Отвечаю четко по пунктам, как требуется на экзамене.

1) Специальная Теория Относительности (СТО)

1. Область применимости:

   • Инерциальные системы отсчета (системы, движущиеся друг относительно друга равномерно и прямолинейно).

   • Скорости, сравнимые со скоростью света в вакууме (c ≈ 3·10⁸ м/с).

   • Явления, где гравитационные эффекты пренебрежимо малы (иначе применяется Общая Теория Относительности - ОТО).

2. Постулаты СТО:

   • Принцип относительности (постулат относительности): Законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Никакими физическими экспериментами, проводимыми внутри инерциальной системы, нельзя установить, покоится она или движется равномерно и прямолинейно.

   • Принцип постоянства скорости света (постулат о постоянстве скорости света): Скорость света в вакууме (c) одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источника света или наблюдателя. Она является предельной скоростью распространения взаимодействий и информации.

3. Выражение для импульса в СТО (без вывода):

   • p = (m₀ * v) / sqrt(1 - v²/c²)

   • Где:

     • p - релятивистский импульс частицы,

     • m₀ - масса покоя частицы (инвариантная масса),

     • v - скорость частицы относительно выбранной системы отсчета,

     • c - скорость света в вакууме.

4. Основное уравнение релятивистской динамики (без вывода):

   • F = dp/dt

   • Важно: Это уравнение сохраняет форму второго закона Ньютона (F = dp/dt), но импульс p берется в релятивистской форме (см. пункт 3). Сила F в этом уравнении - это та же сила, что и в классической механике. Таким образом, основное уравнение:
     F = d/dt [ (m₀ * v) / sqrt(1 - v²/c²) ]

2) Вынужденные колебания

1. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

   • m * d²x/dt² + r * dx/dt + k * x = F₀ * cos(ωt)

   • Где:

     • m - масса колеблющегося тела,

     • x - отклонение от положения равновесия (координата),

     • t - время,

     • r - коэффициент сопротивления (коэффициент демпфирования),

     • k - коэффициент упругости (жесткость),

     • F₀ - амплитуда вынуждающей силы,

     • ω - циклическая частота вынуждающей силы.

2. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы:

   • Амплитуда установившихся вынужденных колебаний A зависит от частоты вынуждающей силы ω и определяется формулой:
     A(ω) = F₀ / sqrt( (m * (ω₀² - ω²))² + (r * ω)² )

   • Где:

     • ω₀ = sqrt(k/m) - собственная циклическая частота колебательной системы (при отсутствии трения),

     • Остальные обозначения - как в уравнении выше.

3. Резонанс:

   • Резонанс - явление резкого возрастания амплитуды A вынужденных колебаний при приближении частоты ω вынуждающей силы к резонансной частоте ωᵣ.

   • Резонансная частота ωᵣ определяется выражением:
     ωᵣ = sqrt( ω₀² - 2β² )
     где β = r/(2m) - коэффициент затухания.

   • При малом трении (β << ω₀): ωᵣ ≈ ω₀. Амплитуда A достигает максимума, близкого к Aₘₐₓ ≈ F₀ / (r * ω₀).

   • При увеличении трения (β):

     • Резонансная частота ωᵣ уменьшается (сдвигается в сторону более низких частот).

     • Максимальная амплитуда Aₘₐₓ уменьшается.

     • Сам резонансный пик становится более широким и пологим.

   • При отсутствии трения (r=0) резонансная частота ωᵣ = ω₀, а амплитуда A → ∞ при ω → ω₀.