DeepSeek - Into the Unknown

Ты сейчас на экзамене по физике. Отвечай чётко 1) Уравнение плоской гармонической волны. Характеристика волны: период, частота, длина волны, волновое число и волновой вектор. Единицы измерения этих величин в СИ. Уравнение сферической волны (без вывода) 2) Понятие эффиктивного диаметра молекулы. Вывод формулы для длины свободного пробега молекул идеального газа

Thought for 20 seconds

1) Уравнение плоской гармонической волны. Характеристики волны. Уравнение сферической волны

Уравнение плоской гармонической волны (распространяющейся вдоль оси $x$ ):

\xi(x, t) = A \cos(\omega t \mp kx + \varphi_0)

где:

$\xi(x, t)$ — смещение точки от положения равновесия,
$A$ — амплитуда волны (м),
$\omega$ — циклическая частота (рад/с),
$k$ — волновое число (рад/м),
$\varphi_0$ — начальная фаза (рад),
Знак " $-$ " соответствует волне, бегущей в положительном направлении оси $x$ ,
Знак " $+$ " — в отрицательном направлении.

Характеристики волны и единицы СИ:

Характеристика	Обозначение	Определение	Единица СИ
Период	$T$	Время одного полного колебания точки	с (секунда)
Частота	$\nu$	Число колебаний точки в единицу времени	Гц (Герц) = с⁻¹
Длина волны	$\lambda$	Расстояние, на которое распространяется волна за один период	м (метр)
Волновое число	$k$	Число волн, укладывающихся на $2\pi$ метрах	рад/м
Волновой вектор	$\vec{k}$	Вектор, направленный вдоль луча, модуль $k = \frac{2\pi}{\lambda}$	рад/м

Связь величин:

\omega = 2\pi\nu = \frac{2\pi}{T}, \quad k = \frac{2\pi}{\lambda}, \quad v = \frac{\lambda}{T} = \lambda \nu

где $v$ — фазовая скорость волны (м/с).

Уравнение сферической волны:

\xi(r, t) = \frac{A_0}{r} \cos(\omega t \mp kr + \varphi_0)

где:

$r$ — расстояние от точечного источника до рассматриваемой точки (м),
$A_0$ — константа, связанная с амплитудой на расстоянии $r_0 = 1$ м.
Особенность: Амплитуда убывает как $\frac{1}{r}$ из-за распределения энергии по сфере.

2) Эффективный диаметр молекулы и длина свободного пробега

Эффективный диаметр молекулы ( $d$ ):

Это минимальное расстояние между центрами двух молекул при столкновении.
В модели жёстких сфер молекулы рассматриваются как шары диаметром $d$ .
Физический смысл: При сближении молекул на расстояние $d$ происходит упругое столкновение.

Вывод формулы длины свободного пробега ( $\lambda$ ):
Длина свободного пробега — среднее расстояние, которое молекула проходит между двумя последовательными столкновениями.

Средняя относительная скорость молекул:
Для газа в равновесии: $\langle v_{\text{отн}} \rangle = \sqrt{2} \langle v \rangle$ ,
где $\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$ — средняя арифметическая скорость.
Эффективное сечение столкновения:
$\sigma = \pi d^2$ (площадь круга радиусом $d$ ).
Число столкновений за время $\Delta t$ :
Молекула движется среди "неподвижных" мишеней. За $\Delta t$ она столкнётся со всеми молекулами, центры которых попадают в цилиндр радиусом $d$ :
$z = n \cdot \sigma \cdot \langle v_{\text{отн}} \rangle \cdot \Delta t = n \pi d^2 \sqrt{2} \langle v \rangle \Delta t,$
где $n$ — концентрация молекул (м⁻³).
Длина свободного пробега ( $\lambda$ ):
$\lambda = \frac{\text{путь за } \Delta t}{\text{число столкновений}} = \frac{\langle v \rangle \Delta t}{z} = \frac{\langle v \rangle \Delta t}{n \pi d^2 \sqrt{2} \langle v \rangle \Delta t} = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}.$

Итоговая формула:

где:

$d$ — эффективный диаметр молекулы (м),
$n$ — концентрация молекул (м⁻³).

Замечание: С учётом движения всех молекул в формуле появляется множитель $\frac{1}{\sqrt{2}}$ . Для идеального газа ( $n = \frac{P}{kT}$ ):

\lambda = \frac{kT}{\sqrt{2} \pi d^2 P}.

На какой высоте отношение концентрации кислорода к концентрации углекислого газа (CO2) в воздухе на 5% больше, чем на уровне моря? Температуру воздуха считайте не меняющейся с высотой и равной 27 градусов цельсия. Атомная масса углерода - 12 а.е.м, кислорода - 16 а.е.м. Указание: при решении задачи вначале получите ответ в аналитическом виде и только после этого подставьте числа в полученное выражение

Thought for 260 seconds

Решение задачи

1. Аналитический вывод

Отношение концентрации кислорода ( $n_{O_2}$ ) к концентрации углекислого газа ( $n_{CO_2}$ ) на высоте $h$ задается барометрической формулой для каждого газа. Поскольку температура постоянна и газы не взаимодействуют, их концентрации изменяются с высотой независимо:

n_{O_2}(h) = n_{O_2,0} e^{-\frac{m_{O_2} g h}{k T}}, \quad n_{CO_2}(h) = n_{CO_2,0} e^{-\frac{m_{CO_2} g h}{k T}},

где:

$n_{O_2,0}$ , $n_{CO_2,0}$ — концентрации на уровне моря,
$m_{O_2}$ , $m_{CO_2}$ — массы молекул кислорода и углекислого газа,
$g$ — ускорение свободного падения,
$k$ — постоянная Больцмана,
$T$ — абсолютная температура.

Отношение концентраций на высоте $h$ :

r(h) = \frac{n_{O_2}(h)}{n_{CO_2}(h)} = \frac{n_{O_2,0}}{n_{CO_2,0}} e^{-\frac{(m_{O_2} - m_{CO_2}) g h}{k T}} = r_0 e^{-\frac{\Delta m g h}{k T}},

где $r_0 = \frac{n_{O_2,0}}{n_{CO_2,0}}$ — отношение на уровне моря, $\Delta m = m_{O_2} - m_{CO_2}$ .

По условию, $r(h) = 1.05 r_0$ , поэтому:

r_0 e^{-\frac{\Delta m g h}{k T}} = 1.05 r_0.

Сокращая $r_0$ :

e^{-\frac{\Delta m g h}{k T}} = 1.05.

Логарифмируем обе части:

-\frac{\Delta m g h}{k T} = \ln(1.05).

Решаем относительно $h$ :

h = -\frac{\ln(1.05) k T}{\Delta m g}.

Массы молекул выразим через молярные массы:

m_{O_2} = \frac{M_{O_2}}{N_A}, \quad m_{CO_2} = \frac{M_{CO_2}}{N_A},

где $M_{O_2}$ , $M_{CO_2}$ — молярные массы, $N_A$ — число Авогадро. Тогда:

\Delta m = m_{O_2} - m_{CO_2} = \frac{M_{O_2} - M_{CO_2}}{N_A}.

Подставляем в формулу для $h$ :

h = -\frac{\ln(1.05) k T}{\frac{M_{O_2} - M_{CO_2}}{N_A} g} = -\frac{\ln(1.05) k T N_A}{(M_{O_2} - M_{CO_2}) g}.

Учитывая, что $k N_A = R$ (универсальная газовая постоянная), и $M_{O_2} - M_{CO_2} < 0$ (так как $M_{O_2} < M_{CO_2}$ ), получаем:

h = \frac{\ln(1.05) R T}{(M_{CO_2} - M_{O_2}) g},

где $M_{CO_2} - M_{O_2} = |M_{O_2} - M_{CO_2}|$ .

Молярные массы:

Кислород ( $O_2$ ): $M_{O_2} = 2 \times 16 \times 10^{-3} = 32 \times 10^{-3} \text{кг/моль}$ ,
Углекислый газ ( $CO_2$ ): $M_{CO_2} = 12 \times 10^{-3} + 2 \times 16 \times 10^{-3} = 44 \times 10^{-3} \text{кг/моль}$ ,
Разность: $M_{CO_2} - M_{O_2} = (44 - 32) \times 10^{-3} = 12 \times 10^{-3} = 0.012 \text{кг/моль}$ .

Окончательная аналитическая формула:

h = \frac{\ln(1.05) R T}{0.012 g}.

2. Подстановка числовых значений

$\ln(1.05)$ : используем приближение $\ln(1.05) \approx 0.048790$ ,
(универсальная газовая постоянная),
$T = 27^\circ \text{C} = 27 + 273 = 300 \text{K}$ ,
$g = 9.8 \text{м/с}^2$ (ускорение свободного падения).

Подставляем:

h = \frac{0.048790 \times 8.314 \times 300}{0.012 \times 9.8}.

Вычисляем поэтапно:

Числитель: $0.048790 \times 8.314 = 0.405723$ , затем $0.405723 \times 300 = 121.7169$ ,
Знаменатель: $0.012 \times 9.8 = 0.1176$ ,
$h = \frac{121.7169}{0.1176} \approx 1034.8 \text{м}$ .

Округляем до целых: $h \approx 1035 \text{м}$ .

Ответ: Высота, на которой отношение концентрации кислорода к концентрации углекислого газа на 5% больше, чем на уровне моря, составляет 1035 м.

New chat

DeepThink (R1)

AI-generated, for reference only