Отвечаю чётко по пунктам, как требуется на экзамене по физике:
1) Объёмная плотность энергии упругой волны. Вектор Умова (вектор плотности потока энергии)
Объёмная плотность энергии упругой волны (w): Это энергия упругой деформации, переносимая волной, заключённая в единице объёма среды.
Формула: Для бегущей гармонической волны (например, вдоль оси X) выражается как:w = (ρ * ω² * A² * sin²(ωt - kx)) / 2 или через среднее значение за период:<w> = (ρ * ω² * A²) / 4
Где:
ρ - плотность среды.
ω - циклическая частота волны.
A - амплитуда волны.
<w> - средняя объёмная плотность энергии.
Вектор Умова (вектор плотности потока энергии) (I⃗): Вектор, характеризующий количество энергии, переносимой волной в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны. Показывает направление и скорость переноса энергии.
Формула: I⃗ = w * v⃗
Где:
w - мгновенная объёмная плотность энергии волны в данной точке.
v⃗ - вектор скорости распространения волны (фазовой скорости) в данной точке среды.
Модуль вектора Умова: I = <w> * v (часто используется средняя плотность энергии).
Смысл: Направление вектора Умова совпадает с направлением распространения волны (направлением переноса энергии). Его модуль равен интенсивности волны.
2) Момент инерции твёрдого тела относительно оси. Момент инерции однородного диска или цилиндра относительно его оси
Момент инерции твёрдого тела относительно оси (J): Мера инертности тела при вращательном движении вокруг данной оси. Характеризует распределение массы тела относительно этой оси.
Формула (определение): J = Σ(m_i * r_i²) (для системы материальных точек) или J = ∫(r² * dm) (для сплошного тела).
Где:
m_i - масса i-й материальной точки.
r_i - расстояние от i-й материальной точки до оси вращения.
dm - элементарная масса тела.
r - расстояние от элемента массы dm до оси вращения.
Смысл: Чем больше масса тела и чем дальше она распределена от оси вращения, тем больше момент инерции. Он определяет, насколько "трудно" придать телу угловое ускорение вокруг данной оси (аналогично массе в поступательном двиении, M * a ↔ J * ε).
Момент инерции однородного диска или сплошного цилиндра относительно его оси симметрии (J):
Формула: J = (1/2) * M * R²
Где:
M - масса диска (цилиндра).
R - радиус диска (цилиндра).
Пояснение: Эта формула справедлива для:
Тонкого однородного диска, вращающегося вокруг оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр.
Однородного сплошного цилиндра (или диска конечной толщины), вращающегося вокруг его продольной оси симметрии.
Отлично, разберём задачу по термодинамике. На графике в координатах T-S (температура - энтропия) изображён цикл из трёх процессов между точками:
Точка 1: (S₁ = S₀, T₁ = 3T₀)
Точка 2: (S₂ = 2S₀, T₂ = 3T₀)
Точка 3: (S₃ = 2S₀, T₃ = 2T₀)
Процессы:
1 → 2: Изотермический процесс (T = const = 3T₀). Энтропия увеличивается (S₀ → 2S₀).
2 → 3: Адиабатический процесс (S = const = 2S₀). Энтропия постоянна, температура падает (3T₀ → 2T₀).
3 → 1: Политропический процесс (переход от (2S₀, 2T₀) к (S₀, 3T₀)). Это не изохора и не изобара в строгом смысле для идеального газа, но нам важен теплообмен.
Решение:
Коэффициент полезного действия (КПД) η тепловой машины, работающей по циклу, определяется как отношение полезной работы A за цикл к количеству теплоты Q₁, полученному от нагревателя:
η = A / Q₁
Работа за цикл A равна разности полученного Q₁ и отданного |Q₂| тепла: A = Q₁ - |Q₂|. Поэтому КПД можно также найти как:
η = (Q₁ - |Q₂|) / Q₁ = 1 - |Q₂| / Q₁
Найдем Q₁ и Q₂ для данного цикла. Теплообмен происходит только на участках, где энтропия меняется (dS ≠ 0), так как δQ = T dS.
Тепло, полученное от нагревателя (Q₁):
Тепло подводится только на участке 1 → 2 (изотермическое расширение). Энтропия растет (dS > 0), значит δQ > 0.
Для изотермического процесса (T = const) количество теплоты вычисляется интегрированием:
Q₁₂ = ∫₁² T dS = T ∫₁² dS = T (S₂ - S₁)
T = 3T₀, S₂ = 2S₀, S₁ = S₀
Q₁ = Q₁₂ = 3T₀ * (2S₀ - S₀) = 3T₀ * S₀
Тепло, отданное холодильнику (|Q₂|):
Тепло отводится на участке 3 → 1. Энтропия уменьшается (dS < 0), значит δQ < 0. Нам нужно абсолютное значение этого тепла (|Q₂|).
Участок 3 → 1 не является изотермическим. Теплоту Q₃₁ нужно найти как интеграл:
Q₃₁ = ∫₃¹ T dS
Найдем зависимость T от S на участке 3→1. По условию точки 3 (S₃=2S₀, T₃=2T₀) и 1 (S₁=S₀, T₁=3T₀). Предположим, что это прямая линия (как обычно изображается на схематичных графиках).
Уравнение прямой T(S), проходящей через точки (2S₀, 2T₀) и (S₀, 3T₀):
Угловой коэффициент: k = (3T₀ - 2T₀) / (S₀ - 2S₀) = (T₀) / (-S₀) = -T₀ / S₀
Уравнение: T - 2T₀ = k(S - 2S₀)
T - 2T₀ = (-T₀ / S₀)(S - 2S₀)
T = 2T₀ - (T₀ / S₀)S + (T₀ / S₀)*2S₀
T = 2T₀ - (T₀ / S₀)S + 2T₀
T(S) = 4T₀ - (T₀ / S₀) * S
Теперь вычислим интеграл:
Q₃₁ = ∫{S=2S₀}^{S=S₀} T dS = ∫{2S₀}^{S₀} [4T₀ - (T₀ / S₀) * S] dS
Найдем первообразную:
∫ [4T₀ - (T₀ / S₀) * S] dS = 4T₀ * S - (T₀ / S₀) * (S² / 2) + C = 4T₀ S - (T₀ / (2S₀)) S² + C
Подставим пределы интегрирования (от 2S₀ до S₀):
Q₃₁ = [4T₀ * S₀ - (T₀ / (2S₀)) * (S₀)²] - [4T₀ * (2S₀) - (T₀ / (2S₀)) * (2S₀)²]
Q₃₁ = [4T₀ S₀ - (T₀ / (2S₀)) * S₀²] - [8T₀ S₀ - (T₀ / (2S₀)) * 4S₀²]
Q₃₁ = [4T₀ S₀ - (1/2)T₀ S₀] - [8T₀ S₀ - (T₀ / (2S₀)) * 4S₀²] (учтем S₀² / S₀ = S₀)
Q₃₁ = [4T₀ S₀ - 0.5T₀ S₀] - [8T₀ S₀ - (4T₀ S₀²) / (2S₀)] (сокращаем S₀ в знаменателе и числителе)
Q₃₁ = [3.5T₀ S₀] - [8T₀ S₀ - 2T₀ S₀] (так как (4T₀ S₀²) / (2S₀) = 2T₀ S₀)
Q₃₁ = 3.5T₀ S₀ - 6T₀ S₀
Q₃₁ = -2.5T₀ S₀
Знак минус подтверждает, что тепло отводится (δQ < 0). Количество теплоты, отданное холодильнику:
|Q₂| = |Q₃₁| = 2.5T₀ S₀
Вычисление КПД:
Полезная работа за цикл:
A = Q₁ - |Q₂| = 3T₀ S₀ - 2.5T₀ S₀ = 0.5T₀ S₀
КПД:
η = A / Q₁ = (0.5T₀ S₀) / (3T₀ S₀) = 0.5 / 3 = 1/6
Ответ:
Коэффициент полезного действия (КПД) данной тепловой машины равен η = 1/6.