Хорошо, мне нужно решить эту задачу. У нас есть конструкция из шара и стержня, соединенных вместе. Шар имеет массу $m$ и радиус $R = 14,6 \, \text{см}$, а стержень тоже массой $m$ и длиной $l = R$. Конструкция вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку $O$, и отпущена без начальной скорости. Нужно найти угловое ускорение в начальный момент времени.

Сначала я должен понять, как расположены эти элементы. Поскольку это задача с вращением, мне нужно найти момент инерции всей конструкции относительно оси через $O$, а затем использовать уравнение вращательного движения $\tau = I \alpha$, где $\tau$ — суммарный момент сил, $I$ — момент инерции, а $\alpha$ — угловое ускорение.

Сила тяжести действует на оба тела. Поскольку ось проходит через $O$, момент силы тяжести будет зависеть от расстояния от центра масс каждого тела до оси.

Но конструкция жестко соединена, поэтому я должен найти центр масс всей системы или рассчитать моменты инерции и моменты сил отдельно для шара и стержня.

Предположу, что стержень прикреплен к шару и ось $O$ находится на конце стержня, противоположном шару. На рисунке должно быть показано, но так как его нет, я должен предположить стандартную конфигурацию. Обычно в таких задачах ось находится в точке $O$, стержень длиной $R$ отходит от оси, а шар прикреплен к концу стержня.

Поскольку длина стержня $l = R$, и радиус шара $R$, вероятно, шар прикреплен так, что его центр находится на расстоянии $R$ от оси? Нет, потому что стержень имеет длину $R$, и если он прикреплен к шару, то расстояние от $O$ до центра шара должно быть длиной стержня плюс радиус шара? Но тогда стержень и шар соединены, и ось через $O$, так что если $O$ — это конец стержня, то другой конец стержня соединен с шаром.

Уточню: пусть точка $O$ — это начало, стержень длиной $R$ идет вдоль, скажем, оси x, от $O$ до точки A. Затем шар прикреплен в точке A. Но центр шара будет находиться в точке A, потому что он жестко соединен? Или шар насажен так, что его центр на расстоянии радиуса?

Проблема в том, что шар имеет радиус, так что если он прикреплен в точке A, то его центр может быть на расстоянии радиуса от A, в зависимости от того, как они соединены.

Но в задаче сказано "жестко соединены", но не уточняется, как именно. Однако, поскольку радиус дан, и он используется, вероятно, центр шара находится на некотором расстоянии от оси.

Предположу, что стержень идет от O до A, длина стержня R, и шар прикреплен так, что его центр находится в точке A. Тогда расстояние от O до центра шара равно длине стержня, то есть R.

Но тогда радиус шара R=14.6 см, но он не влияет на расстояние, так как центр в A. Но в таком случае радиус шара может влиять на момент инерции шара относительно его центра, но не на расстояние до оси.

Возможно, шар прикреплен так, что его поверхность касается точки O или что-то, но это маловероятно.

Другой вариант: ось проходит через точку O, стержень отходит от O, и шар находится на другом конце, но центр шара на расстоянии l + R от O? Но длина стержня l=R, так что расстояние до центра шара было бы R + R = 2R.

Но тогда радиус шара важен.

В указании говорится "начальное положение изображено на рисунке", но рисунка нет. Поэтому я должен сделать разумное предположение.

Посмотрю на типичные задачи. Часто в таких конструкциях шар прикреплен к концу стержня, и центр шара находится на расстоянии длины стержня плюс радиус шара от оси вращения, если ось не через центр.

Но в данном случае, поскольку стержень имеет длину R и радиус шара R, если центр шара на расстоянии R + R = 2R от O, то это имеет смысл.

Потому что если бы центр шара был на расстоянии R, то радиус шара не нужен был бы, но он дан, так что вероятно используется.

Кроме того, в задаче говорится "конструкция", и они соединены, так что, вероятно, стержень прикреплен к шару, и ось в O, другом конце стержня.

Поэтому я буду считать, что расстояние от оси O до центра стержня и до центра шара нужно рассчитать.

Стержень: однородный стержень массы m, длина R. Ось вращения проходит через один его конец (точка O). Поэтому для стержня момент инерции относительно конца: $I_{\text{rod}} = \frac{1}{3} m R^2$.

Центр масс стержня находится посередине, так что на расстоянии $\frac{R}{2}$ от O.

Шар: однородный шар массы m, радиус R. Он прикреплен так, что его центр находится на расстоянии от O? Если стержень идет от O до A, длина R, и шар прикреплен в A, то центр шара в A, поэтому расстояние от O до центра шара равно длине стержня, то есть R.

Но тогда радиус шара R дан, но не влияет на расстояние до оси, только на момент инерции шара относительно его центра.

Момент инерции шара относительно его центра: $I_{\text{cm, ball}} = \frac{2}{5} m R^2$.

Поскольку ось вращения проходит через центр шара? Нет, ось через O, центр шара на расстоянии d от O.

Если центр шара в точке A, и O начало, расстояние OA = длина стержня = R.

Так что расстояние от оси до центра шара d = R.

Тогда момент инерции шара относительно оси через O: по теореме Штейнера, $I_{\text{ball}} = I_{\text{cm}} + m d^2 = \frac{2}{5} m R^2 + m R^2 = \frac{2}{5}mR^2 + \frac{5}{5}mR^2 = \frac{7}{5} m R^2$.

Теперь момент инерции стержня относительно его конца: $I_{\text{rod}} = \frac{1}{3} m R^2$.

Так как конструкция жестко соединена, общий момент инерции I_total = I_rod + I_ball = $\frac{1}{3} m R^2 + \frac{7}{5} m R^2$.

Найдем общий знаменатель, 15: $\frac{5}{15} m R^2 + \frac{21}{15} m R^2 = \frac{26}{15} m R^2$.

5 и 3, LCM 15: $\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$, $\frac{7}{5} = \frac{21}{15}$? 7/5 = 21/15? 7/5 = 1.4, 21/15=1.4, да.

Так что $I_{\text{total}} = \left( \frac{5}{15} + \frac{21}{15} \right) m R^2 = \frac{26}{15} m R^2$.

Теперь момент сил. Сила тяжести действует вниз на оба тела.

Для стержня: сила тяжести mg вниз через его центр масс. Центр масс стержня на расстоянии $\frac{R}{2}$ от O.

Поскольку ось горизонтальна, и конструкция вращается в плоскости, момент силы для стержня: сила умножить на перпендикулярное расстояние.

В начальный момент, предположим, конструкция отпущена из положения, например, горизонтального или вертикального? В задаче сказано "начальное положение изображено", но без рисунка.

В тексте не указано, но, вероятно, стандартно, что в начальный момент стержень горизонтален или что-то. Но для момента сил важно угловое положение.

Момент силы зависит от угла между вектором силы и плечом.

В начальный момент, нужно знать ориентацию.

Поскольку не указано, вероятно, предполагается, что в начальный момент конструкция отклонена на некоторый угол, но для углового ускорения в начальный момент, если она отпущена из состояния покоя, момент сил максимален, когда рычаг перпендикулярен.

Но в общем случае, для момента сил, если ось через O, сила тяжести mg вниз, то момент τ = force * lever arm.

Для каждого тела, момент относительно O.

Сначала для стержня: центр масс на расстоянии R/2 от O. Если стержень составляет угол θ с вертикалью или горизонталью.

Обычно в таких задачах, если конструкция отпущена без начальной скорости, и под действием силы тяжести, начальное положение, вероятно, горизонтальное, то есть стержень горизонтален.

Предположу, что в начальный момент стержень расположен горизонтально, так что вектор силы тяжести перпендикулярен стержню для максимального момента.

Если стержень горизонтален, и ось через O, то центр масс стержня на расстоянии R/2 горизонтально, сила тяжести вертикальна, так что рычаг перпендикулярен, момент τ_rod = (mg) * (R/2) * sin90° = mg * (R/2), и направление против часовой или по часовой, но величина.

Направление будет вызывать вращение, но для углового ускорения нам нужно знать знак, но так как просят величину, вероятно, можно взять абсолютное значение.

Для шара: центр шара на расстоянии R от O (если центр в A). Если стержень горизонтален, то центр шара также на расстоянии R горизонтально от O, сила тяжести вертикальна, так что момент τ_ball = mg * R.

Поскольку оба момента в одном направлении.

Так что суммарный момент τ_total = τ_rod + τ_ball = mg*(R/2) + mg*R = mg R (1/2 + 1) = mg R * 3/2 = (3/2) mg R.

Теперь угловое ускорение α = τ / I.

Так что α = [ (3/2) mg R ] / [ (26/15) m R^2 ] = (3/2) mg R * 15 / (26 m R^2) = (3/2) * 15 / (26) * g / R * (1/R), нет.

Упрощаем: (3/2) mg R / (26/15 m R^2) = (3/2) mg R * 15 / (26 m R^2) = (3/2) * 15 / 26 * g / R * (m / m) * (R / R^2) = (3/2) * 15 / 26 * g / R.

Поскольку m и R сокращаются, кроме одного R в знаменателе.

Численно: (3/2) * 15 / 26 = (3 * 15) / (2 * 26) = 45 / 52.

Так что α = (45 / 52) * (g / R)

Теперь g - ускорение свободного падения, R = 14.6 см = 0.146 м.

Но в формуле g/R, g примерно 9.8 м/с², R=0.146 м.

Но сначала аналитически.

В задаче сказано "получите ответ в аналитическом виде и только после подставьте числа".

Так что α = \frac{45}{52} \frac{g}{R}

Но я предположил начальное положение горизонтальным.

А если не так? Например, если начальное положение вертикальное, то момент сил был бы нулевым, угловое ускорение ноль, но это тривиально, и вряд ли.

Вероятно, предполагается, что в начальный момент рычаг не нулевой.

Поскольку дан радиус шара, возможно, я ошибся в конфигурации.

Другой вариант: возможно, ось проходит через точку O, и шар касается оси или что-то.

Например, если шар прикреплен так, что его центр на расстоянии радиуса, но стержень присоединен.

Возможно, стержень и шар соединены, и ось через O на стержне.

Предположим, что точка O - это точка крепления оси, и стержень длиной R отходит от O, а шар прикреплен к другому концу стержня. Но тогда центр шара находится на расстоянии длины стержня плюс радиус шара от оси, если шар не в точке.

Если шар прикреплен к концу стержня, и центр шара находится за концом стержня на расстоянии радиуса вдоль линии.

Так что расстояние от O до центра шара = длина стержня + радиус шара = R + R = 2R.

А центр масс стержня по-прежнему на R/2 от O.

Тогда момент инерции.

Стержень: I_rod = \frac{1}{3} m R^2 (относительно конца).

Шар: I_cm = \frac{2}{5} m R^2, расстояние до оси d = 2R, так что I_ball = \frac{2}{5} m R^2 + m (2R)^2 = \frac{2}{5} m R^2 + 4 m R^2 = \frac{2}{5}mR^2 + \frac{20}{5}mR^2 = \frac{22}{5} m R^2.

Тогда I_total = I_rod + I_ball = \frac{1}{3} m R^2 + \frac{22}{5} m R^2.

Общий знаменатель 15: \frac{5}{15} m R^2 + \frac{66}{15} m R^2 = \frac{71}{15} m R^2.

Момент сил: в начальный момент, предположим горизонтальное положение.

Для стержня: момент τ_rod = mg * (R/2) (так как центр масс на R/2).

Для шара: центр масс на 2R от O, так что τ_ball = mg * (2R).

Суммарный τ = mg*(R/2) + mg*(2R) = mg R (0.5 + 2) = 2.5 mg R = \frac{5}{2} mg R.

Тогда α = τ / I = \frac{\frac{5}{2} mg R}{\frac{71}{15} m R^2} = \frac{5}{2} mg R * \frac{15}{71 m R^2} = \frac{5}{2} * \frac{15}{71} \frac{g}{R} = \frac{75}{142} \frac{g}{R}.

Теперь, какой вариант правильный? Я думаю, второй вариант более вероятен, потому что если центр шара был бы на расстоянии R, радиус шара не нужен, но он дан, так что вероятно используется в расстоянии.

Кроме того, в задаче "конструкция" и "соединены", так что логично, что шар на конце стержня, и центр шара дальше.

В первом варианте, если центр шара в точке крепления, то радиус не влияет на момент инерции относительно оси через центр шара, но ось не через центр шара.

В первом варианте d=R, I_ball = \frac{7}{5} m R^2, как я рассчитал.

Но во втором d=2R, I_ball = \frac{22}{5} m R^2.

Теперь, момент инерции шара при d=2R больше, что разумно.

Также, в указании "получите аналитически", так что, вероятно, второй вариант.

Я могу обозначить расстояния.

Пусть расстояние от O до центра масс стержня: центр стержня на середине, длина R, так что l_rod = R/2.

Для шара, расстояние до центра шара: если стержень прикреплен к шару, и ось в O, то расстояние до центра шара равно длине стержня плюс радиус шара, так как шар снаружи.

Так что l_ball = R + R = 2R.

Если бы шар был с другой стороны, но вероятно на конце.

Так что я буду использовать l_ball = 2R.

Тогда I_rod относительно O: \frac{1}{3} m R^2.

Центр масс стержня на R/2, но момент инерции относительно конца \frac{1}{3} m R^2.

I_ball относительно O: I_cm + m d^2 = \frac{2}{5} m R^2 + m (2R)^2 = \frac{2}{5} m R^2 + 4 m R^2 = \frac{2}{5} m R^2 + \frac{20}{5} m R^2 = \frac{22}{5} m R^2.

I_total = I_rod + I_ball = \frac{1}{3} m R^2 + \frac{22}{5} m R^2 = m R^2 ( \frac{1}{3} + \frac{22}{5} ) = m R^2 ( \frac{5}{15} + \frac{66}{15} ) = m R^2 \frac{71}{15}.

Момент сил: сила тяжести, вниз.

Предположим, что в начальный момент конструкция горизонтальна, так что рычаг перпендикулярен.

Для стержня: вес mg, плечо до центра масс = расстояние по горизонтали, которое равно l_rod = R/2, так как центр масс на середине, и стержень горизонтален.

Так что τ_rod = mg * (R/2)

Направление: вызывает вращение, скажем, по часовой стрелке или против, но величина.

Для шара: вес mg, плечо = l_ball = 2R, так что τ_ball = mg * 2R

Суммарный τ = mg (R/2) + mg (2R) = mg R (0.5 + 2) = 2.5 mg R = \frac{5}{2} mg R

Теперь угловое ускорение α = τ / I = \frac{ \frac{5}{2} mg R }{ \frac{71}{15} m R^2 } = \frac{5}{2} mg R \times \frac{15}{71 m R^2} = \frac{5}{2} \times \frac{15}{71} \times \frac{g}{R} = \frac{75}{142} \frac{g}{R}

Упростим дробь: 75 и 142, наибольший общий делитель? 75=25*3, 142=2*71, нет общих делителей, так что \frac{75}{142} \frac{g}{R}

Теперь подставим числа.

R = 14.6 см = 0.146 м

g = 9.8 м/с² (стандартное значение)

Сначала вычислим g/R = 9.8 / 0.146 ≈ ?

Сначала 0.146 * 67 = 0.146*60 + 0.146*7 = 8.76 + 1.022 = 9.782, близко к 9.8, так что ≈ 67.123? Подсчитаем точно.

9.8 / 0.146 = 9800 / 146 (умножить числитель и знаменатель на 1000)

9.8 / 0.146 = 980 / 14.6

Лучше: 9.8 ÷ 0.146

0.146 * 67 = 0.146*60=8.76, 0.146*7=1.022, итого 9.782, как выше.

9.8 - 9.782 = 0.018, так что 67 + 0.018/0.146 ≈ 67 + 0.123 ≈ 67.123, но точнее.

9800 / 146

146 * 67 = 146*60=8760, 146*7=1022, итого 8760+1022=9782

9800 - 9782 = 18, так что 67 + 18/146 ≈ 67 + 9/73 ≈ 67.123287

Так что g/R ≈ 67.123 м/с² / м = 67.123 рад/с²? Нет, g/R имеет размерность 1/с², так что в с⁻².

Теперь α = (75/142) * (g/R) ≈ (75/142) * 67.123

Сначала 75/142 ≈ ?

142 ÷ 2 = 71, 75 ÷ 1, но 75/142 ≈ 0.528169

Вычислим: 75 ÷ 142.

142 * 0.5 = 71, 75 - 71 = 4, так что 0.5 + 4/142 ≈ 0.5 + 2/71 ≈ 0.5 + 0.028169 ≈ 0.528169

Теперь 0.528169 * 67.123 ≈ ?

Сначала 0.528 * 67.123

0.5 * 67.123 = 33.5615

0.028 * 67.123 ≈ 0.03 * 67.123 = 2.01369, минус 0.002*67.123≈0.134246, так что 2.01369 - 0.134246 = 1.879444? Лучше: 0.028 * 67.123 = 28/1000 * 67.123 = (28*67.123)/1000

20*67.123=1342.46, 8*67.123=536.984, итого 1342.46+536.984=1879.444, делим на 1000: 1.879444

Теперь 0.528 * 67.123 = 0.5*67.123 + 0.028*67.123 = 33.5615 + 1.879444 = 35.440944

Но у нас 0.528169, так что добавим 0.000169 * 67.123 ≈ 0.00017 * 67.123 ≈ 0.01141091

Так что примерно 35.440944 + 0.0114 ≈ 35.452344

Теперь еще часть от 75/142 - 0.528 = 75/142 = 75000/142000, но точнее разница.

75/142 = 75 ÷ 142.

Вычислим точно: (75/142) * (9.8 / 0.146)

Сначала 9.8 / 0.146 = 980 / 14.6, но лучше в числах.

R = 14.6 см = 0.146 м

g = 9.8 м/с²

g/R = 9.8 / 0.146 = 9800 / 146 = 4900 / 73 (поделим числитель и знаменатель на 2)

4900 ÷ 73.

73 * 67 = 73*60=4380, 73*7=511, итого 4380+511=4891

4900 - 4891 = 9, так что 67 + 9/73 ≈ 67.1232876712328767...

Теперь α = (75/142) * (4900/73) / 1? Нет, (75/142) * (g/R) = (75/142) * (4900/73) / 1, но g/R = 4900/73? 9.8 / 0.146 = 980/14.6 = 9800/146 = 4900/73, да.

Так что α = (75/142) * (4900/73)

Упростим.

Сначала 75 и 73, 73 простое, 75=3*5^2, нет общих делителей.

142 и 4900, 142=2*71, 4900=49*100=7^2 * 10^2

75 и 4900, 75=3*5^2, 4900=49*100=7^2 * 10^2 = 7^2 * (2*5)^2 = 7^2 * 4 * 25

Так что общие множители: 5^2.

75 = 3 * 5^2

4900 = 49 * 100 = 7^2 * (4 * 25) = 7^2 * 4 * 5^2

Так что (75 * 4900) / (142 * 73) = [3 * 5^2 * 7^2 * 4 * 5^2] / [2 * 71 * 73] / ? Нет.

α = \frac{75}{142} \times \frac{4900}{73} = \frac{75 \times 4900}{142 \times 73}

Теперь 75 × 4900 = 75 × 49 × 100 = (75×100) × 49 = 7500 × 49

75 × 4900 = 75 × 49 × 100, но 75×100=7500, 7500×49.

49×7500 = 50×7500 - 1×7500 = 375000 - 7500 = 367500

75 × 4900 = 75 × 49 × 100 = сначала 75×49.

70×49=3430, 5×49=245, итого 3430+245=3675, затем ×100=367500

Да.

Знаменатель: 142 × 73

140×73 = 140×70=9800, 140×3=420, итого 9800+420=10220? Нет: 142 = 140 + 2, так что 140×73 + 2×73.

140×73: 100×73=7300, 40×73=2920, итого 7300+2920=10220

2×73=146

Итого 10220 + 146 = 10366

Итак, α = 367500 / 10366 ? Но это числитель и знаменатель, но это значение α, но α = [число] / R? Нет.

α = \frac{75 \times 4900}{142 \times 73} \times \frac{1}{R} ? Нет.

Из ранее, α = \frac{75}{142} \frac{g}{R} = \frac{75}{142} \times \frac{4900}{73} \frac{1}{R} ? Нет.

g/R = 4900/73 с^{-2}, но это число, так что α = k / R, где k = (75/142) * (g R / R), нет.

g/R имеет единицы с^{-2}, так что α = [безразмерный коэффициент] * (g/R)

Так что численно α = \frac{75}{142} \times \frac{9.8}{0.146}

Но 9.8 / 0.146 = 9.8 ÷ 0.146

Как выше, 9800 / 146 = 4900 / 73 ≈ 67.1232876712328767

Теперь \frac{75}{142} ≈ 0.528169014084507

Умножим: 0.528169014084507 * 67.1232876712328767 ≈ ?

Сначала 0.528169 * 67.123287 ≈ вычислю пошагово.

Используем точные дроби.

α = \frac{75}{142} \times \frac{9.8}{0.146} = \frac{75}{142} \times \frac{98/10}{146/1000} = \frac{75}{142} \times \frac{98}{10} \times \frac{1000}{146} = \frac{75}{142} \times \frac{98 \times 100}{146} \times \frac{1}{10} ? Упростим.

\frac{98}{10} \times \frac{1000}{146} = 98 \times 100 / 146 = 9800 / 146

Как и g/R.

Но \frac{75}{142} \times \frac{9800}{146}

9800 / 146 = 4900 / 73, как выше.

Но 75/142 * 4900/73

Вычислим числитель: 75 * 4900 = 367500

Знаменатель: 142 * 73 = 10366, как выше.

Так что α = 367500 / (10366 R) ? Нет, это неверно.

α = [ \frac{75}{142} \times \frac{g}{R} ] и g/R численно, но в выражении это коэффициент.

α = \frac{367500}{10366} \times \frac{1}{R} ? Нет.

Из α = \frac{75}{142} \frac{g}{R}, и g/R = 9.8 / 0.146, но при подстановке, α = \frac{75}{142} \times \frac{9.8}{0.146}

Так что численно это число, деленное на секунду в квадрате.

Так что вычислим числитель: 75 * 9.8 = 735

Знаменатель: 142 * 0.146

Сначала 142 * 0.146

142 * 0.1 = 14.2

142 * 0.04 = 5.68

142 * 0.006 = 0.852

Итого 14.2 + 5.68 = 19.88, + 0.852 = 20.732

Так что α = 735 / 20.732 / ? Нет.

α = [75 * 9.8] / [142 * 0.146] ? Нет.

Из α = \frac{75}{142} \times \frac{9.8}{0.146} = \frac{75 \times 9.8}{142 \times 0.146}

Да, так.

Числитель: 75 * 9.8 = 75*10 - 75*0.2 = 750 - 15 = 735

Знаменатель: 142 * 0.146

142 * 0.14 = 142*14/100 = 1988/100 = 19.88

142 * 0.006 = 0.852

Итого 19.88 + 0.852 = 20.732

Так что α = 735 / 20.732 ≈ ?

Разделим 735 ÷ 20.732

Сначала 20.732 * 35 = 20.732*30 = 621.96, 20.732*5 = 103.66, итого 621.96 + 103.66 = 725.62

735 - 725.62 = 9.38

Так что 35 + 9.38/20.732 ≈ 35 + 0.4525 ≈ 35.4525

Точнее: 9.38 / 20.732 ≈ 0.4525

Так что α ≈ 35.4525 рад/с²

Но это значение, и оно должно быть в рад/с².

Но я думаю, что это для α, но в выражении у нас /R, но R подставлено.

В аналитическом виде α = \frac{75}{142} \frac{g}{R}

Теперь с R=0.146 м, g=9.8, так что g/R = 9.8 / 0.146 ≈ 67.1232876712328767

75/142 ≈ 0.528169014084507

0.528169014084507 * 67.1232876712328767 = давайте посчитаем.

0.528169 * 67.123287 ≈ использовать калькулятор, но раз уж это текст, предположим.

Или оставим как 35.45, но точнее.

Поскольку R=14.6 cm = 0.146 m, но 14.6 это 146/10 = 73/5? 14.6 = 146/10 = 73/5? 73/5=14.6, да.

R = 14.6 см = 146/10 см, но в метрах R = 146/1000 м = 73/500 м.

g = 9.8 = 98/10 = 49/5 м/с²? 49/5=9.8, да.

Так что g = 49/5 м/с², R = 73/500 м.

Тогда g/R = (49/5) / (73/500) = (49/5) * (500/73) = (49 * 100) / 73 = 4900 / 73

Теперь α = \frac{75}{142} * \frac{4900}{73} = \frac{75 * 4900}{142 * 73}

Как и ранее.

75 * 4900 = 367500

142 * 73 = 10366

Так что α = 367500 / 10366 рад/с²? Но это α = [число], но это значение, а не выражение.

α = \frac{367500}{10366} \times \frac{1}{R}? Нет, g/R уже подставлено.

Нет: α = \frac{75}{142} \frac{g}{R} = \frac{75}{142} \times \frac{4900}{73} с^{-2}, но это численно, с единицами.

Чтобы получить число, α = \frac{367500}{10366} \times \frac{1}{1} , но это неверно, потому что \frac{75}{142} \frac{g}{R} это величина с единицами с^{-2}, и при подстановке g и R, мы получаем число.

Так что α = \frac{75 \times 4900}{142 \times 73} рад/с² = \frac{367500}{10366} рад/с²

Упростим дробь.

Найдем НОД 367500 и 10366.

Сначала разложим на множители.

10366 на 2: 10366 / 2 = 5183

5183, делится на 71? 71*73=5183? 70*73=5110, 1*73=73, 5110+73=5183, да, 71*73=5183? 71*70=4970, 71*3=213, 4970+213=5183, да.

71 и 73 оба простые.

Так что 10366 = 2 * 5183 = 2 * 71 * 73

Теперь 367500.

367500 / 2 = 183750

/2=91875

91875 / 5 = 18375

/5=3675

/5=735

/5=147

/3=49

/7=7

/7=1

Так что 367500 = 3675 * 100 = но лучше: 367500 ÷ 2 = 183750 (2)

183750 ÷ 2 = 91875 (2^2)

91875 ÷ 5 = 18375 (5)

18375 ÷ 5 = 3675 (5^2)

3675 ÷ 5 = 735 (5^3)

735 ÷ 5 = 147 (5^4)

147 ÷ 3 = 49 (3)

49 ÷ 7 = 7 (7)

7 ÷ 7 = 1 (7^2)

Так что 367500 = 2^2 * 5^4 * 3 * 7^2

Знаменатель 10366 = 2 * 71 * 73

Общие множители: 2.

Так что α = \frac{367500}{10366} = \frac{2^2 * 5^4 * 3 * 7^2}{2 * 71 * 73} = \frac{2 * 5^4 * 3 * 7^2}{71 * 73}

= \frac{2 * 625 * 3 * 49}{71 * 73}

Сначала 2*3=6, 6*625=3750, 3750*49.

50*3750=187500, минус 3750=183750? 49=50-1, так что 3750*50=187500, минус 3750=183750

Теперь знаменатель 71*73.

70*73=5110, 1*73=73, итого 5110+73=5183

Или 71*70=4970, 71*3=213, 4970+213=5183

Так что α = 183750 / 5183 рад/с²

Теперь разделим 183750 ÷ 5183.

5183 * 35 = 5183*30=155490, 5183*5=25915, итого 155490+25915=181405

183750 - 181405 = 2345

Так что 35 + 2345/5183

Упростим 2345 и 5183.

Найдем НОД. 5183 ÷ 2345.

2345 * 2 = 4690

5183 - 4690 = 493

Теперь 2345 ÷ 493.

493 * 4 = 1972

2345 - 1972 = 373

493 ÷ 373 = 1, остаток 493-373=120

373 ÷ 120 = 3 *120=360, остаток 13

120 ÷ 13 = 9*13=117, остаток 3

13 ÷ 3 = 4*3=12, остаток 1

3 ÷ 1 = 3, остаток 0, так что НОД 1.

Таким образом, α = 35 + \frac{2345}{5183} рад/с² ≈ 35 + 0.4525 ≈ 35.4525 рад/с², как и ранее.

Но, вероятно, нужно округлить.

R дано как 14.6 см, которое имеет три значащих цифры, g обычно 9.80 или что-то, но 9.8 имеет две значащих цифры, так что, вероятно, ответ округлить.

g/R = 9.8 / 0.146 = 67.123..., но 9.8 и 0.146, 0.146 имеет три значащих цифры, 9.8 — две, так что g/R должно иметь две значащих цифры, 67 с^{-2}.

75/142, 75 и 142 точные? 75 и 142 из масс, но массы одинаковые, так что коэффициенты точные.

Но в подстановке g и R, g=9.8, R=0.146, так что α = (75/142)*(9.8/0.146)

75/142 ≈ 0.5282, 9.8/0.146 ≈ 67.12, 0.5282*67.12 ≈ 35.45, так что примерно 35.5 рад/с².

Но давайте вычислим точно.

Поскольку R=14.6 см = 0.146 m, g=9.8 m/s^2, то g/R = 9.8 / 0.146 = 980/14.6 = 9800/146 = 4900/73 как before.

4900/73 ≈ 67.1232876712328767

75/142 = 75÷142 = 375/710 = etc, but 75/142

75/142 = ? 75÷142.

α = [75*4900] / [142*73] / 1, but it's a number.

367500 / 10366 ≈ 35.4525

So α ≈ 35.45 rad/s²

But perhaps report as 35.5 or something.

I think for the answer, we can box the analytical expression and then numerical value.

But in the problem, it says "only after that plug in the numbers", so first analytical.

So in the initial response, I should have the analytical form.

Also, I am considering if the initial position is correct.

Another thing: if the rod is horizontal, and the ball is at the end, but the ball has size, but since we took the center, it should be fine.

Perhaps the axis is at O, and the rod is attached, and the ball is attached, but in initial position, it might not be horizontal.

But without picture, I think it's assumed to be displaced, so that there is torque.

Probably horizontal is standard.

Perhaps the figure shows a specific angle, but since not specified, I'll assume horizontal.

So to summarize.

Angular acceleration α = \frac{ \tau}{I} = \frac{ \frac{5}{2} mg R }{ \frac{71}{15} m R^2 } = \frac{5}{2} \times \frac{15}{71} \frac{g}{R} = \frac{75}{142} \frac{g}{R}

Now for numerical, R = 14.6 cm = 0.146 m

g = 9.8 m/s²

So g/R = 9.8 / 0.146 = 67.12328767123288 s^{-2}

Then α = (75/142) * 67.12328767123288 = (0.528169014084507) * 67.12328767123288 = 35.45253474999999 ≈ 35.45 rad/s²

But perhaps use g=9.8, R=0.146, so α = \frac{75}{142} \times \frac{9.8}{0.146} = \frac{75 \times 9.8}{142 \times 0.146} = \frac{735}{20.732} = 35.4525

So approximately 35.5 rad/s² if rounded.

But let's calculate with fractions.

R = 14.6/100 = 146/1000 = 73/500 m

g = 9.8 = 98/10 = 49/5 m/s²

Then g/R = (49/5) / (73/500) = (49/5) * (500/73) = (49 * 100) / 73 = 4900/73

α = \frac{75}{142} * \frac{4900}{73} = \frac{75 * 4900}{142 * 73} = \frac{367500}{10366}

Simplify: divide numerator and denominator by 2: 183750 / 5183

As before, 183750 ÷ 5183.

5183 * 35 = 5183*30=155490, 5183*5=25915, sum 181405

183750 - 181405 = 2345

So α = 35 + 2345/5183 rad/s²

2345 and 5183, as before GCD is 1, so \frac{183750}{5183} rad/s²

Numerically 183750 ÷ 5183 ≈ 35.452534

So for answer, perhaps 35.5 rad/s², but let's see if it's reasonable.

g/R = 67.12, α = 0.528*67.12≈35.4, and for a pendulum, angular acceleration at start is g/L for simple pendulum, here effective L is less, but with moment of inertia, so smaller than g/R=67, 35 is reasonable.

So now to box the answer.

First, analytical expression: \alpha = \frac{75}{142} \frac{g}{R}

Then numerical: with g=9.8 m/s^2, R=0.146 m, \alpha = 35.5 rad/s^2 (rounded to three significant figures, as R=14.6 has three, g=9.8 has two, but usually in such problems, they expect calculation.

R=14.6 cm, so 0.146 m, three significant figures, g=9.8 has two, so α should have two significant figures? 35 has two, but 35.5 has three.

g=9.8 is 9.80? Usually it's taken as 9.8, so two significant figures.

So α ≈ 35 rad/s²? But 35.45 is closer to 35.

But let's calculate with g=10 for estimation.

If g=10, R=0.146, g/R=10/0.146≈68.493, α=0.528*68.493≈36.16, so around 36.

But with g=9.8, 35.5.

Perhaps report as 35.5.

In the expression, they might want the formula.

So for the answer.

In the problem, "угловое ускорение", so angular acceleration.

Also, in the hint, first analytical, then numerical.

So I'll write.