Отвечаю четко по пунктам, как требуется на экзамене.

1) Свободные затухающие колебания

1. Дифференциальное уравнение:
   Уравнение движения для осциллятора с затуханием (сила трения пропорциональна скорости: Fтр = -r*v):
   m * d²x/dt² + r * dx/dt + k * x = 0

   • m - масса колеблющегося тела

   • r - коэффициент сопротивления

   • k - коэффициент упругости (жёсткость)

   • x - отклонение от положения равновесия
     Стандартный вид (делим на m):
     d²x/dt² + 2β * dx/dt + ω₀² * x = 0

   • β = r / (2m) - коэффициент затухания (характеризует скорость потери энергии)

   • ω₀ = √(k/m) - собственная частота колебаний системы без затухания.

2. Решение уравнения:
   Общий вид решения зависит от соотношения между β и ω₀:

   • Случай слабого затухания (колебательный режим): β < ω₀
x(t) = A₀ * e^(-βt) * cos(ωt + φ₀)

     • A₀ - начальная амплитуда

     • φ₀ - начальная фаза

     • ω = √(ω₀² - β²) - частота свободных затухающих колебаний

     • e^(-βt) - экспоненциально убывающая амплитуда.

   • Критическое затухание: β = ω₀
x(t) = (C₁ + C₂ * t) * e^(-βt)
     Система наиболее быстро возвращается в положение равновесия без колебаний.

   • Сильное затухание (апериодический режим): β > ω₀
x(t) = e^(-βt) * (C₁ * e^(√(β² - ω₀²)*t) + C₂ * e^(-√(β² - ω₀²)*t))
     Система медленно возвращается в положение равновесия без колебаний.

3. Частота свободных затухающих колебаний:
   ω = √(ω₀² - β²)
   Это циклическая частота, с которой происходят колебания в системе с учетом затухания. Она всегда меньше собственной частоты ω₀.

4. Время релаксации (τ):
   Время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз (примерно в 2.718 раза).
   τ = 1 / β

5. Логарифмический декремент затухания (Θ):
   Натуральный логарифм отношения амплитуд колебаний, отстоящих друг от друга на период T затухающих колебаний (T = 2π/ω).
   Θ = ln(A(t) / A(t+T)) = β * T
   Характеризует скорость затухания колебаний. Чем больше Θ, тем быстрее затухают колебания.

2) Тепловые машины. Холодильные машины. Второе начало термодинамики

1. Тепловые машины:
   Устройства, преобразующие теплоту в механическую работу (или другие виды энергии) за счет циклического процесса. Работают между нагревателем (температура T₁) и холодильником (температура T₂ < T₁).

   • Принцип работы: За цикл машина:

     • Получает от нагревателя количество теплоты Q₁.

     • Совершает полезную работу A.

     • Передает холодильнику количество теплоты Q₂.

   • Закон сохранения энергии (1-е начало): Q₁ = A + Q₂ => A = Q₁ - Q₂

   • Коэффициент полезного действия (КПД): η = A / Q₁ = (Q₁ - Q₂) / Q₁ = 1 - Q₂/Q₁

2. Холодильные машины (тепловые насосы):
   Устройства, переносящие теплоту от менее нагретого тела (холодильник) к более нагретому (нагреватель) за счет совершения работы внешними силами.

   • Принцип работы (обратный цикл): За цикл машина:

     • Забирает у охлаждаемого тела (холодильник T₂) количество теплоты Q₂.

     • Получает от внешнего источника работу A.

     • Передает нагревателю (температура T₁ > T₂) количество теплоты Q₁.

   • Закон сохранения энергии (1-е начало): Q₁ = Q₂ + A

   • Холодильный коэффициент (ε): ε = Q₂ / A (Эффективность переноса тепла от холодного источника). Для теплового насоса (цель - нагрев) используют коэффициент преобразования (отопления): ε_нагр = Q₁ / A

3. Второе начало термодинамики:
   Устанавливает направление возможных процессов и необратимость тепловых явлений.

   • Формулировка Клаузиуса: "Невозможен процесс, единственным результатом которого была бы передача теплоты от более холодного тела к более горячему" (Теплота не может самопроизвольно переходить от холодного тела к горячему).

   • Формулировка Томсона (Кельвина): "Невозможен круговой процесс (цикл), единственным результатом которого было бы производство работы за счет охлаждения одного теплового резервуара" (Невозможно создать вечный двигатель второго рода, который полностью превращал бы теплоту в работу, используя только один источник тепла).

   Эквивалентность формулировок: Обе формулировки эквивалентны. Нарушение одной из них приводит к нарушению другой. Обе запрещают создание вечного двигателя второго рода и указывают на необратимость тепловых процессов.