Отвечаю четко, как на экзамене по физике.
1) Кинетическая энергия релятивистской частицы. Полная энергия и энергия покоя в СТО
Энергия покоя (E₀): Энергия, которой обладает частица в системе отсчета, где она покоится. Определяется массой покоя частицы m₀.
Формула: E₀ = m₀c²
Полная энергия (E): Сумма энергии покоя и кинетической энергии частицы. Зависит от скорости частицы v и ее массы покоя m₀. Масса частицы в движении m = γm₀, где γ (гамма) - Лоренц-фактор: γ = 1 / √(1 - v²/c²).
Формула: E = γm₀c² = mc²
Кинетическая энергия (K): Энергия движения частицы. Определяется как разность между полной энергией и энергией покоя.
Формула: K = E - E₀ = γm₀c² - m₀c² = m₀c²(γ - 1)
Примечание: В нерелятивистском пределе (v << c, γ ≈ 1) эта формула сводится к классической: K ≈ (1/2)m₀v².
Связь энергии и импульса: Полная энергия, энергия покоя и импульс p связаны фундаментальным соотношением:
Формула: E² = (p c)² + (E₀)² или E² = (p c)² + (m₀ c²)²
2) Тепловые машины. Холодильные машины. Второе начало термодинамики
Тепловая машина: Устройство, преобразующее тепловую энергию (Q) в механическую работу (A). Работает циклически между двумя тепловыми резервуарами: нагревателем (с температурой T₁) и холодильником (с температурой T₂ < T₁).
КПД тепловой машины (η): Отношение полезной работы A за цикл к количеству теплоты Q₁, полученному от нагревателя.
Формула: η = A / Q₁ = (Q₁ - |Q₂|) / Q₁ = 1 - |Q₂| / Q₁
КПД цикла Карно: Максимально возможный КПД для данных T₁ и T₂: η_карно = 1 - T₂/T₁ (температуры в Кельвинах).
Холодильная машина (тепловой насос): Устройство, которое за счет совершения работы A переносит теплоту Q₂ от холодного тела (холодильной камеры, T₂) к горячему (окружающей среде, T₁ > T₂).
Холодильный коэффициент (ε): Отношение количества теплоты Q₂, отобранной у холодного источника, к затраченной работе A.
Формула: ε = Q₂ / A = Q₂ / (|Q₁| - Q₂)
Второе начало термодинамики:
Формулировка Клаузиуса: "Невозможен процесс, единственным результатом которого была бы передача теплоты от холодного тела к горячему". (Теплота сама по себе не может перетечь от холодного тела к горячему).
Формулировка Томсона (Кельвина): "Невозможен процесс, единственным результатом которого было бы превращение теплоты, полученной от одного теплового резервуара, в работу". (Невозможно создать вечный двигатель второго рода, полностью превращающий теплоту в работу без других изменений).
Эквивалентность: Обе формулировки эквивалентны. Нарушение одной из них приводит к нарушению другой.
Средняя объёмная плотность энергии продольной волны в стержне равна:
u = (2π² E A²) / λ²
где:
u - средняя объёмная плотность энергии (Дж/м³)
E - модуль Юнга материала стержня (Па)
A - амплитуда волны (м)
λ - длина волны (м)
Вывод:
Объёмная плотность энергии (мгновенная): Полная энергия в единице объёма складывается из кинетической энергии (u_k) и потенциальной энергии упругой деформации (u_p):u = u_k + u_p
Связь скоростей и деформаций: Для бегущей продольной волны в стержне вида ξ(x,t) = A sin(kx - ωt) (где ξ - смещение частицы, k = 2π/λ - волновое число, ω = 2πν - круговая частота):
Скорость частицы: v = ∂ξ/∂t = -Aω cos(kx - ωt)
Относительная деформация: ε = ∂ξ/∂x = Ak cos(kx - ωt)
Кинетическая плотность энергии:u_k = (1/2) ρ v² = (1/2) ρ A² ω² cos²(kx - ωt)
Потенциальная плотность энергии: Плотность энергии упругой деформации при одноосном напряжении определяется модулем Юнга:u_p = (1/2) σ ε = (1/2) (E ε) ε = (1/2) E ε² = (1/2) E A² k² cos²(kx - ωt)
Полная мгновенная плотность энергии:u = u_k + u_p = (1/2) ρ A² ω² cos²(kx - ωt) + (1/2) E A² k² cos²(kx - ωt)u = (1/2) A² cos²(kx - ωt) (ρ ω² + E k²)
Скорость волны: Скорость распространения продольных волн в стержне v = √(E / ρ). Отсюда:v² = E / ρ или E = ρ v²
Связь ω, k и v: По определению, v = ω / k, следовательно ω = v k. Подставим E = ρ v² и ω = v k в выражение в скобках:ρ ω² + E k² = ρ (v k)² + (ρ v²) k² = ρ v² k² + ρ v² k² = 2 ρ v² k²
Подставим обратно в u:u = (1/2) A² cos²(kx - ωt) * 2 ρ v² k² = ρ v² k² A² cos²(kx - ωt)
Усреднение по времени: Функция cos²(φ) усреднённая по периоду колебаний равна 1/2. Поэтому средняя плотность энергии:< u > = ρ v² k² A² * < cos²(kx - ωt) > = ρ v² k² A² * (1/2)
Подстановка волнового числа: k = 2π / λ:< u > = (1/2) ρ v² (2π / λ)² A² = (1/2) ρ v² * 4π² / λ² * A² = (2 π² ρ v² A²) / λ²
Подстановка скорости волны: v = √(E / ρ), следовательно v² = E / ρ:< u > = (2 π² ρ (E / ρ) A²) / λ² = (2 π² E A²) / λ²
Ответ: Средняя объёмная плотность энергии продольной волны в стержне равна u = (2π² E A²) / λ².
Примечание: В процессе вывода видно, что средние значения кинетической и потенциальной составляющих плотности энергии равны друг другу: < u_k > = < u_p > = (π² E A²) / λ².