Билет 12
Электрический диполь в электростатическом поле. Силы, действующие на диполь.
Поляризация диэлектриков. Электростатическое поле в диэлектрике. Поляризованность.
Из уравнений Максвелла получите волновое уравнение для плоской электромагнитной волны,
запишите его общее решение. Скорость
В однородном магнитном поле, индукция которого 0,25 Тл, находится плоская катушка радиусом 25
см, содержащая 75 витков. Плоскость катушки составляет угол 60° с направлением вектора индукции.
Определить вращающий момент, действующий на катушку в магнитном поле, если по виткам течёт
ток силой 3 А. Какую работу надо совершить, чтобы удалить катушку из магнитного поля.
Дано:
• 𝐵=0,25 Тл
• 𝑟=25 см =0,25 м
• 𝑁=75
• 𝐼=3 А
• Угол между плоскостью катушки и вектором 𝐵
"
#
равен 60
∘
Важно: угол в формуле для магнитного момента — это угол 𝛼между нормалью к
плоскости катушки и вектором 𝐵
"
#
.
Если плоскость составляет 60
∘
с 𝐵
"
#
, то нормаль — 90
∘
−60
∘
=30
∘
с 𝐵
"
#
.
Следовательно, 𝛼=30
∘
.
1. Вращающий момент
Магнитный момент катушки:
𝑝
#
=𝑁𝐼𝑆,𝑆=𝜋𝑟
"
=𝜋 (0,25)
"
=0,19635 м
"
&
𝑝
#
=75⋅3⋅𝜋 (0,25)
"
=225⋅𝜋⋅0,0625=225⋅0,19635
≈44,18 А\cdotpм
"
&
Вращающий момент:
𝑀=𝑝
#
𝐵sin&𝛼=𝑁𝐼𝑆𝐵sin&30
∘
&
𝑀=75⋅3⋅𝜋(0,25)
"
⋅0,25⋅
1
2
&
Вычислим по частям:
• 𝑆=𝜋⋅0,0625≈0,19635
• 𝑁𝐼𝑆𝐵=75⋅3⋅0,19635⋅0,25≈11,045
• Умножаем на sin &30
∘
=0,5:
𝑀≈11,045⋅0,5≈5,52 Н\cdotpм
Точнее в символах:
𝑀=𝑁𝐼𝜋𝑟
"
𝐵⋅
1
2
=
1
2
⋅75⋅3⋅𝜋⋅(0,25)
"
⋅0,25&
=
1
2
⋅225⋅𝜋⋅0,0625⋅0,25=
225𝜋
2
⋅0,015625≈5,52 Н\cdotpм
✅ Вращающий момент: 𝑀≈5,52 Н\cdotpм
2. Работа по удалению катушки из поля
Работа равна изменению потенциальной энергии магнитного диполя в поле:
𝑊=Δ𝑈=𝑈
нач
−𝑈
кон
&
В однородном поле энергия: 𝑈=−𝑝#
#
⋅𝐵
"
#
=−𝑝
#
𝐵cos&𝛼
При удалении из однородного поля в область, где 𝐵=0, конечная энергия 𝑈
кон
=0.
Начальная энергия:
𝑈
нач
=−𝑝
#
𝐵cos&𝛼=−𝑁𝐼𝑆𝐵cos&30
∘
&
Тогда работа внешних сил:
𝐴=0−𝑈
нач
=𝑁𝐼𝑆𝐵cos&30
∘
&
𝐴=75⋅3⋅𝜋(0,25)
"
⋅0,25⋅
√
3
2
&
Вычислим:
• 𝑁𝐼𝑆𝐵=11,045(см. выше)
• cos&30
∘
=
√
3/2≈0,866
• 𝐴≈11,045⋅0,866≈9,57 Дж
✅ Работа: 𝐴≈9,57 Дж
✅
Ответ:
• Вращающий момент: 5,5 Н\cdotpм
• Работа по удалению: 9,6 Дж
(с округлением до двух значащих цифр — можно уточнить по требованию)
