Ты сейчас на экзамене по физике. Отвечай чётко 1) Момент инерции твёрдого тела относительно оси. Момент инерции стержня относительно перпендикулярной ему оси, проходящей через его центр. 2) Термодинамическая энтропия (определение и обоснование того, что она является функцией состояния термодинамической системы). Закон возрастания энтропии в замкнутой системе
Thought for 13 seconds

Отвечаю чётко по пунктам:

1) Момент инерции

  • Определение: Момент инерции (I) твердого тела относительно заданной оси — это физическая величина, равная сумме произведений масс (mᵢ) всех материальных точек тела на квадраты их расстояний (rᵢ) до этой оси.

    • Для системы точек: I = Σ mᵢ * rᵢ²

    • Для сплошного тела: I = ∫ r² dm

  • Момент инерции однородного тонкого стержня:

    • Дано: Стержень длины l, масса m. Ось перпендикулярна стержню и проходит через его центр масс.

    • Формула: I = (m * l²) / 12

    • Краткий вывод:

      1. Линейная плотность стержня: λ = m / l

      2. Масса элемента длины dx: dm = λ * dx

      3. Расстояние элемента dx от центра (оси): x (ось x вдоль стержня, 0 в центре)

      4. Момент инерции элемента: dI = x² * dm = x² * λ dx

      5. Интегрируем по всей длине стержня (от -l/2 до l/2):
        I = ∫[-l/2]^{l/2} x² * λ dx = λ * (x³/3) |_{-l/2}^{l/2} = λ * [ (l³/24) - (-l³/24) ] = λ * (l³/12)

      6. Подставляем λ = m / l: I = (m / l) * (l³ / 12) = (m * l²) / 12

2) Термодинамическая энтропия

  • Определение (Клаузиус): Энтропия (S) — это функция состояния термодинамической системы, дифференциал которой для обратимого процесса определяется соотношением:
    dS = δQ_rev / T
    где δQ_rev — бесконечно малое количество теплоты, подведенное к системе в обратимом процессе, T — абсолютная температура системы.

  • Обоснование как функции состояния:

    1. Независимость от пути (Клаузиус): Клаузиус показал, что для любого обратимого циклического процесса интеграл по замкнутому контуру от приведенной теплоты равен нулю:
      ∮ (δQ_rev / T) = 0

    2. Следствие: Значение интеграла ∫ (δQ_rev / T) между двумя состояниями системы (1 и 2) не зависит от пути (формы обратимого процесса), а зависит только от начального (1) и конечного (2) состояний.

    3. Определение энтропии: Это позволяет определить разность энтропии между двумя состояниями:
      ΔS = S₂ - S₁ = ∫₁² (δQ_rev / T)
      Поскольку интеграл зависит только от состояний 1 и 2, величина S является функцией состояния.

  • Закон возрастания энтропии (Второе начало термодинамики):

    • Формулировка: В любых процессах, происходящих в термически изолированной (адиабатически замкнутой) системе, энтропия системы либо остается неизменной (если процессы обратимы), либо возрастает (если процессы необратимы).
      ΔS_изолир ≥ 0
      где знак равенства (=) относится только к обратимым процессам, а знак неравенства (>) — к необратимым процессам.

    • Статистический смысл: Энтропия связана с термодинамической вероятностью состояния системы (Ω) — числом микросостояний, реализующих данное макросостояние (формула Больцмана): S = k * ln Ω, где k — постоянная Больцмана.

    • Следствие: Изолированная система эволюционирует в сторону состояний с большей термодинамической вероятностью, то есть с большей энтропией.

Пружинный маятник, у которого масса груза равна 500 г, а жесткость пружины - 2 Н/м, совершает затухающие колебания, логарифмический декремент которых равен 0,0157. Во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний на 314,15с? Чему равна добротность колебательной системы? Указание: при решении задачи вначале получите ответ в аналитическом виде и только после этого подставьте числа в полученное выражение
Thought for 268 seconds

Решение задачи

1. Отношение амплитуд колебаний за время t=314.15сt = 314.15 \text{с}

Амплитуда затухающих колебаний уменьшается по экспоненциальному закону:

A(t)=A0e−βt,A(t) = A_0 e^{-\beta t},

где β\beta — коэффициент затухания.
Отношение амплитуд:

A0A(t)=eβt.\frac{A_0}{A(t)} = e^{\beta t}.

Логарифмический декремент затухания λ\lambda связан с коэффициентом затухания β\beta и периодом колебаний TT соотношением:

λ=βT  ⟹  β=λT.\lambda = \beta T \implies \beta = \frac{\lambda}{T}.

Подставляем в выражение для отношения амплитуд:

A0A(t)=eλTt.\frac{A_0}{A(t)} = e^{\frac{\lambda}{T} t}.

Период колебаний пружинного маятника:

T=2πmk,T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}},

где m=500г=0.5кгm = 500 \text{г} = 0.5 \text{кг}, k=2Н/мk = 2 \text{Н/м}.
Подставляем значения:

T=2π0.52=2π0.25=2π⋅0.5=πс.T = 2\pi \sqrt{\frac{0.5}{2}} = 2\pi \sqrt{0.25} = 2\pi \cdot 0.5 = \pi \text{с}.

Теперь подставляем T=πсT = \pi \text{с}, λ=0.0157\lambda = 0.0157, t=314.15сt = 314.15 \text{с} в формулу:

A0A(t)=exp⁡(0.0157⋅314.15π).\frac{A_0}{A(t)} = \exp\left( \frac{0.0157 \cdot 314.15}{\pi} \right).

Вычисляем показатель степени:

0.0157⋅314.15π=4.9321553.1415926535≈1.56995.\frac{0.0157 \cdot 314.15}{\pi} = \frac{4.932155}{3.1415926535} \approx 1.56995.

Тогда:

A0A(t)=e1.56995≈4.805.\frac{A_0}{A(t)} = e^{1.56995} \approx 4.805.

Таким образом, амплитуда колебаний уменьшается в ≈4.805\approx 4.805 раза.

Аналитический вид:

A0A(t)=exp⁡(λtT),T=2πmk.\frac{A_0}{A(t)} = \exp\left( \frac{\lambda t}{T} \right), \quad T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.

2. Добротность колебательной системы

Добротность QQ определяется формулой:

Q=πλ,Q = \frac{\pi}{\lambda},

поскольку для малого затухания Q=ω02βQ = \frac{\omega_0}{2\beta}, а λ=βT\lambda = \beta T, ω0=2πT\omega_0 = \frac{2\pi}{T}, что приводит к Q=πλQ = \frac{\pi}{\lambda}.

Подставляем λ=0.0157\lambda = 0.0157:

Q=π0.0157≈3.14159265350.0157≈200.101.Q = \frac{\pi}{0.0157} \approx \frac{3.1415926535}{0.0157} \approx 200.101.

Аналитический вид:

Q=πλ.Q = \frac{\pi}{\lambda}.

Примечание: Учитывая, что заданные значения t=314.15сt = 314.15 \text{с} и λ=0.0157\lambda = 0.0157 близки к 100π100\pi (где π≈3.1416\pi \approx 3.1416, 100π≈314.16100\pi \approx 314.16) и π200≈0.015708\frac{\pi}{200} \approx 0.015708 соответственно, в задании, вероятно, подразумеваются точные значения t=100πt = 100\pi, λ=π200\lambda = \frac{\pi}{200}. В этом случае:

  • Отношение амплитуд: A0A(t)=exp⁡(π200⋅100ππ)=exp⁡(π2)≈4.8105\frac{A_0}{A(t)} = \exp\left( \frac{\frac{\pi}{200} \cdot 100\pi}{\pi} \right) = \exp\left( \frac{\pi}{2} \right) \approx 4.8105.

  • Добротность: Q=ππ200=200Q = \frac{\pi}{\frac{\pi}{200}} = 200.
    Численные результаты с использованием заданных значений: ≈4.805\approx 4.805 и ≈200.101\approx 200.101 — близки к этим значениям.

Ответы

  1. Амплитуда колебаний уменьшается в ≈4.805\approx 4.805 раза.

  2. Добротность колебательной системы Q≈200.101Q \approx 200.101.

Численные значения после подстановки:

  • Отношение амплитуд: e1.56995≈4.805e^{1.56995} \approx 4.805.

  • Добротность: π0.0157≈200.101\frac{\pi}{0.0157} \approx 200.101.

New chat
DeepThink (R1)
Search
AI-generated, for reference only