = 45° к нормали.
ля дифракционной решётки, на которую свет падает под углом 𝜃к нормали, условие главных
максимумов имеет вид:
𝑑(sin&𝜑−sin&𝜃)=𝑚𝜆,
&
где:
• 𝑑— период решётки (расстояние между штрихами),
• 𝜃— угол падения (от нормали),
• 𝜑— угол дифракции (от нормали),
• 𝑚— порядок спектра,
• 𝜆— длина волны.
Знак «минус» используется, если падающий и дифрагированный лучи находятся по разные стороны
от нормали. Здесь принимаем стандартную форму, где при 𝜃=0получаем обычное 𝑑sin&𝜑=𝑚𝜆.
Учитывая, что в условии угол падения 𝜃=45
∘
— задан от нормали, и не уточнено направление,
будем использовать общепринятую форму:
𝑑(sin&𝜑+sin&𝜃)=𝑚𝜆
&
— если падающий и дифрагированный лучи по одну сторону от нормали (часто так записывают
при наклонном падении). Однако, чтобы избежать путаницы, лучше использовать универсальную
форму:
𝑑(sin&𝜑−sin&𝜃
1
)=𝑚𝜆,
&
где 𝜃
1
— угол падения, и знак зависит от направления отсчёта. Но для угловой дисперсии результат
будет одинаковым по модулю, так как мы будем дифференцировать.
Для определённости примем:
𝑑(sin&𝜑−sin&𝜃)=𝑚𝜆,𝜃=45
∘
,𝑚=1.
&
Угловая дисперсия определяется как:
𝐷=
𝑑𝜑
𝑑𝜆
.&
Продифференцируем условие дифракции по 𝜆:
𝑑cos&𝜑⋅
𝑑𝜑
𝑑𝜆
=𝑚⇒
𝑑𝜑
𝑑𝜆
=
𝑚
𝑑cos&𝜑
.&
Но 𝜑— функция 𝜆, поэтому чтобы выразить 𝐷явно через 𝜆, нужно исключить 𝜑.
Из условия дифракции при 𝑚=1:
sin&𝜑=
𝜆
𝑑
+sin&𝜃.&
Тогда:
cos&𝜑=
y
1−sin&
"
𝜑=
z
1−{
𝜆
𝑑
+sin&𝜃|
"
.&
Следовательно, угловая дисперсия в первом порядке:
𝐷(𝜆)=
𝑑𝜑
𝑑𝜆
=
1
𝑑
}
1−
~
𝜆
𝑑
+sin&𝜃
•
"
.&
Найдём 𝑑:
Решётка имеет 𝑛=200штрихов на 1 мм ⇒
𝑑=
1 мм
200
=
10
()
м
200
=5⋅10
(*
м =5000 нм.&
sin&𝜃=sin&45
∘
=
√
"
"
≈0.7071.
Подставим в выражение:
𝐷(𝜆)=
1
𝑑
z
1−b
𝜆
𝑑
+
√
2
2
d
"
.&
Можно оставить в таком виде, либо упростить:
𝐷(𝜆)=
1
𝑑
}
1−
~
𝜆
𝑑
+sin&45
∘
•
"
&
с 𝑑=5⋅10
(*
м.
Важно: выражение под корнем должно быть положительным, то есть
∣
𝜆
𝑑
+sin&45
∘
∣<1⇒𝜆<𝑑(1−sin&45
∘
)≈5000⋅(1−0.7071)≈1465 нм.&
Так что формула применима для 𝜆≲1.46 𝜇м , что включает
видимый и ближний ИК диапазон.
✅
Окончательный ответ:
𝑑𝜑
𝑑𝜆
=
1
𝑑
z
1−b
𝜆
𝑑
+
√
2
2
d
"
,где 𝑑=5⋅10
(*
м &
