DeepSeek - Into the Unknown

Ты сейчас на экзамене по физике. Отвечай чётко 1) Одномерное волновое уравнение для продольной упругой волны в твёрдом теле (с выводом). Общий вид волнового уравнения (без вывода) 2) Область применимости СТО. Постулаты СТО. Выражение для импульса в СТО (без вывода). Основное уравнение релятивистской динамики (без вывода)

Thought for 15 seconds

Отлично, отвечаю четко по пунктам, как на экзамене.

1) Одномерное волновое уравнение для продольной упругой волны в твёрдом теле (с выводом). Общий вид волнового уравнения (без вывода)

Вывод для продольной волны в стержне:
1. Закон Гука: Напряжение σ в стержне пропорционально относительной деформации ε: σ = E * ε, где E - модуль Юнга.
2. Деформация: Относительное удлинение элемента стержня длиной Δx: ε = ∂ξ/∂x, где ξ(x, t) - смещение частицы в точке x в момент t.
3. Сила: Сила, действующая на поперечное сечение S: F = σ * S = E * S * (∂ξ/∂x).
4. Разность сил: Рассмотрим малый элемент стержня между x и x+Δx. Сила справа: F(x+Δx) ≈ E*S*(∂ξ/∂x)|_{x+Δx}. Сила слева: F(x) = E*S*(∂ξ/∂x)|_x. Результирующая сила: ΔF = F(x+Δx) - F(x) ≈ E*S * [ (∂ξ/∂x)|_{x+Δx} - (∂ξ/∂x)|_x ] ≈ E*S * (∂²ξ/∂x²) * Δx.
5. Второй закон Ньютона: Масса элемента Δm = ρ * S * Δx, где ρ - плотность. Ускорение элемента ∂²ξ/∂t². Уравнение: ΔF = Δm * a => E*S * (∂²ξ/∂x²) * Δx = ρ * S * Δx * (∂²ξ/∂t²).
6. Волновое уравнение: Сокращаем S и Δx: E * (∂²ξ/∂x²) = ρ * (∂²ξ/∂t²). Перепишем в стандартном виде:
  ∂²ξ/∂t² = (E/ρ) * ∂²ξ/∂x²
  Скорость распространения волны: v = √(E/ρ).
Общий вид одномерного волнового уравнения (без вывода):
∂²u/∂t² = v² * ∂²u/∂x²
где:
- u(x, t) - волновая функция (смещение, давление и т.д.),
- v - скорость распространения волны,
- x - пространственная координата,
- t - время.

2) Область применимости СТО. Постулаты СТО. Выражение для импульса в СТО (без вывода). Основное уравнение релятивистской динамики (без вывода)

Область применимости СТО:
- Законы механики и электродинамики инвариантны во всех инерциальных системах отсчета (ИСО).
- Скорости движения тел сравнимы со скоростью света в вакууме c (v ~ c).
- Гравитационные эффекты пренебрежимо малы.
Постулаты СТО:
1. Принцип относительности (обобщенный): Законы природы (все физические законы, включая электродинамику) одинаковы (инвариантны) во всех инерциальных системах отсчета.
2. Принцип постоянства скорости света: Скорость света в вакууме c одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Она не зависит ни от скорости источника света, ни от скорости наблюдателя. c ≈ 3·10⁸ м/с является предельной скоростью передачи информации и взаимодействия.
Выражение для импульса в СТО (без вывода):
p = γ * m₀ * v
где:
- p - релятивистский импульс частицы,
- m₀ - масса покоя частицы (инвариантная величина),
- v - скорость частицы,
- γ (гамма) - Лоренц-фактор: γ = 1 / √(1 - v²/c²).
- При v << c, γ ≈ 1, и формула переходит в классический импульс p = m₀ * v.
Основное уравнение релятивистской динамики (релятивистский аналог второго закона Ньютона, без вывода):
F = dp/dt
где:
- F - сила, действующая на частицу,
- p - релятивистский импульс частицы (p = γ * m₀ * v).
- Это уравнение сохраняет форму второго закона Ньютона, но с релятивистским импульсом. Сила равна скорости изменения релятивистского импульса по времени.

Удачи на экзамене!

Плутон движется вокруг Солнца по эллиптической орбите. В афелии (максимально удалённой от Солнца точке) его скорость равна V1, а расстояние до Солнца - R1. Масса Солнца равна M. Получите выражения для скорости Плутона в перегелии (ближайшей к Солнцу точке) и для расстояния от Солнца до этой точки Указание: решите задачу, используя законы сохранения и не используя законы Кеплера

Thought for 81 seconds

Решение задачи о движении Плутона по эллиптической орбите

Для решения используем законы сохранения (энергии и момента импульса), так как гравитационное поле Солнца консервативно и центрально. Обозначим:

В афелии (точка максимального удаления):
Скорость — $V_1$ , расстояние до Солнца — $R_1$ .
В перигелии (точка минимального удаления):
Скорость — $V_2$ (искомая), расстояние — $R_2$ (искомое).
Масса Солнца — $M$ .
Гравитационная постоянная — $G$ .

1. Закон сохранения момента импульса

Момент импульса относительно центра Солнца сохраняется, так как сила гравитации центральная. В афелии и перигелии векторы скорости и радиус-вектора перпендикулярны. Поэтому:

L = m \cdot R_1 \cdot V_1 = m \cdot R_2 \cdot V_2,

где $m$ — масса Плутона. Упрощаем:

R_1 V_1 = R_2 V_2 \quad \Rightarrow \quad R_2 = \frac{R_1 V_1}{V_2}. \quad (1)

2. Закон сохранения механической энергии

Полная механическая энергия в гравитационном поле сохраняется. Выразим энергию в афелии и перигелии:

Кинетическая энергия: $\frac{m V^2}{2}$ ,
Потенциальная энергия: $-\frac{G M m}{R}$ .

Уравнение сохранения энергии:

\frac{m V_1^2}{2} - \frac{G M m}{R_1} = \frac{m V_2^2}{2} - \frac{G M m}{R_2}.

Делим обе части на $m$ (масса Плутона сокращается):

\frac{V_1^2}{2} - \frac{G M}{R_1} = \frac{V_2^2}{2} - \frac{G M}{R_2}. \quad (2)

3. Решение системы уравнений

Подставим $R_2$ из (1) в (2):

\frac{V_1^2}{2} - \frac{G M}{R_1} = \frac{V_2^2}{2} - \frac{G M V_2}{R_1 V_1}.

Переносим все члены в левую часть:

\frac{V_1^2}{2} - \frac{G M}{R_1} - \frac{V_2^2}{2} + \frac{G M V_2}{R_1 V_1} = 0.

Умножаем обе части на 2 для упрощения:

V_1^2 - \frac{2 G M}{R_1} - V_2^2 + \frac{2 G M V_2}{R_1 V_1} = 0. \quad (3)

Группируем члены с $V_2$ :

- V_2^2 + \frac{2 G M}{R_1 V_1} \cdot V_2 + \left( V_1^2 - \frac{2 G M}{R_1} \right) = 0.

Умножаем на $-1$ :

V_2^2 - \frac{2 G M}{R_1 V_1} \cdot V_2 - \left( V_1^2 - \frac{2 G M}{R_1} \right) = 0. \quad (4)

Это квадратное уравнение относительно $V_2$ :

V_2^2 - \underbrace{\frac{2 G M}{R_1 V_1}}_{b} \cdot V_2 - \underbrace{\left( V_1^2 - \frac{2 G M}{R_1} \right)}_{c} = 0.

Дискриминант:

D = b^2 - 4ac = \left( \frac{2 G M}{R_1 V_1} \right)^2 + 4 \left( V_1^2 - \frac{2 G M}{R_1} \right).

Упрощаем:

D = \frac{4 G^2 M^2}{R_1^2 V_1^2} + 4 V_1^2 - \frac{8 G M}{R_1}.

Решение квадратного уравнения:

V_2 = \frac{ \frac{2 G M}{R_1 V_1} \pm \sqrt{D} }{2} = \frac{G M}{R_1 V_1} \pm \sqrt{ \frac{G^2 M^2}{R_1^2 V_1^2} + V_1^2 - \frac{2 G M}{R_1} }.

Выражение под корнем можно преобразовать:

\underbrace{ \frac{G^2 M^2}{R_1^2 V_1^2} + V_1^2 - \frac{2 G M}{R_1} }_{\text{полный квадрат}} = \left( V_1 - \frac{G M}{R_1 V_1} \right)^2.

Таким образом:

V_2 = \frac{G M}{R_1 V_1} \pm \left| V_1 - \frac{G M}{R_1 V_1} \right|.

Для эллиптической орбиты скорость в перигелии $V_2$ больше, чем в афелии $V_1$ . Физически значимый корень (со знаком «+»):

V_2 = \frac{G M}{R_1 V_1} + \left( \frac{G M}{R_1 V_1} - V_1 \right) = \frac{2 G M}{R_1 V_1} - V_1.

(знак выбирается так, чтобы $V_2 > V_1$ , что выполняется для $\frac{G M}{R_1 V_1} > V_1$ ).

Теперь находим $R_2$ из уравнения (1):

R_2 = \frac{R_1 V_1}{V_2} = \frac{R_1 V_1}{ \frac{2 G M}{R_1 V_1} - V_1 } = \frac{R_1 V_1}{ \frac{2 G M - R_1 V_1^2}{R_1 V_1} } = \frac{R_1^2 V_1^2}{2 G M - R_1 V_1^2}.

Итоговые выражения

Скорость Плутона в перигелии:

\boxed{V_2 = \frac{2 G M}{R_1 V_1} - V_1}

Расстояние от Солнца до перигелия:

\boxed{R_2 = \frac{R_1^2 V_1^2}{2 G M - R_1 V_1^2}}

Условия применимости

Решение справедливо для $R_1 V_1^2 < 2 G M$ (эллиптическая орбита).
Если $R_1 V_1^2 = 2 G M$ , орбита параболическая (не рассматривается).
Формулы получены исключительно из законов сохранения, без использования законов Кеплера.

New chat

DeepThink (R1)

AI-generated, for reference only