DeepSeek - Into the Unknown

Ты сейчас на экзамене по физике. Отвечай чётко 1) Преобразования Лоренца для координат и времени 2) Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний. Его решение

Thought for 13 seconds

Отвечаю четко, как требуется на экзамене:

1) Преобразования Лоренца для координат и времени

Пусть инерциальная система отсчета K' движется относительно системы K со скоростью $v$ вдоль оси $x$ . Координаты и время в системах связаны преобразованиями:

Прямые преобразования (K -> K'):
$\begin{align*} x' &= \gamma (x - v t) \\ y' &= y \\ z' &= z \\ t' &= \gamma \left(t - \frac{v}{c^2} x \right) \end{align*}$
Обратные преобразования (K' -> K):
$\begin{align*} x &= \gamma (x' + v t') \\ y &= y' \\ z &= z' \\ t &= \gamma \left(t' + \frac{v}{c^2} x' \right) \end{align*}$

где:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ — Лоренц-фактор,
$c$ — скорость света в вакууме.

2) Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний. Его решение

Дифференциальное уравнение:
$\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$
где:
- $x$ — колеблющаяся величина (смещение, заряд и т.д.),
- $\ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2}$ — вторая производная по времени (ускорение),
- $\omega_0$ — собственная циклическая частота колебаний.
Общее решение:
$x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi_0)$
или эквивалентно:
$x(t) = B \sin(\omega_0 t + \theta_0)$
или в комплексной форме:
$x(t) = C e^{i\omega_0 t} + D e^{-i\omega_0 t}$
где:
- $A$ , $B$ , $C$ , $D$ — постоянные, определяемые начальными условиями (амплитуда),
- $\phi_0$ , $\theta_0$ — постоянные, определяемые начальными условиями (начальная фаза).

900 г кубиков льда, взятых при температуре 0 градусов цельсия, расплавили и затем получившуюся воду нагрели до 40 градусов цельсия. Чему равно изменение энтропии в ходе данного процесса? Известно, что молярная теплоёмкость воды равна 75,6 Дж/(моль*К), а удельная теплота плавления льда составляет 333кДж/кг Указание: при решении задачи вначале получите ответ в аналитическом виде и только после этого подставьте числа в полученное выражение

Thought for 490 seconds

Решение задачи

Аналитическое выражение для изменения энтропии

Процесс состоит из двух этапов:

Плавление льда при постоянной температуре $T_1 = 273 \text{K}$ .
Нагрев полученной воды от $T_1 = 273 \text{K}$ до $T_2 = 313 \text{K}$ .

Изменение энтропии $\Delta S$ является функцией состояния, поэтому общее изменение равно сумме изменений энтропии на каждом этапе.

1. Изменение энтропии при плавлении льда:
Плавление происходит изотермически при температуре $T_1$ . Теплота плавления $Q_1 = m \lambda$ , где $m$ — масса льда, $\lambda$ — удельная теплота плавления. Изменение энтропии:

\Delta S_1 = \frac{Q_1}{T_1} = \frac{m \lambda}{T_1}

2. Изменение энтропии при нагревании воды:
Нагрев происходит от $T_1$ до $T_2$ . Теплоемкость считается постоянной. Для нагревания при постоянном давлении изменение энтропии:

\Delta S_2 = \int_{T_1}^{T_2} \frac{dQ}{T}

где $dQ = \nu C_m dT$ , $\nu = \frac{m}{M}$ — количество вещества, $C_m$ — молярная теплоемкость, $M$ — молярная масса воды. Тогда:

\Delta S_2 = \int_{T_1}^{T_2} \frac{\nu C_m dT}{T} = \nu C_m \ln \left( \frac{T_2}{T_1} \right) = \frac{m}{M} C_m \ln \left( \frac{T_2}{T_1} \right)

Общее изменение энтропии:

\Delta S = \Delta S_1 + \Delta S_2 = \frac{m \lambda}{T_1} + \frac{m}{M} C_m \ln \left( \frac{T_2}{T_1} \right)

Подстановка числовых значений

Дано:

Масса льда $m = 900 \text{г} = 0.9 \text{кг}$ ,
Удельная теплота плавления льда $\lambda = 333 \text{кДж/кг} = 333 \times 10^3 \text{Дж/кг}$ ,
Начальная температура плавления $T_1 = 0^\circ \text{C} = 273 \text{K}$ ,
Конечная температура нагрева $T_2 = 40^\circ \text{C} = 313 \text{K}$ ,
Молярная масса воды $M = 18 \text{г/моль} = 0.018 \text{кг/моль}$ ,
Молярная теплоемкость воды .

1. Вычисление $\Delta S_1$ :

\Delta S_1 = \frac{m \lambda}{T_1} = \frac{0.9 \times 333000}{273} = \frac{299700}{273} \approx 1097.8022 \text{Дж/К}

2. Вычисление $\Delta S_2$ :

Количество вещества $\nu = \frac{m}{M} = \frac{0.9}{0.018} = 50 \text{моль}$ ,
Отношение температур $\frac{T_2}{T_1} = \frac{313}{273} \approx 1.146520$ ,
Натуральный логарифм $\ln \left( \frac{313}{273} \right) = \ln(1.146520) \approx 0.13673$ ,
Тогда:

\Delta S_2 = \nu C_m \ln \left( \frac{T_2}{T_1} \right) = 50 \times 75.6 \times 0.13673 = 3780 \times 0.13673 \approx 516.8394 \text{Дж/К}

3. Общее изменение энтропии:

\Delta S = \Delta S_1 + \Delta S_2 = 1097.8022 + 516.8394 = 1614.6416 \text{Дж/К}

Округляем до целого числа, учитывая точность исходных данных (три значащие цифры):

\Delta S \approx 1615 \text{Дж/К}

Ответ

\boxed{1615}

New chat

DeepThink (R1)

AI-generated, for reference only