DeepSeek - Into the Unknown

Ты сейчас на экзамене по физике. Отвечай чётко 1) Лоренцево сокращение длины и изменение промежутка времени между событиями при переходе в другую систему отсчёта в СТО 2) Математический и физический маятники. Вывод выражений для их собственных частот

Thought for 16 seconds

Отлично, приступим. Отвечаю четко, как на экзамене по физике.

1) Лоренцево сокращение длины и изменение промежутка времени между событиями (релятивистское замедление времени) в СТО

Лоренцево сокращение длины:
- Суть: Длина движущегося тела (или расстояние между двумя точками), измеренная в системе отсчета (СО), относительно которой оно движется, короче, чем его собственная длина (длина в СО, где оно покоится).
- Формула: Если L₀ — собственная длина (длина в СО покоя тела), L — длина, измеренная в СО, относительно которой тело движется со скоростью v вдоль направления длины, c — скорость света, то:
  L = L₀ * √(1 - v²/c²) = L₀ / γ
  где γ = 1 / √(1 - v²/c²) — лоренц-фактор (γ > 1 при v > 0).
- Следствия:
  - Сокращается только размер тела вдоль направления движения. Поперечные размеры не изменяются.
  - Эффект взаимный: наблюдатель в каждой СО увидит сокращение длин объектов, движущихся относительно него.
  - Это реальный эффект, но он связан с относительностью одновременности измерений концов стержня в разных СО.
Релятивистское замедление времени (Изменение промежутка времени):
- Суть: Промежуток времени между двумя событиями, происходящими в одной и той же точке пространства движущейся СО, измеренный наблюдателем в неподвижной СО, больше, чем промежуток времени, измеренный наблюдателем, движущимся вместе с этой СО (собственное время).
- Формула: Если Δt₀ — собственное время (промежуток времени между событиями в СО, где они происходят в одной точке), Δt — промежуток времени между этими же событиями, измеренный в СО, движущейся относительно первой со скоростью v, то:
  Δt = Δt₀ * γ = Δt₀ / √(1 - v²/c²)
  где γ = 1 / √(1 - v²/c²) — лоренц-фактор.
- Следствия:
  - Движущиеся часы идут медленнее с точки зрения неподвижного наблюдателя.
  - Эффект взаимный: каждый наблюдатель видит, что часы другого (движущегося относительно него) идут медленнее.
  - Парадокс близнецов разрешается тем, что ситуация несимметрична (один близнец менял СО, ускоряясь и тормозя).

2) Математический и физический маятники. Вывод выражений для их собственных частот

Математический маятник:
- Определение: Идеализированная система: материальная точка массы m, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити длины l.
- Вывод частоты (для малых углов θ << 1 рад):
  1. Силы: На груз действуют сила тяжести mg и сила натяжения нити T.
  2. Уравнение движения (второй закон Ньютона для тангенциального направления): Восстанавливающая сила F_τ = -mg * sinθ (проекция mg на касательную к траектории).
  3. Приближение малых углов: sinθ ≈ θ (в радианах). Уравнение упрощается: F_τ ≈ -mgθ.
  4. Ускорение: Тангенциальное ускорение a_τ = l * d²θ/dt² (угловое ускорение β = d²θ/dt²).
  5. Уравнение: m * l * d²θ/dt² = -mgθ
  6. Стандартная форма: d²θ/dt² + (g/l) * θ = 0
  7. Сравнение с уравнением гармонических колебаний: d²x/dt² + ω₀² * x = 0
  8. Собственная круговая частота: ω₀² = g/l => ω₀ = √(g/l)
  9. Собственная частота: f₀ = ω₀ / (2π) = (1/(2π)) * √(g/l)
  10. Период: T₀ = 1/f₀ = 2π * √(l/g)
Физический маятник:
- Определение: Твердое тело произвольной формы, которое может свободно качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс (ЦМ).
- Обозначения: m — масса тела, I — момент инерции тела относительно оси вращения O, d — расстояние от оси вращения O до центра масс C.
- Вывод частоты (для малых углов θ << 1 рад):
  1. Вращающий момент (Момент силы): Момент силы тяжести относительно оси O: M = -mg * d * sinθ (знак "-" показывает, что момент стремится вернуть маятник к положению равновесия).
  2. Основное уравнение динамики вращательного движения: M = I * β = I * d²θ/dt²
  3. Уравнение: I * d²θ/dt² = -mgd * sinθ
  4. Приближение малых углов: sinθ ≈ θ. Уравнение упрощается: I * d²θ/dt² = -mgd * θ
  5. Стандартная форма: d²θ/dt² + (mgd / I) * θ = 0
  6. Сравнение с уравнением гармонических колебаний: d²x/dt² + ω₀² * x = 0
  7. Собственная круговая частота: ω₀² = (mgd) / I => ω₀ = √(mgd / I)
  8. Собственная частота: f₀ = ω₀ / (2π) = (1/(2π)) * √(mgd / I)
  9. Период: T₀ = 1/f₀ = 2π * √(I / (mgd))
- Приведенная длина: Длина математического маятника с таким же периодом колебаний: L_пр = I / (md) => T₀ = 2π * √(L_пр / g).

Удачи на экзамене! 😉

Во сколько раз изменяется температура углекислого газа CO2 при адиабатном увеличении его объёма в 27 раз? Какую работу при этом совершает газ, если его начальная температура 27 градусов цельсия, а масса - 88 г? Указание: при решении задачи вначале получите ответ в аналитическом виде и только после этого подставьте числа в полученное выражение

Thought for 24 seconds

1. Отношение температур при адиабатном процессе

Для адиабатного процесса в идеальном газе связь между температурой и объемом описывается уравнением:

T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}

где:

$T_1$ и $T_2$ — начальная и конечная температуры,
$V_1$ и $V_2$ — начальный и конечный объемы,
$\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ — показатель адиабаты.

Аналитическое решение:

\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}

По условию $\frac{V_2}{V_1} = 27$ , поэтому:

\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{1}{27} \right)^{\gamma-1} = 27^{1 - \gamma}

Для CO₂:
Углекислый газ (CO₂) — трехатомный. При комнатной температуре:

Число степеней свободы: $i = 6$ (3 поступательных + 3 вращательных; колебательные степени не возбуждены).
Показатель адиабаты:

\gamma = 1 + \frac{2}{i} = 1 + \frac{2}{6} = \frac{4}{3}

Подставляем $\gamma = \frac{4}{3}$ :

\frac{T_2}{T_1} = 27^{1 - \frac{4}{3}} = 27^{-\frac{1}{3}} = \left( 3^3 \right)^{-\frac{1}{3}} = 3^{-1} = \frac{1}{3}

Ответ: Температура уменьшается в 3 раза.

2. Работа газа при адиабатном расширении

Работа газа в адиабатном процессе:

A = \frac{\nu R (T_1 - T_2)}{\gamma - 1}

где:

$\nu$ — количество вещества,
$R = 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$ — универсальная газовая постоянная,
$T_1$ и $T_2$ — начальная и конечная температуры (в Кельвинах),
$\gamma = \frac{4}{3}$ .

Аналитическое решение:
Из п.1: $T_2 = \frac{T_1}{3}$ . Подставляем:

A = \frac{\nu R \left( T_1 - \frac{T_1}{3} \right)}{\frac{4}{3} - 1} = \frac{\nu R \cdot \frac{2T_1}{3}}{\frac{1}{3}} = \nu R \cdot \frac{2T_1}{3} \cdot 3 = 2 \nu R T_1

Расчет:

Масса газа: $m = 88 \text{г} = 0.088 \text{кг}$ ,
Молярная масса CO₂: $M = 44 \text{г/моль}$ ,
Количество вещества:

\nu = \frac{m}{M} = \frac{88}{44} = 2 \text{моль}

Начальная температура:

T_1 = 27^\circ \text{C} = 27 + 273 = 300 \text{K}

Подставляем в формулу:

A = 2 \cdot 2 \text{моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{K} = 4 \cdot 8.31 \cdot 300 = 9972 \text{Дж}

Ответ: Газ совершает работу $A = 9972 \text{Дж}$ .

New chat

DeepThink (R1)

AI-generated, for reference only