Ты сейчас на экзамене по физике. Отвечай чётко 1) Работа силы. Кинетическая энергия. Связь работы и изменения кинетической энергии. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. 2) Барометрическая формула. Распределение Больцмана
Thought for 17 seconds

Отвечаю четко по пунктам, как требуется на экзамене по физике.

1) Работа силы. Кинетическая энергия. Связь работы и изменения кинетической энергии. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

  • Работа силы: Скалярная величина, равная интегралу скалярного произведения вектора силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения вдоль траектории:
    A = ∫(F·dr) от 1 до 2 или для постоянной силы и прямолинейного перемещения: A = F·S·cosα.

  • Кинетическая энергия (поступательного движения): Скалярная мера энергии движения материальной точки массы m, движущейся со скоростью v:
    K = (m·v²)/2.

  • Связь работы и изменения кинетической энергии (Теорема о кинетической энергии): Работа равнодействующей всех сил, приложенных к материальной точке (или поступательно движущемуся телу), равна изменению ее кинетической энергии:
    A = ΔK = K₂ - K₁ = (m·v₂²)/2 - (m·v₁²)/2.

  • Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси: Кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий всех его материальных точек. Для вращения вокруг неподвижной оси OZ с угловой скоростью ω:
    K = (J_z·ω²)/2.
    Где J_z = Σ(m_i·r_i²) - момент инерции тела относительно оси вращения OZ (сумма произведений масс материальных точек тела на квадраты их расстояний до оси вращения).

2) Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

  • Барометрическая формула: Описывает зависимость давления идеального газа P от высоты h в однородном поле тяжести (g=const) при постоянной температуре T:
    P = P₀·exp(-(m₀·g·h)/(kT)).
    Где:

    • P₀ - давление на нулевом уровне (h=0),

    • m₀ - масса одной молекулы газа,

    • g - ускорение свободного падения,

    • h - высота над нулевым уровнем,

    • k - постоянная Больцмана,

    • T - абсолютная температура.

    • Физический смысл: Давление убывает с высотой экспоненциально из-за уменьшения плотности газа (количества молекул в единице объема) в поле тяжести.

  • Распределение Больцмана (в общем виде): Описывает распределение частиц (атомов, молекул) идеального газа по координатам и скоростям в произвольном потенциальном силовом поле U(x, y, z). Вероятность dw обнаружить частицу в элементе объема dV = dx dy dz около точки с координатами (x, y, z) пропорциональна:
    dw ~ exp(-U(x, y, z)/(kT)) · dx dy dz

    • U(x, y, z) - потенциальная энергия частицы во внешнем поле в данной точке пространства.

    • k - постоянная Больцмана,

    • T - абсолютная температура.

  • Связь: Барометрическая формула является частным случаем распределения Больцмана для:

    1. Потенциального поля силы тяжести: U(h) = m₀·g·h

    2. Распределения по координатам (высоте h).

    3. Идеального газа.
      Подстановка U(h) = m₀·g·h в общее распределение Больцмана и учет связи плотности числа частиц n с давлением (P = nkT) приводит к барометрической формуле. Распределение Больцмана показывает, что в состоянии термодинамического равновесия концентрация частиц в точке с потенциальной энергией U пропорциональна exp(-U/(kT)).

В некотором сосуде содержится 1,204*10^23 молекул кислорода при температуре 0 градусов цельсия. Найдите изменение его энтропии в ходе изохорного нагрева до 150 градусов цельсия. Как изменился в ходе данного процесса статистический вес газа в сосуде?. Указание: при решении задачи вначале получите ответ в аналитическом виде и только после этого подставьте числа в полученные выражения
Thought for 26 seconds

Решение задачи

Дано:

  • Количество молекул кислорода: N=1.204×1023N = 1.204 \times 10^{23}

  • Начальная температура: t1=0∘C→T1=273Kt_1 = 0^\circ \text{C} \to T_1 = 273 \text{K}

  • Конечная температура: t2=150∘C→T2=423Kt_2 = 150^\circ \text{C} \to T_2 = 423 \text{K}

  • Процесс: изохорный (объем постоянен).

1. Находим изменение энтропии ΔS\Delta S
Аналитический вид:
Для изохорного процесса изменение энтропии идеального газа:

ΔS=νCvln⁡T2T1\Delta S = \nu C_v \ln \frac{T_2}{T_1}

где:

  • ν\nu — количество вещества,

  • CvC_v — молярная теплоемкость при постоянном объеме.

Кислород (O₂) — двухатомный газ. Его Cv=52RC_v = \frac{5}{2} R (3 поступательные + 2 вращательные степени свободы).
Число молей: ν=NNA\nu = \frac{N}{N_A}, где NA=6.02×1023моль−1N_A = 6.02 \times 10^{23} \text{моль}^{-1}.
Подставляем:

ΔS=NNA⋅52R⋅ln⁡T2T1\Delta S = \frac{N}{N_A} \cdot \frac{5}{2} R \cdot \ln \frac{T_2}{T_1}

Численный расчет:

  • ν=1.204×10236.02×1023=0.2моль\nu = \frac{1.204 \times 10^{23}}{6.02 \times 10^{23}} = 0.2 \text{моль},

  • ,

  • ln⁡T2T1=ln⁡423273=ln⁡1.549≈0.438\ln \frac{T_2}{T_1} = \ln \frac{423}{273} = \ln 1.549 \approx 0.438.

ΔS=0.2⋅52⋅8.314⋅0.438=0.2⋅2.5⋅8.314⋅0.438\Delta S = 0.2 \cdot \frac{5}{2} \cdot 8.314 \cdot 0.438 = 0.2 \cdot 2.5 \cdot 8.314 \cdot 0.438ΔS≈0.2⋅2.5⋅3.642≈0.2⋅9.105≈1.821Дж/К\Delta S \approx 0.2 \cdot 2.5 \cdot 3.642 \approx 0.2 \cdot 9.105 \approx \boxed{1.821} \text{Дж/К}

2. Находим изменение статистического веса Ω\Omega
Аналитический вид:
Связь энтропии и статистического веса (формула Больцмана):

S=kln⁡ΩS = k \ln \Omega

где k=1.38×10−23Дж/Кk = 1.38 \times 10^{-23} \text{Дж/К} — постоянная Больцмана.
Изменение энтропии:

ΔS=S2−S1=kln⁡Ω2−kln⁡Ω1=kln⁡Ω2Ω1\Delta S = S_2 - S_1 = k \ln \Omega_2 - k \ln \Omega_1 = k \ln \frac{\Omega_2}{\Omega_1}

Отсюда отношение статистических весов:

Ω2Ω1=eΔS/k\frac{\Omega_2}{\Omega_1} = e^{\Delta S / k}

Численный расчет:

  • ΔS=1.821Дж/К\Delta S = 1.821 \text{Дж/К},

  • k=1.38×10−23Дж/Кk = 1.38 \times 10^{-23} \text{Дж/К},

  • ΔSk=1.8211.38×10−23≈1.32×1023\frac{\Delta S}{k} = \frac{1.821}{1.38 \times 10^{-23}} \approx 1.32 \times 10^{23}.

Ω2Ω1=e1.32×1023\frac{\Omega_2}{\Omega_1} = e^{1.32 \times 10^{23}}

Это число колоссально велико (например, e10≈2.2×104e^{10} \approx 2.2 \times 10^4, а здесь показатель степени >1023> 10^{23}).

Ответ:

  1. Изменение энтропии: ΔS≈1.821Дж/К\Delta S \approx \boxed{1.821} \text{Дж/К}.

  2. Статистический вес газа увеличился в Ω2Ω1=e1.32×1023\dfrac{\Omega_2}{\Omega_1} = e^{1.32 \times 10^{23}} раз (чрезвычайно большое число).

New chat
DeepThink (R1)
Search
AI-generated, for reference only