DeepSeek - Into the Unknown

Ты сейчас на экзамене по физике. Отвечай чётко 1) Радиус-вектор, скорость и ускорение материальной точки. Разложение ускорения на касательную и нормальную составляющие 2) Понятие числа степеней свободы механической системы. Число степеней свободы молекул идеального газа. Внутренняя энергия идеального газа

Thought for 19 seconds

Отвечаю четко по пунктам, как на экзамене по физике:

1) Радиус-вектор, скорость и ускорение материальной точки. Разложение ускорения на касательную и нормальную составляющие

Радиус-вектор (r): Вектор, проведенный из начала выбранной системы отсчета (точки O) в положение материальной точки M в данный момент времени. Задает положение точки в пространстве: r = r(t).
Скорость (v): Векторная величина, характеризующая быстроту изменения положения точки. Является первой производной радиус-вектора по времени:
v = dr/dt.
- Направлен по касательной к траектории движения в данной точке.
- Модуль скорости: v = |v| = ds/dt, где s - пройденный путь.
Ускорение (a): Векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости точки. Является первой производной скорости по времени или второй производной радиус-вектора по времени:
a = dv/dt = d²r/dt².
Разложение ускорения на касательную и нормальную составляющие:
Полное ускорение a можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие, направленные вдоль касательной (a_τ) и вдоль главной нормали (a_n) к траектории движения в данной точке:
- Касательное ускорение (a_τ):
  - Характеризует изменение модуля скорости.
  - Направлено по касательной к траектории (в сторону движения при ускорении, против движения при замедлении).
  - Модуль: a_τ = dv/dt.
- Нормальное (центростремительное) ускорение (a_n):
  - Характеризует изменение направления скорости.
  - Направлено к центру кривизны траектории в данной точке (перпендикулярно скорости).
  - Модуль: a_n = v²/R, где R - радиус кривизны траектории в данной точке.
- Полное ускорение:
  a = a_τ + a_n
  Модуль: a = √(a_τ² + a_n²)

2) Понятие числа степеней свободы механической системы. Число степеней свободы молекул идеального газа. Внутренняя энергия идеального газа

Число степеней свободы механической системы (i): Минимальное количество независимых координат (обобщенных координат), однозначно определяющих положение системы в пространстве. Это число независимых видов движения, которыми может обладать система.
Число степеней свободы молекул идеального газа:
- Одноатомная молекула (He, Ne, Ar): Рассматривается как материальная точка. Имеет 3 степени свободы поступательного движения (i = 3).
- Двухатомная молекула (H₂, N₂, O₂): Моделируется жестким гантелем. Имеет 3 степени свободы поступательного движения центра масс и 2 степени свободы вращательного движения вокруг осей, перпендикулярных оси молекулы. Вращение вокруг собственной оси молекулы не учитывается. Итого: i = 5.
- Трехатомная и многоатомная молекула (CO₂, H₂O, CH₄): Жесткая молекула имеет 3 степени свободы поступательного движения и 3 степени свободы вращательного движения (вокруг трех взаимно перпендикулярных осей). Итого: i = 6.
- Примечание: Для нежестких молекул добавляются колебательные степени свободы, но в модели идеального газа молекулы считаются жесткими (недеформируемыми).
Внутренняя энергия идеального газа (U): Энергия хаотического (теплового) движения молекул газа и энергия их взаимодействия. Для идеального газа:
- Потенциальная энергия взаимодействия молекул равна нулю (по определению идеального газа).
- Внутренняя энергия равна сумме кинетических энергий всех молекул.
- Для одного моля идеального газа: U = (i / 2) * R * T
- Для произвольной массы m газа: U = (i / 2) * (m / M) * R * T = (i / 2) * ν * R * T
  где:
  - i - число степеней свободы молекулы,
  - R - универсальная газовая постоянная,
  - T - абсолютная температура,
  - M - молярная масса газа,
  - ν = m/M - количество вещества (число молей).
- Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры и числа степеней свободы молекул (U = f(T)).

В сосуде объёмом V_0 при температуре T_0 находилось v молей аргона. Газ адиабатически расширяли, уменьшив его температуру в a раз. Каким стал объём газа? Каковы средняя длина свободного пробега атомов аргона и коэффициент вязкости газа в конечном состоянии? Известно, что эффективный диаметр атомов равен d, а молярная масса аргона - n.

Thought for 36 seconds

Решение задачи:

1. Конечный объём газа после адиабатического расширения:

Аргон — одноатомный газ, число степеней свободы $i = 3$ .
Показатель адиабаты:

\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{i + 2}{i} = \frac{5}{3}

Уравнение адиабаты Пуассона в переменных $T$ и $V$ :

T V^{\gamma - 1} = \text{const}

Для начального (1) и конечного (2) состояний:

T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}

Подставляем известные значения:

$T_1 = T_0$ , $T_2 = \frac{T_0}{\alpha}$ ,
$V_1 = V_0$ , $V_2 = V_{\text{кон}}$ ,
$\gamma - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$ .

T_0 V_0^{\frac{2}{3}} = \frac{T_0}{\alpha} V_{\text{кон}}^{\frac{2}{3}}

Сокращаем $T_0$ и выражаем $V_{\text{кон}}$ :

V_0^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{\alpha} V_{\text{кон}}^{\frac{2}{3}} \implies V_{\text{кон}}^{\frac{2}{3}} = \alpha V_0^{\frac{2}{3}} \implies V_{\text{кон}} = \alpha^{\frac{3}{2}} V_0

Ответ:

\boxed{V_{\text{кон}} = \alpha^{3/2} V_0}

2. Средняя длина свободного пробега атомов аргона в конечном состоянии:

Средняя длина свободного пробега:

\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}

где $n$ — концентрация молекул в конечном состоянии.

Концентрация $n$ выражается через количество вещества и объём:

n = \frac{N}{V_{\text{кон}}} = \frac{\nu N_A}{V_{\text{кон}}}

где $N_A$ — число Авогадро.

Подставляем $V_{\text{кон}} = \alpha^{3/2} V_0$ :

n = \frac{\nu N_A}{\alpha^{3/2} V_0}

Теперь подставляем в формулу для $\lambda$ :

\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2} \cdot \frac{\alpha^{3/2} V_0}{\nu N_A}

Ответ:

\boxed{\lambda = \dfrac{\alpha^{3/2} V_0}{\sqrt{2} \pi d^2 \nu N_A}}

3. Коэффициент вязкости газа в конечном состоянии:

Коэффициент вязкости идеального газа:

\eta = \frac{1}{3} \langle v \rangle \rho \lambda

где:

$\langle v \rangle$ — средняя тепловая скорость молекул,
$\rho$ — плотность газа,
$\lambda$ — средняя длина свободного пробега.

а) Плотность газа $\rho$ :

\rho = \frac{m_{\text{газа}}}{V_{\text{кон}}} = \frac{\nu \mu}{V_{\text{кон}}}

где $\mu$ — молярная масса аргона (дана как $n$ , но во избежание путаницы используем $\mu$ ).
Подставляем $V_{\text{кон}} = \alpha^{3/2} V_0$ :

\rho = \frac{\nu \mu}{\alpha^{3/2} V_0}

б) Средняя тепловая скорость $\langle v \rangle$ :
Для идеального газа:

\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8 k_B T_2}{\pi m}}

где $m$ — масса одной молекулы, $k_B$ — постоянная Больцмана, $T_2 = \frac{T_0}{\alpha}$ .
Масса молекулы: $m = \frac{\mu}{N_A}$ , поэтому:

\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8 k_B T_0}{\alpha \pi} \cdot \frac{N_A}{\mu}} = \sqrt{\frac{8 R T_0}{\alpha \pi \mu}}

(так как $k_B N_A = R$ ).

в) Собираем всё в формулу для $\eta$ :

\eta = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{\frac{8 R T_0}{\alpha \pi \mu}} \cdot \frac{\nu \mu}{\alpha^{3/2} V_0} \cdot \frac{\alpha^{3/2} V_0}{\sqrt{2} \pi d^2 \nu N_A}

Упрощаем:

Сокращаем $\nu$ , $V_0$ , $\alpha^{3/2}$ :

\eta = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{\frac{8 R T_0}{\alpha \pi \mu}} \cdot \mu \cdot \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 N_A}

Упрощаем выражение под корнем:

\sqrt{\frac{8 R T_0}{\alpha \pi \mu}} \cdot \mu = \mu \cdot \sqrt{\frac{8 R T_0}{\alpha \pi \mu}} = \sqrt{\mu^2 \cdot \frac{8 R T_0}{\alpha \pi \mu}} = \sqrt{\frac{8 \mu R T_0}{\alpha \pi}}

Подставляем обратно:

\eta = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{\frac{8 \mu R T_0}{\alpha \pi}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 N_A}

Объединяем константы:

\eta = \frac{1}{3 \sqrt{2} \pi^2 d^2 N_A} \sqrt{\frac{8 \mu R T_0}{\alpha \pi}} = \frac{1}{3 \sqrt{2} \pi^2 d^2 N_A} \cdot \sqrt{\frac{8}{\pi}} \cdot \sqrt{\frac{\mu R T_0}{\alpha}}

Финальная формула:

\eta = \frac{\sqrt{\mu R T_0}}{3 d^2 N_A \pi^{3/2} \sqrt{\alpha}} \cdot \frac{\sqrt{8}}{3 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{\mu R T_0}}{3 d^2 N_A \pi^{3/2} \sqrt{\alpha}} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3 \sqrt{2}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{\mu R T_0}}{3 d^2 N_A \pi^{3/2} \sqrt{\alpha}}

(после упрощения $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{4} = 2$ ).

Ответ:

\boxed{\eta = \dfrac{\sqrt{\mu R T_0}}{3 \pi^{3/2} d^2 N_A \sqrt{\alpha}}}

Итоговые ответы:

Конечный объём газа:

V_{\text{кон}} = \alpha^{3/2} V_0

Средняя длина свободного пробега:

\lambda = \dfrac{\alpha^{3/2} V_0}{\sqrt{2} \pi d^2 \nu N_A}

Коэффициент вязкости:

\eta = \dfrac{\sqrt{\mu R T_0}}{3 \pi^{3/2} d^2 N_A \sqrt{\alpha}}

где $\mu$ — молярная масса аргона (обозначена в задаче как $n$ ).

New chat

DeepThink (R1)

AI-generated, for reference only