Ты сейчас на экзамене по физике. Отвечай чётко 1) Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести (в общем случае и для однородного поля, с выводом) 2) Термодинамические потенциалы: энтальпия, свободная энергия Гельмгольца, энергия Гиббса
Thought for 15 seconds

Отлично, приступим к экзаменационным вопросам по физике. Отвечаю четко и по существу.

1) Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести

  • Общий случай (неоднородное поле, например, на больших расстояниях от Земли):

    • Потенциальная энергия (U) тела массой m в гравитационном поле, создаваемом телом массой M, зависит от расстояния r между их центрами масс.

    • Определение: Потенциальная энергия в данной точке поля равна работе, которую совершают консервативные силы гравитационного поля при перемещении тела из данной точки в точку, принятую за нуль отсчета потенциальной энергии (обычно r → ∞).

    • Формула:
      U(r) = -G * (m * M) / r
      где G — гравитационная постоянная.

    • Знак минус: Означает, что сила тяжести притягивающая. Работа силы притяжения при увеличении r положительна, а потенциальная энергия при удалении от источника поля возрастает (становится менее отрицательной), стремясь к нулю на бесконечности. Максимальное значение U (равное 0) достигается при r → ∞. Минимальное значение U — при наименьшем возможном r.

    • Связь с силой: Сила тяжести (F) связана с потенциальной энергией градиентом: F_vec = - grad U или для проекции на радиус-вектор: F_r = - dU/dr.

  • Однородное поле тяжести (вблизи поверхности Земли):

    • В этом случае ускорение свободного падения g считают постоянным, а силовые линии параллельными. Высота тела h над выбранным нулевым уровнем мала по сравнению с радиусом Земли.

    • Формула:
      U(h) = m * g * h

    • Вывод:

      1. Работа силы тяжести F_тяж = m * g при перемещении тела из точки 1 (на высоте h₁) в точку 2 (на высоте h₂) по любому пути зависит только от разности высот: A₁₂ = m * g * (h₁ - h₂).

      2. Работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии: A₁₂ = U₁ - U₂.

      3. Сопоставляя: U₁ - U₂ = m * g * (h₁ - h₂).

      4. Это равенство выполняется, если U(h) = m * g * h + C, где C — произвольная постоянная.

      5. Нулевой уровень: Выбирают условно (например, поверхность Земли, дно ямы, уровень моря). Приняв U = 0 при h = 0, получаем: U(h) = m * g * h.

    • Физический смысл: Потенциальная энергия m * g * h численно равна работе, которую совершит сила тяжести при падении тела с высоты h до нулевого уровня (или работе, которую нужно совершить против силы тяжести, чтобы поднять тело на высоту h от нулевого уровня).

2) Термодинамические потенциалы

Это функции состояния термодинамической системы, имеющие размерность энергии. Их частные производные по естественным переменным дают другие термодинамические параметры. Минимум потенциала в равновесии определяет условия устойчивого равновесия при фиксированных соответствующих параметрах.

  • 1. Энтальпия (H, тепловая функция, теплосодержание):

    • Определение: H = U + pV
      где U — внутренняя энергия, p — давление, V — объем.

    • Физический смысл: Полная "теплоэнергетическая" функция системы при постоянном давлении (p = const). Изменение энтальпии ΔH равно тепловому эффекту (Q_p) изобарного процесса: ΔH = Q_p (при p = const, W' = 0, где W' — полезная работа кроме работы расширения).

    • Полный дифференциал (естественные переменные S, p):
      dH = T * dS + V * dp
      Отсюда: T = (∂H/∂S)_p, V = (∂H/∂p)_S.

    • Условие равновесия: dH ≤ 0 при S = const, p = const (энтальпия стремится к минимуму).

  • 2. Свободная энергия Гельмгольца (F, A, изохорно-изотермический потенциал):

    • Определение: F = U - T S
      где T — абсолютная температура, S — энтропия.

    • Физический смысл: Часть внутренней энергии, которая может быть свободно преобразована в работу (отсюда "свободная") в изотермическом (T = const) процессе. Изменение ΔF равно максимальной полезной работе (A_max), которую может совершить система в изотермическом процессе: ΔF = -A_max (при T = const). Для процессов при V = const, T = const: ΔF ≤ 0 (процесс идет самопроизвольно).

    • Полный дифференциал (естественные переменные T, V):
      dF = -S * dT - p * dV
      Отсюда: S = - (∂F/∂T)_V, p = - (∂F/∂V)_T.

    • Условие равновесия: dF ≤ 0 при T = const, V = const (свободная энергия Гельмгольца стремится к минимуму).

  • 3. Энергия Гиббса (G, изобарно-изотермический потенциал, свободная энтальпия):

    • Определение: G = H - T S = U + p V - T S

    • Физический смысл: Часть энтальпии, доступная для преобразования в полезную работу (кроме работы расширения) в изотермически-изобарных процессах (T = const, p = const). Изменение ΔG равно максимальной полезной работе (A'_max), которую может совершить система в изобарно-изотермическом процессе: ΔG = -A'_max (при T = const, p = const). Критерий самопроизвольности: Для процессов при T = const, p = const: ΔG ≤ 0 (процесс идет самопроизвольно, если ΔG < 0; при ΔG = 0 система в равновесии). Имеет фундаментальное значение в химической термодинамике и фазовых переходах.

    • Полный дифференциал (естественные переменные T, p):
      dG = -S * dT + V * dp
      Отсюда: S = - (∂G/∂T)_p, V = (∂G/∂p)_T.

    • Условие равновесия: dG ≤ 0 при T = const, p = const (энергия Гиббса стремится к минимуму).

На однородный цилиндр действует момент силы M = η*t^3, где η - известная постоянная. Масса цилиндра m, а радиус R. Чему стала равной угловая скорость цилиндра через время τ, если вначале он покоился? Какую работу совершил момент силы за это время?
Thought for 25 seconds

1) Угловая скорость цилиндра через время τ:

  1. Основное уравнение динамики вращательного движения:
    Момент силы MM связан с угловым ускорением ε\varepsilon и моментом инерции II:

    M=I⋅εM = I \cdot \varepsilon

  2. Момент инерции однородного цилиндра относительно его оси симметрии:

    I=12mR2I = \frac{1}{2} m R^2

  3. Зависимость момента силы от времени:

    M=ηt3M = \eta t^3

  4. Находим угловое ускорение:

    ε=dωdt=MI=ηt312mR2=2ηmR2⋅t3\varepsilon = \frac{d\omega}{dt} = \frac{M}{I} = \frac{\eta t^3}{\frac{1}{2} m R^2} = \frac{2 \eta}{m R^2} \cdot t^3

  5. Находим угловую скорость интегрированием углового ускорения:
    Начальные условия: ω(0)=0\omega(0) = 0.

    ω(t)=∫0tε(t′)dt′=∫0t2ηmR2⋅(t′)3dt′\omega(t) = \int_{0}^{t} \varepsilon(t') dt' = \int_{0}^{t} \frac{2 \eta}{m R^2} \cdot (t')^3 dt' ω(t)=2ηmR2⋅∫0t(t′)3dt′=2ηmR2⋅[(t′)44]0t=2ηmR2⋅t44\omega(t) = \frac{2 \eta}{m R^2} \cdot \int_{0}^{t} (t')^3 dt' = \frac{2 \eta}{m R^2} \cdot \left[ \frac{(t')^4}{4} \right]_{0}^{t} = \frac{2 \eta}{m R^2} \cdot \frac{t^4}{4} ω(t)=ηt42mR2\omega(t) = \frac{\eta t^4}{2 m R^2}

  6. Угловая скорость в момент времени τ\tau:

    ω(τ)=ητ42mR2\boxed{\omega(\tau) = \frac{\eta \tau^{4}}{2 m R^{2}}}

2) Работа момента силы за время τ:

  1. Работа при вращательном движении:
    Работа момента силы MM вычисляется как интеграл:

    A=∫φ0φMdφA = \int_{\varphi_0}^{\varphi} M d\varphi

  2. Связь углового перемещения и времени:
    Угол φ\varphi связан с угловой скоростью ω\omega:

    ω=dφdt  ⟹  dφ=ωdt\omega = \frac{d\varphi}{dt} \implies d\varphi = \omega dt

    Подставляем в выражение для работы:

    A=∫0τM⋅ωdtA = \int_{0}^{\tau} M \cdot \omega dt

  3. Подставляем выражения для MM и ω\omega:

    M(t)=ηt3M(t) = \eta t^3 ω(t)=ηt42mR2\omega(t) = \frac{\eta t^4}{2 m R^2} A=∫0τ(ηt3)⋅(ηt42mR2)dt=∫0τη2t72mR2dtA = \int_{0}^{\tau} \left( \eta t^3 \right) \cdot \left( \frac{\eta t^4}{2 m R^2} \right) dt = \int_{0}^{\tau} \frac{\eta^{2} t^{7}}{2 m R^{2}} dt

  4. Вычисляем интеграл:

    A=η22mR2∫0τt7dt=η22mR2⋅[t88]0τ=η22mR2⋅τ88A = \frac{\eta^{2}}{2 m R^{2}} \int_{0}^{\tau} t^{7} dt = \frac{\eta^{2}}{2 m R^{2}} \cdot \left[ \frac{t^{8}}{8} \right]_{0}^{\tau} = \frac{\eta^{2}}{2 m R^{2}} \cdot \frac{\tau^{8}}{8} A=η2τ816mR2A = \frac{\eta^{2} \tau^{8}}{16 m R^{2}}

  5. Ответ для работы:

    A=η2τ816mR2\boxed{A = \frac{\eta^{2} \tau^{8}}{16 m R^{2}}}

Итоговые ответы:

  1. Угловая скорость цилиндра через время τ\tau:

    ω=ητ42mR2\boxed{\omega = \dfrac{\eta \tau^{4}}{2 m R^{2}}}

  2. Работа момента силы за время τ\tau:

    A=η2τ816mR2\boxed{A = \dfrac{\eta^{2} \tau^{8}}{16 m R^{2}}}
New chat
DeepThink (R1)
Search
AI-generated, for reference only