DeepSeek - Into the Unknown

Ты сейчас на экзамене по физике. Отвечай чётко 1) Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы. Резонанс. 2) Теплоёмкость. Теплоёмкость идеального газа в изохорическом и изобарическом процессах. Уравнение Майера.

Thought for 21 seconds

Отвечаю чётко по пунктам, как на экзамене по физике.

1) Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы. Резонанс.

Дифференциальное уравнение:
m * d²x/dt² + r * dx/dt + k * x = F₀ * cos(ωt)
где:
- m - масса колеблющегося тела,
- r - коэффициент сопротивления (трения),
- k - коэффициент упругости (жесткость),
- F₀ - амплитуда вынуждающей силы,
- ω - циклическая частота вынуждающей силы,
- x - отклонение от положения равновесия.
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний (A) от частоты вынуждающей силы (ω):
Установившаяся амплитуда вынужденных колебаний определяется формулой:
A = F₀ / √( (m * ω₀² - m * ω²)² + (r * ω)² )
где ω₀ = √(k/m) - собственная циклическая частота колебательной системы.
- Характер зависимости A(ω):
  - При ω → 0: A ≈ F₀ / (m * ω₀²) = F₀ / k (статическое отклонение).
  - При ω → ∞: A → 0 (система не успевает реагировать на быстрые изменения силы).
  - При ω ≈ ω₀: Амплитуда резко возрастает, достигая максимума при резонансной частоте ωᵣₑₛ.
- Резонансная частота:
  ωᵣₑₛ = √( ω₀² - (r/(2m))² )
  - При малом трении (r → 0): ωᵣₑₛ ≈ ω₀.
  - С ростом трения r максимум амплитуды уменьшается и сдвигается в сторону меньших частот.
Резонанс:
Резонанс - явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы ω к резонансной частоте системы ωᵣₑₛ. Физическая причина - совпадение фаз вынуждающей силы и скорости колеблющегося тела, что приводит к наиболее эффективной передаче энергии от источника силы к системе.

2) Теплоёмкость. Теплоёмкость идеального газа в изохорическом и изобарическом процессах. Уравнение Майера.

Теплоёмкость (C):
Теплоёмкость тела - физическая величина, равная количеству теплоты, которое необходимо подвести к телу (или отвести от него), чтобы изменить его температуру на 1 Кельвин.
- Удельная теплоёмкость (c): Теплоёмкость единицы массы вещества. [c] = Дж/(кг·К).
- Молярная теплоёмкость (Cᵥ, Cₚ): Теплоёмкость одного моля вещества. [C] = Дж/(моль·К).
Теплоёмкость идеального газа:
- Изохорический процесс (V = const):
  Количество теплоты Qᵥ идет только на изменение внутренней энергии газа (dU). Работа газа A = 0.
  - Молярная теплоёмкость при постоянном объеме: Cᵥ = (dQᵥ / dT) / ν = (dU / dT) / ν
    Для идеального газа: Cᵥ = i/2 * R
    где i - число степеней свободы молекулы газа, R - универсальная газовая постоянная.
- Изобарический процесс (P = const):
  Количество теплоты Qₚ идет на изменение внутренней энергии (dU) и совершение работы газом (A = P·dV).
  - Молярная теплоёмкость при постоянном давлении: Cₚ = (dQₚ / dT) / ν
    Для идеального газа: Cₚ = (i/2 + 1) * R
Уравнение Майера:
Уравнение Майера устанавливает связь между молярными теплоёмкостями идеального газа при постоянном давлении (Cₚ) и постоянном объеме (Cᵥ):
Cₚ - Cᵥ = R
Физический смысл: Разница Cₚ - Cᵥ равна работе, которую совершает 1 моль идеального газа при расширении в изобарном процессе при нагревании на 1 Кельвин (A = P·ΔV = R·ΔT, при ΔT = 1K, A = R). Эта работа требует дополнительной энергии по сравнению с изохорным процессом, отсюда Cₚ > Cᵥ.

Конструкция, состоящая из шара радиусом R=l/4 и массой M=2m и тонкого стержня массой m и длиной l=0,7м в результате незначительного толчка вышла из положения неустойчивого равновесия и начала переворачиваться. Найдите угловое ускорение конструкции в момент, когда она отклонилась на угол "фи" = 30 градусов от первоначального положения, если известно, что она вращалась без трения вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку O. Центр шара совпадает с центром стержня Указание: при решении задачи вначале получите ответ в аналитическом виде и только после этого подставьте числа в полученное выражение

Thought for 291 seconds

Решение задачи

Аналитическое решение

Момент инерции системы относительно оси O
Система состоит из тонкого стержня массой $m$ и длиной $l$ , и шара массой $M = 2m$ и радиусом $R = l/4$ . Ось вращения проходит через точку O (конец стержня), а центр шара совпадает с центром стержня, находящимся на расстоянии $l/2$ от оси O.
- Момент инерции стержня относительно оси через конец:
  $I_{\text{стерж}} = \frac{1}{3} m l^2$
- Момент инерции шара относительно собственного центра масс:
  $I_{\text{см, шар}} = \frac{2}{5} M R^2 = \frac{2}{5} \cdot 2m \cdot \left(\frac{l}{4}\right)^2 = \frac{2}{5} \cdot 2m \cdot \frac{l^2}{16} = \frac{4m l^2}{80} = \frac{m l^2}{20}$
- Момент инерции шара относительно оси O (по теореме Штейнера):
  $I_{\text{шар}} = I_{\text{см, шар}} + M d^2 = \frac{m l^2}{20} + 2m \cdot \left(\frac{l}{2}\right)^2 = \frac{m l^2}{20} + 2m \cdot \frac{l^2}{4} = \frac{m l^2}{20} + \frac{m l^2}{2} = \frac{m l^2}{20} + \frac{10m l^2}{20} = \frac{11m l^2}{20}$
- Общий момент инерции системы:
  $I_{\text{общ}} = I_{\text{стерж}} + I_{\text{шар}} = \frac{1}{3} m l^2 + \frac{11}{20} m l^2$
  Приведя к общему знаменателю (60):
  $\frac{1}{3} = \frac{20}{60}, \quad \frac{11}{20} = \frac{33}{60} \implies I_{\text{общ}} = \frac{20}{60} m l^2 + \frac{33}{60} m l^2 = \frac{53}{60} m l^2$
Центр масс системы и момент силы тяжести
Общая масса системы: $m_{\text{общ}} = m + 2m = 3m$ .
Координата центра масс относительно оси O (центры масс стержня и шара совпадают на расстоянии $l/2$ от O):
$x_{\text{цм}} = \frac{m \cdot \frac{l}{2} + 2m \cdot \frac{l}{2}}{3m} = \frac{\frac{m l}{2} + m l}{3m} = \frac{\frac{3m l}{2}}{3m} = \frac{l}{2}$
Расстояние от оси O до центра масс: $d = l/2$ .
При отклонении системы на угол $\phi$ от вертикали, момент силы тяжести относительно оси O:
$\tau = m_{\text{общ}} g d \sin\phi = 3m \cdot g \cdot \frac{l}{2} \cdot \sin\phi = \frac{3}{2} m g l \sin\phi$
Угловое ускорение
По второму закону Ньютона для вращательного движения:
$\tau = I_{\text{общ}} \cdot \epsilon \implies \epsilon = \frac{\tau}{I_{\text{общ}}}$
Подставляя выражения:
$\epsilon = \frac{\frac{3}{2} m g l \sin\phi}{\frac{53}{60} m l^2} = \frac{3}{2} m g l \sin\phi \cdot \frac{60}{53 m l^2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{60}{53} \cdot \frac{g \sin\phi}{l} = \frac{180}{106} \cdot \frac{g \sin\phi}{l} = \frac{90}{53} \cdot \frac{g \sin\phi}{l}$
Таким образом, аналитический вид углового ускорения:
$\epsilon = \frac{90 g \sin\phi}{53 l}$

Подстановка численных значений

Дано:

$\phi = 30^\circ$ , $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
$l = 0.7 \text{м}$
$g = 9.8 \text{м/с}^2$ (стандартное значение ускорения свободного падения)

Подставляем в аналитическое выражение:

\epsilon = \frac{90 \cdot 9.8 \cdot \frac{1}{2}}{53 \cdot 0.7} = \frac{90 \cdot 9.8}{2 \cdot 53 \cdot 0.7} = \frac{90 \cdot 9.8}{106 \cdot 0.7} = \frac{90 \cdot 9.8}{74.2}

Упрощаем:

90 \cdot 9.8 = 882, \quad 53 \cdot 0.7 = 37.1, \quad \text{но } 106 \cdot 0.7 = 74.2? \text{ Нет, в знаменателе } 2 \cdot 53 \cdot 0.7 = 2 \cdot 37.1 = 74.2

Лучше:

\epsilon = \frac{90 \cdot 9.8 \cdot 0.5}{53 \cdot 0.7} = \frac{45 \cdot 9.8}{53 \cdot 0.7}

Вычисляем числитель и знаменатель:

45 \cdot 9.8 = 441, \quad 53 \cdot 0.7 = 37.1

\epsilon = \frac{441}{37.1} = \frac{4410}{371} = \frac{4410 \div 7}{371 \div 7} = \frac{630}{53}

\frac{630}{53} \approx 11.8868 \text{рад/с}^2

Округляем до двух знаков после запятой:

\epsilon \approx 11.89 \text{рад/с}^2

Ответ: Угловое ускорение конструкции в момент отклонения на угол $30^\circ$ составляет $\boxed{11.89}$ рад/с².

New chat

DeepThink (R1)

AI-generated, for reference only