DeepSeek - Into the Unknown

Ты сейчас на экзамене по физике. Отвечай чётко 1) Угловые скорость и ускорение твёрдого тела при вращательном движении. Связь угла поворота, угловой скорости и углового ускорения. Связь угловой скорости с линейной 2) Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона

Thought for 11 seconds

1) Вращательное движение твёрдого тела

Угловая скорость (ω):
- Физическая величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота тела.
- Определение: ω = dφ/dt (производная угла поворота φ по времени t).
- Единица измерения: радиан в секунду (рад/с).
- Вектор: Направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта (буравчика).
Угловое ускорение (ε):
- Физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости тела.
- Определение: ε = dω/dt (производная угловой скорости ω по времени t). Также ε = d²φ/dt² (вторая производная угла поворота по времени).
- Единица измерения: радиан в секунду в квадрате (рад/с²).
- Вектор: Направлен вдоль оси вращения. Совпадает с направлением ω, если вращение ускоренное (ω увеличивается). Противоположен ω, если вращение замедленное (ω уменьшается).
Связь угла поворота (φ), угловой скорости (ω) и углового ускорения (ε):
- По определению:
  - ω = dφ/dt
  - ε = dω/dt = d²φ/dt²
- При равнопеременном вращательном движении (ε = const) справедливы уравнения, аналогичные прямолинейному движению:
  - ω = ω₀ + εt
  - φ = φ₀ + ω₀t + (εt²)/2
  - ω² - ω₀² = 2ε(φ - φ₀)
  - (где φ₀ - начальный угол, ω₀ - начальная угловая скорость)
Связь угловой скорости (ω) с линейной скоростью (v):
- Линейная скорость v точки, находящейся на расстоянии R от оси вращения, направлена по касательной к траектории точки (окружности).
- Формула связи: v = ω * R
- Векторная форма: v⃗ = [ω⃗ × R⃗] (векторное произведение вектора угловой скорости ω⃗ и радиус-вектора R⃗ точки относительно оси вращения).

2) Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона

Адиабатический процесс:
- Это термодинамический процесс, происходящий в системе без теплообмена с окружающей средой (Q = 0).
- Условия осуществления:
  - Быстрое протекание процесса (теплообмен не успевает произойти).
  - Наличие тепловой изоляции системы.
- Первое начало термодинамики для адиабатного процесса: ΔU + A = 0 или A = -ΔU. Работа газа совершается за счет убыли его внутренней энергии (и наоборот, при сжатии работа внешних сил увеличивает внутреннюю энергию газа).
- Изображение на pV-диаграмме: Адиабата идет круче, чем изотерма. При адиабатном расширении газ охлаждается, при сжатии - нагревается.
Уравнение Пуассона:
- Это уравнение, описывающее связь между параметрами состояния (давлением p, объемом V) идеального газа в квазистатическом адиабатическом процессе.
- Формула: p * V^γ = const
- Другие формы (следствия):
  - T * V^(γ-1) = const
  - p^(γ-1) / T^γ = const
- Показатель адиабаты (γ): γ = Cp / Cv (отношение удельной теплоемкости при постоянном давлении Cp к удельной теплоемкости при постоянном объеме Cv).
  - γ > 1 (Cp всегда > Cv).
  - Для одноатомного газа γ ≈ 5/3 ≈ 1.67
  - Для двухатомного газа γ ≈ 7/5 = 1.4
  - Для трехатомного газа γ ≈ 4/3 ≈ 1.33
- Вывод: Уравнение Пуассона получается путем объединения первого начала термодинамики для адиабаты (dU + pdV = 0), выражения для внутренней энергии идеального газа (U = (m/M) * Cv * T) и уравнения состояния идеального газа (pV = (m/M) * R * T).

Во сколько раз изменяется за 785с амплитуда свободных колебаний математического маятника длиной 640мм, если его добротность равна 100? Указание: при решении задачи вначале получите ответ в аналитическом виде и только после этого подставьте числа в полученное выражение

Thought for 440 seconds

Решение задачи

1. Аналитическое решение

Амплитуда свободных затухающих колебаний математического маятника убывает по экспоненциальному закону:

A(t) = A_0 \cdot e^{-\beta t},

где $A_0$ — начальная амплитуда, $A(t)$ — амплитуда в момент времени $t$ , $\beta$ — коэффициент затухания.

Отношение начальной амплитуды к амплитуде в момент времени $t$ равно:

\frac{A_0}{A(t)} = e^{\beta t}.

Коэффициент затухания $\beta$ связан с добротностью $Q$ и собственной угловой частотой $\omega_0$ :

Q = \frac{\omega_0}{2\beta} \implies \beta = \frac{\omega_0}{2Q}.

Для математического маятника собственная угловая частота $\omega_0$ определяется формулой:

\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}},

где $g$ — ускорение свободного падения, $l$ — длина маятника.

Подставляя $\omega_0$ в выражение для $\beta$ :

\beta = \frac{\sqrt{\frac{g}{l}}}{2Q}.

Тогда отношение амплитуд:

\frac{A_0}{A(t)} = \exp\left(\beta t\right) = \exp\left(\frac{\sqrt{\frac{g}{l}}}{2Q} \cdot t\right) = \exp\left(\frac{t}{2Q} \cdot \sqrt{\frac{g}{l}}\right).

2. Численное решение

Дано:

Время $t = 785 \text{с}$ ,
Длина маятника $l = 640 \text{мм} = 0.64 \text{м}$ ,
Добротность $Q = 100$ ,
Ускорение свободного падения $g = 9.8 \text{м/с}^2$ .

Вычисляем:

$\sqrt{\frac{g}{l}} = \sqrt{\frac{9.8}{0.64}} = \sqrt{15.3125} \approx 3.9131189574 \text{рад/с}$ .
$\frac{t}{2Q} = \frac{785}{2 \cdot 100} = \frac{785}{200} = 3.925$ .
Показатель экспоненты:
$\frac{t}{2Q} \cdot \sqrt{\frac{g}{l}} = 3.925 \cdot 3.9131189574 \approx 15.35899191705.$
Экспонента:
$\exp(15.35899191705) \approx 4680855.$

Таким образом, амплитуда колебаний уменьшается в 4680855 раз.

Ответ:

\boxed{4680855}

New chat

DeepThink (R1)

AI-generated, for reference only