DeepSeek - Into the Unknown

Ты сейчас на экзамене по физике. Отвечай чётко 1) Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний. Его решение 2) Барометрическая формула. Распределение Больцмана

Thought for 13 seconds

1) Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний. Его решение

Уравнение:
$\frac{d^2x}{dt^2} + \omega_0^2 x = 0$ ,
где:

$x$ — смещение от положения равновесия,
$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ — собственная круговая частота колебаний ( $k$ — жёсткость, $m$ — масса).

Решение:
$x(t) = A \cos(\omega_0 t + \varphi_0)$ или $x(t) = A \sin(\omega_0 t + \varphi_0)$ ,
где:

$A$ — амплитуда колебаний (максимальное смещение),
$\varphi_0$ — начальная фаза,
$\omega_0$ — круговая частота.

Физический смысл:
Решение описывает движение с постоянной амплитудой $A$ и частотой $\omega_0$ , где фаза ( $\omega_0 t + \varphi_0$ ) определяет состояние системы в момент времени $t$ .

2) Барометрическая формула. Распределение Больцмана

Барометрическая формула:
Даёт распределение давления идеального газа в однородном гравитационном поле:

P(h) = P_0 e^{-\frac{mgh}{kT}}

где:

$P(h)$ — давление на высоте $h$ ,
$P_0$ — давление на нулевой высоте ( $h = 0$ ),
$m$ — масса молекулы газа,
$g$ — ускорение свободного падения,
$k$ — постоянная Больцмана,
$T$ — абсолютная температура.

Распределение Больцмана:
Обобщает барометрическую формулу для концентрации частиц в потенциальном поле:

n(\vec{r}) = n_0 e^{-\frac{E_p(\vec{r})}{kT}}

где:

$n(\vec{r})$ — концентрация частиц в точке $\vec{r}$ ,
$n_0$ — концентрация в точке с нулевой потенциальной энергией,
$E_p(\vec{r})$ — потенциальная энергия частицы в точке $\vec{r}$ .

Связь:
Барометрическая формула — частный случай распределения Больцмана для:

Потенциальной энергии в гравитационном поле: $E_p = mgh$ ,
Концентрации: $n(h) = n_0 e^{-\frac{mgh}{kT}}$ (поскольку $P = nkT$ ).

Физический смыссл:
Распределение Больцмана показывает, что в состоянии теплового равновесия концентрация частиц убывает экспоненциально с ростом их потенциальной энергии.

Имеется смесь аргона и молекулярного кислорода. Количества вещества газов в смеси одинаковы. На сколько градусов нагрелись 4 кг данной смеси, помещённые в сосуд постоянного объёма, если им сообщили 1 кДж теплоты? На какую величину при этом изменилась энтропия смеси, если начальная температура была равна 127 градусов цельсия? Чему равен показатель адиабаты данной смеси? Атомная масса кислорода равна 16 а.е.м, аргона - 40 а.е.м. Указание: при решении задачи вначале получите ответ в аналитическом виде и только после этого подставьте числа в полученные выражения

Thought for 287 seconds

Решение задачи

1. На сколько градусов нагрелась смесь?

Смесь нагревается в сосуде постоянного объёма (изохорный процесс). Сообщённое тепло $Q = 1 \text{кДж} = 1000 \text{Дж}$ . Для изохорного процесса:

Q = \nu_{\text{общ}} C_{V} \Delta T,

где:

$\nu_{\text{общ}}$ — общее количество вещества смеси,
$C_V$ — молярная теплоёмкость смеси при постоянном объёме.

Аналитический вид:

Молярная масса смеси: так как количества вещества аргона ( $\nu_{\text{Ar}}$ ) и кислорода ( $\nu_{\text{O}_2}$ ) одинаковы, то:
$M_{\text{смеси}} = \frac{M_{\text{Ar}} + M_{\text{O}_2}}{2} = \frac{40 + 32}{2} = 36 \text{г/моль} = 0.036 \text{кг/моль}.$
Общее количество вещества:
$\nu_{\text{общ}} = \frac{m}{M_{\text{смеси}}} = \frac{4}{0.036} \text{моль}.$
Молярная теплоёмкость при постоянном объёме:
- Аргон (одноатомный газ): $C_{V,\text{Ar}} = \frac{3}{2} R$ ,
- Кислород (двухатомный газ, колебания не возбуждены при $T = 400 \text{К}$ ): $C_{V,\text{O}_2} = \frac{5}{2} R$ ,
- Для смеси (количества веществ равны):
  $C_V = \frac{C_{V,\text{Ar}} + C_{V,\text{O}_2}}{2} = \frac{\frac{3}{2}R + \frac{5}{2}R}{2} = \frac{4R}{2} = 2R.$
Тогда:
$\Delta T = \frac{Q}{\nu_{\text{общ}} C_V} = \frac{Q}{\frac{m}{M_{\text{смеси}}} \cdot 2R} = \frac{Q M_{\text{смеси}}}{2 m R}.$

Численный расчёт:

$Q = 1000 \text{Дж}$ ,
$m = 4 \text{кг}$ ,
$M_{\text{смеси}} = 0.036 \text{кг/моль}$ ,
,
$\Delta T = \frac{1000 \times 0.036}{2 \times 4 \times 8.314} = \frac{36}{66.512} \approx 0.541 \text{K}.$

Ответ: смесь нагрелась на $0.541 \text{K}$ .

2. Изменение энтропии смеси

Начальная температура $T_1 = 127^\circ \text{C} = 400 \text{K}$ . Для изохорного процесса изменение энтропии:

\Delta S = \nu_{\text{общ}} C_V \ln \frac{T_2}{T_1},

где $T_2 = T_1 + \Delta T$ .

Аналитический вид:

Так как $\Delta T \ll T_1$ ( $\Delta T = 0.541 \text{K}$ , $T_1 = 400 \text{K}$ ), можно использовать приближение:
$\ln \frac{T_2}{T_1} = \ln \left(1 + \frac{\Delta T}{T_1}\right) \approx \frac{\Delta T}{T_1},$ $\Delta S \approx \nu_{\text{общ}} C_V \frac{\Delta T}{T_1} = \frac{Q}{T_1},$
поскольку $Q = \nu_{\text{общ}} C_V \Delta T$ .

Численный расчёт:

$Q = 1000 \text{Дж}$ ,
$T_1 = 400 \text{K}$ ,
$\Delta S \approx \frac{1000}{400} = 2.5 \text{Дж/К}.$

Ответ: изменение энтропии составляет $2.5 \text{Дж/К}$ .

3. Показатель адиабаты смеси

Показатель адиабаты $\gamma = \frac{C_p}{C_V}$ , где $C_p$ — молярная теплоёмкость при постоянном давлении.

Аналитический вид:

Для смеси:
$C_V = 2R,$ $C_p = C_V + R = 2R + R = 3R \quad (\text{для идеального газа}).$
Тогда:
$\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{3R}{2R} = 1.5.$

Ответ: показатель адиабаты смеси равен $1.5$ .

New chat

DeepThink (R1)

AI-generated, for reference only