Ты сейчас на экзамене по физике. Отвечай чётко 1) Векторная диаграмма. Сложение гармонических колебаний одинакового направления равных частот 2) Распределение Максвелла для модуля скорости молекул (с выводом из функции распределения для проекции скорости на ось координат)
Thought for 14 seconds

Отвечаю чётко по пунктам, как требуется на экзамене.

1) Векторная диаграмма. Сложение гармонических колебаний одинакового направления равных частот

  • Суть метода: Для сложения двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты используется метод векторных диаграмм. Каждое колебание представляется как проекция вектора, вращающегося с угловой скоростью ω (равной циклической частоте колебаний) на фиксированную ось (обычно ось X).

  • Построение:

    1. Из начала координат откладывают вектор A₁ длиной, равной амплитуде первого колебания A₁. Угол между вектором A₁ и осью X в начальный момент времени равен начальной фазе первого колебания φ₁₀.

    2. Из начала координат откладывают вектор A₂ длиной A₂ под углом φ₂₀ к оси X.

  • Результирующее колебание:

    1. Строят векторную сумму A₁ и A₂ по правилу параллелограмма. Получают результирующий вектор A.

    2. Амплитуда результирующего колебания A равна длине вектора A.

    3. Начальная фаза результирующего колебания φ₀ равна углу, который вектор A образует с осью X в начальный момент времени.

    4. Частота результирующего колебания остается прежней ω.

  • Формулы (из геометрии диаграммы):

    • A = √(A₁² + A₂² + 2A₁A₂cosΔφ), где Δφ = φ₂₀ - φ₁₀ - разность фаз складываемых колебаний.

    • φ₀ = arctg((A₁ sinφ₁₀ + A₂ sinφ₂₀) / (A₁ cosφ₁₀ + A₂ cosφ₂₀))

  • Преимущество: Метод наглядно показывает зависимость результирующей амплитуды от разности фаз Δφ (максимум при Δφ=0, минимум при Δφ=π), упрощая сложные тригонометрические выкладки.

2) Распределение Максвелла для модуля скорости молекул (вывод)

Дано: Функция распределения Максвелла для одной проекции скорости (напр., v_x):
f(v_x) = (m/(2πkT))^{1/2} * exp(-m v_x² / (2kT))

Найти: Функцию распределения F(v) для модуля скорости v = √(v_x² + v_y² + v_z²).

Вывод:

  1. Независимость проекций: Так как направления в пространстве равноправны, распределения по v_x, v_y, v_z независимы и одинаковы.

  2. Функция распределения в пространстве скоростей: Вероятность того, что конец вектора скорости находится в элементарном объеме dΩ = dv_x dv_y dv_z пространства скоростей:
    dW(v_x, v_y, v_z) = f(v_x) f(v_y) f(v_z) dv_x dv_y dv_z
    Подставляем f:
    dW = [ (m/(2πkT))^{3/2} * exp(-m (v_x² + v_y² + v_z²) / (2kT)) ] dv_x dv_y dv_z

  3. Переход к сферическим координатам: Нас интересует только модуль скорости v, а не направление. Переходим в пространстве скоростей от декартовых координат (v_x, v_y, v_z) к сферическим (v, θ, φ), где:

    • v = √(v_x² + v_y² + v_z²) (модуль скорости)

    • θ, φ - углы, определяющие направление.
      Элемент объема в сферических координатах: dΩ = v² sinθ dv dθ dφ.

  4. Интегрирование по углам: Чтобы найти вероятность dW_v того, что модуль скорости лежит в интервале (v, v + dv), нужно проинтегрировать dW по всем возможным направлениям (т.е. по θ и φ), так как F(v)dv не зависит от направления.
    dW_v = [ (m/(2πkT))^{3/2} * exp(-m v² / (2kT)) ] * v² dv * ∫∫ sinθ dθ dφ
    Пределы интегрирования по углам: θ от 0 до π, φ от 0 до 2π.
    ∫₀^{2π} dφ = 2π
    ∫₀^{π} sinθ dθ = 2
    Следовательно: ∫∫ sinθ dθ dφ = 4π

  5. Итоговая функция распределения:
    dW_v = [ (m/(2πkT))^{3/2} * exp(-m v² / (2kT)) ] * v² dv * 4π
    Упрощаем:
    dW_v = 4π * (m/(2πkT))^{3/2} * v² * exp(-m v² / (2kT)) dv
    dW_v = [ (2/√π) * (m/(2kT))^{3/2} * v² * exp(-m v² / (2kT)) ] dv

Функция распределения Максвелла для модуля скорости F(v) определяется как плотность вероятности: dW_v = F(v) dv. Сравнивая с последним выражением, получаем:

F(v) = 4π * (m/(2πkT))^{3/2} * v² * exp(-m v² / (2kT))

или в более компактной форме:

F(v) = √(2/π) * (m/(kT))^{3/2} * v² * exp(-m v² / (2kT))

Физический смысл:

  • F(v) показывает плотность вероятности того, что модуль скорости молекулы равен v.

  • F(v)dv - вероятность того, что модуль скорости молекулы лежит в интервале от v до v + dv.

  • Функция равна нулю при v=0 и v→∞, имеет максимум при наиболее вероятной скорости v_в = √(2kT/m).

Малое колечко массой m = 22 г было надето на тонкий стержень OB и находилось на расстоянии l/3 от точки O. Длина стержня l, масса M = 9 г. Стержень вращался с частотой v_0 = 10 Гц вокруг вертикальной оси, проходящей через точку O, перпендикулярной плоскости рисунка. Какой стала частота вращения после того, как колечко сместилось к дальнему от оси концу стержня (под действием центробежной силы)? На какую величину изменилась при этом полная механическая энергия системы? Указание: при решении задачи вначале получите ответ в аналитическом виде и только после этого подставьте числа в полученное выражение
Thought for 623 seconds

Решение задачи

1. Новая частота вращения

Система (стержень с колечком) вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через точку OO, без внешних моментов сил, поэтому сохраняется момент импульса:

L=Iω=const,L = I \omega = \text{const},

где II — момент инерции системы, ω\omega — угловая скорость.

Начальный момент инерции системы:

  • Момент инерции стержня массы M=9г=0,009кгM = 9 \text{г} = 0,009 \text{кг} относительно конца: Is=13Ml2I_s = \frac{1}{3} M l^2.

  • Колечко массы m=22г=0,022кгm = 22 \text{г} = 0,022 \text{кг} на расстоянии l/3l/3 от OO: Ik1=m(l3)2=ml29I_{k1} = m \left(\frac{l}{3}\right)^2 = \frac{m l^2}{9}.

  • Начальный момент инерции: I1=Is+Ik1=13Ml2+19ml2=l2(M3+m9)I_1 = I_s + I_{k1} = \frac{1}{3} M l^2 + \frac{1}{9} m l^2 = l^2 \left(\frac{M}{3} + \frac{m}{9}\right).

Конечный момент инерции (колечко на конце стержня на расстоянии ll от OO):

  • Момент инерции колечка: Ik2=ml2I_{k2} = m l^2.

  • Конечный момент инерции: I2=Is+Ik2=13Ml2+ml2=l2(M3+m)I_2 = I_s + I_{k2} = \frac{1}{3} M l^2 + m l^2 = l^2 \left(\frac{M}{3} + m\right).

Сохранение момента импульса:

I1ω0=I2ω,I_1 \omega_0 = I_2 \omega,

где ω0=2πν0\omega_0 = 2\pi \nu_0 — начальная угловая скорость, ν0=10Гц\nu_0 = 10 \text{Гц} — начальная частота, ω\omega — новая угловая скорость.

Новая угловая скорость:

ω=ω0I1I2.\omega = \omega_0 \frac{I_1}{I_2}.

Новая частота:

ν=ω2π=ω02πI1I2=ν0I1I2.\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{\omega_0}{2\pi} \frac{I_1}{I_2} = \nu_0 \frac{I_1}{I_2}.

Подставляем выражения:

I1I2=l2(M3+m9)l2(M3+m)=M3+m9M3+m=3M+m9M+3m3=3M+m9⋅3M+3m=3M+m3(M+3m).\frac{I_1}{I_2} = \frac{l^2 \left(\frac{M}{3} + \frac{m}{9}\right)}{l^2 \left(\frac{M}{3} + m\right)} = \frac{\frac{M}{3} + \frac{m}{9}}{\frac{M}{3} + m} = \frac{\frac{3M + m}{9}}{\frac{M + 3m}{3}} = \frac{3M + m}{9} \cdot \frac{3}{M + 3m} = \frac{3M + m}{3(M + 3m)}.

Подставляем числовые значения (M=0,009кгM = 0,009 \text{кг}, m=0,022кгm = 0,022 \text{кг}):

3M+m=3⋅0,009+0,022=0,027+0,022=0,049,3M + m = 3 \cdot 0,009 + 0,022 = 0,027 + 0,022 = 0,049,M+3m=0,009+3⋅0,022=0,009+0,066=0,075,M + 3m = 0,009 + 3 \cdot 0,022 = 0,009 + 0,066 = 0,075,I1I2=0,0493⋅0,075=0,0490,225=49225.\frac{I_1}{I_2} = \frac{0,049}{3 \cdot 0,075} = \frac{0,049}{0,225} = \frac{49}{225}.

Новая частота:

ν=ν0⋅49225=10⋅49225=490225=9845Гц.\nu = \nu_0 \cdot \frac{49}{225} = 10 \cdot \frac{49}{225} = \frac{490}{225} = \frac{98}{45} \text{Гц}.

2. Изменение полной механической энергии системы

Полная механическая энергия системы в данном случае — это кинетическая энергия вращения, так как вращение происходит в горизонтальной плоскости, и потенциальная энергия гравитации не изменяется. Изменение кинетической энергии:

ΔE=E2−E1=12I2ω2−12I1ω02.\Delta E = E_2 - E_1 = \frac{1}{2} I_2 \omega^2 - \frac{1}{2} I_1 \omega_0^2.

Используем сохранение момента импульса L=I1ω0=I2ωL = I_1 \omega_0 = I_2 \omega, откуда ω=I1I2ω0\omega = \frac{I_1}{I_2} \omega_0. Тогда:

E2=12I2(I1I2ω0)2=12I2⋅I12I22ω02=12I12I2ω02,E_2 = \frac{1}{2} I_2 \left(\frac{I_1}{I_2} \omega_0\right)^2 = \frac{1}{2} I_2 \cdot \frac{I_1^2}{I_2^2} \omega_0^2 = \frac{1}{2} \frac{I_1^2}{I_2} \omega_0^2,ΔE=12I12I2ω02−12I1ω02=12I1ω02(I1I2−1).\Delta E = \frac{1}{2} \frac{I_1^2}{I_2} \omega_0^2 - \frac{1}{2} I_1 \omega_0^2 = \frac{1}{2} I_1 \omega_0^2 \left(\frac{I_1}{I_2} - 1\right).

Подставляем выражения для I1I_1, I2I_2, I1I2\frac{I_1}{I_2} и ω0=2πν0\omega_0 = 2\pi \nu_0:

I1=l2(M3+m9)=l23M+m9,I_1 = l^2 \left(\frac{M}{3} + \frac{m}{9}\right) = l^2 \frac{3M + m}{9},I1I2=3M+m3(M+3m),\frac{I_1}{I_2} = \frac{3M + m}{3(M + 3m)},ΔE=12(l23M+m9)(2πν0)2(3M+m3(M+3m)−1).\Delta E = \frac{1}{2} \left(l^2 \frac{3M + m}{9}\right) (2\pi \nu_0)^2 \left(\frac{3M + m}{3(M + 3m)} - 1\right).

Упрощаем выражение в скобках:

3M+m3(M+3m)−1=3M+m−3(M+3m)3(M+3m)=3M+m−3M−9m3(M+3m)=−8m3(M+3m).\frac{3M + m}{3(M + 3m)} - 1 = \frac{3M + m - 3(M + 3m)}{3(M + 3m)} = \frac{3M + m - 3M - 9m}{3(M + 3m)} = \frac{-8m}{3(M + 3m)}.

Тогда:

ΔE=12l23M+m9⋅4π2ν02⋅(−8m3(M+3m))=−12⋅19⋅4π2ν02l23M+m1⋅8m3(M+3m).\Delta E = \frac{1}{2} l^2 \frac{3M + m}{9} \cdot 4\pi^2 \nu_0^2 \cdot \left(-\frac{8m}{3(M + 3m)}\right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} \cdot 4\pi^2 \nu_0^2 l^2 \frac{3M + m}{1} \cdot \frac{8m}{3(M + 3m)}.

Упрощаем коэффициенты:

ΔE=−418π2ν02l2(3M+m)⋅8m3(M+3m)=−29π2ν02l28m(3M+m)3(M+3m)=−1627π2ν02l2m(3M+m)M+3m.\Delta E = -\frac{4}{18} \pi^2 \nu_0^2 l^2 \frac{(3M + m) \cdot 8m}{3(M + 3m)} = -\frac{2}{9} \pi^2 \nu_0^2 l^2 \frac{8m (3M + m)}{3(M + 3m)} = -\frac{16}{27} \pi^2 \nu_0^2 l^2 \frac{m (3M + m)}{M + 3m}.

Подставляем числовые значения (ν0=10Гц\nu_0 = 10 \text{Гц}, m=0,022кгm = 0,022 \text{кг}, M=0,009кгM = 0,009 \text{кг}):

3M+m=0,027+0,022=0,049,M+3m=0,009+0,066=0,075,3M + m = 0,027 + 0,022 = 0,049, \quad M + 3m = 0,009 + 0,066 = 0,075,m(3M+m)M+3m=0,022⋅0,0490,075=0,0010780,075=0,01437333.\frac{m (3M + m)}{M + 3m} = \frac{0,022 \cdot 0,049}{0,075} = \frac{0,001078}{0,075} = 0,01437333.

Однако длина стержня ll не задана численно, поэтому выражение для изменения энергии зависит от ll:

ΔE=−1627π2(10)2l2⋅0,022⋅0,0490,075=−1627π2⋅100⋅l2⋅0,022⋅4975.\Delta E = -\frac{16}{27} \pi^2 (10)^2 l^2 \cdot 0,022 \cdot \frac{0,049}{0,075} = -\frac{16}{27} \pi^2 \cdot 100 \cdot l^2 \cdot 0,022 \cdot \frac{49}{75}.

Упрощаем числовой коэффициент:

1627⋅100⋅0,022⋅4975=1627⋅100⋅11500⋅4975=16⋅100⋅11⋅4927⋅500⋅75=16⋅2⋅11⋅4927⋅10⋅75=16⋅11⋅4927⋅375=862410125.\frac{16}{27} \cdot 100 \cdot 0,022 \cdot \frac{49}{75} = \frac{16}{27} \cdot 100 \cdot \frac{11}{500} \cdot \frac{49}{75} = \frac{16 \cdot 100 \cdot 11 \cdot 49}{27 \cdot 500 \cdot 75} = \frac{16 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 49}{27 \cdot 10 \cdot 75} = \frac{16 \cdot 11 \cdot 49}{27 \cdot 375} = \frac{8624}{10125}.

Таким образом:

ΔE=−862410125π2l2Дж.\Delta E = -\frac{8624}{10125} \pi^2 l^2 \text{Дж}.

Дробь 862410125\frac{8624}{10125} несократима (НОД(8624, 10125) = 1). Здесь ll — длина стержня в метрах.

Ответы

  1. Новая частота вращения: 9845 Гц\boxed{\dfrac{98}{45}\ \text{Гц}}.

  2. Изменение полной механической энергии системы: −862410125 π2l2 Дж\boxed{-\dfrac{8624}{10125}\ \pi^{2} l^{2}\ \text{Дж}} (где ll — длина стержня в метрах).

New chat
DeepThink (R1)
Search
AI-generated, for reference only