Вариант № 1.
1. Найти и изобразить области определения функции ; найти и
изобразить линии уровня этой функции, проходящую через точку (-3;2).
Решение:
найдем область определения каждого из слагаемых
Часть плоскости вне параболы
Найдем линии уровня
так как линия проходит через точку (-3;2)
Следовательно, или
( )
2
lnzxy=+
2
0xy+ ³
( )
2
lnCxy=+
( )
2
ln 3 2
ln1 0
C
C
= - +
==
( )
2
ln 0xy+=
2
1xy+=
2.Для функции в точке М (3;0;-5) найти градиент и
производную в направлении вектора
Решение:
1) Найдем частные производные и их значения в точке М
тогда градиент функции имеет вид
2) Находим единичный вектор, разделив каждую координату вектора на его
длину:
Следовательно,
3. Существует ли предел ?
Решение:
Проведем замену , тогда
Результат зависит от коэффициента k , следовательно, данного предела не
существует.
322
uy z x=+ -
2 2lijk= - +
(
)
( )
322
22 22
2
2
21
2
1111
4
25 9 16
53
x
M
u
yzx
x
zx zx
u
x
¢
¶-
=+ - ==-
--
= - = - = - = -
-
--
(
)
( )
322
22 22
2
2
21
2
1111
4
25 9 16
53
x
M
u
yzx
z
zx zx
u
z
¢
=+ - ==
--
====
-
--
11
;; ;0;
44
uuu
grad u
xyz
æö
¶¶¶
æö
==-
ç÷
ç÷
¶¶
èø
èø
( )
2
22
0
21241493
212
;;
333
a
a
=+- += ++= =
æö
= -
ç÷
èø
cos cos cos
MM
M
uu u u
lx y z
abg
¶¶
= × + × + ×
¶¶
12 1 12
cos cos cos 0 0
43 3 43
MM
M
uu u u
lx y z
abg
¶¶
æö
= × + × + × = -×+ ×- + × =
ç÷
¶¶
èø
24
0
0
11
limcos
x
y
xy
®
®
æö
+
ç÷
èø
ykx=
24 24 244 2 22
000 0
0
11 11 1 1 1 1
limcos limcos limcos limcos 1
xxx x
yykxykxykx
xy xy xxk x xk
®®® ®
® == =
æö æö
æö æö
+= += + = +
ç÷ ç÷
ç÷ ç÷
èø èø
èø èø
4. Вычислить все частные производные второго порядка от функции
Решение:
Найдем частные производные первого порядка
Найдем частные производные второго порядка
5. Неявная функция z(x,y) в окрестности точки (1,2,-1) задана уравнением
Найти дифференциал функции z в точке (1,2). С помощью
найденного выражения вычислить приближенно функцию z(0,9;2,2)
sin
xy
ue z=
( )
( )
( )
sin sin
sin sin
sin cos
xy
xy
xy
u
xy
ezeyz
x
u
xy
ezexz
y
u
xy
eze z
z
¢
==×
¢
==×
¢
==×
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin sin
sin sin
cos sin
sin sinz
sin cos
sin
xy
u
xy xy
ey z ey z
x
u
xy xy
ex z ex z
y
u
xy
ezez
z
u
xy xy xy
ey z eyxe
xy
u
xy xy
ey z ey z
xz
u
xy
ex z
yx
¢
æö
= × = ×
ç÷
èø
¢
æö
= × = ×
ç÷
èø
¢
æö
= × = -
ç÷
èø
¢
æöæ ö
= × =+
ç÷ç ÷
¶¶
èøè ø
¢
æö
= × = ×
ç÷
¶¶
èø
æö
= ×
ç÷
¶¶
èø
2
2
2
sin
sin cos
cos cos
cos cos
xy xy
ze xy e
u
xy xy
ex z ex z
yz
u
xy xy
ezeyz
zx
u
xy xy
ezexz
zy
¢
æö
=+
ç÷
èø
¢
æö
= × = ×
ç÷
¶¶
èø
¢
æö
= × = ×
ç÷
¶¶
èø
¢
æö
= × = ×
ç÷
¶¶
èø
3
0zxzy++=
Решение:
Зададим функцию
Найдем частные производные
Найдем значение производных при
Тогда дифференциал имеет вид:
Найдем приближенное значение функции z(0,9;2,2) для этого обозначим
Приближенное значение функции вычислим по формуле:
, где , тогда
Приближенное значение функции:
( )
3
,,Fxyz z xz y=++
2
2
3
1
3
x
x
z
y
y
z
F
z
z
zx
F
F
z
zx
F
¢
¢
= - = -
+
¢
¢
¢
= - = -
+
¢
00
1, 2, 1xyz===-
( )
( )
( )
( )
2
1.2. 1
2
1.2. 1
11
33112
111
33112
x
y
z
z
zx
z
zx
-
-
-
¢
= - = - = -
+ ×- +
¢
= - = - =
+ ×- +
0, 5 0,5
xy
dz z x z y x y
¢¢
= D + D = -D+ D
00
00
1; 0, 1
2; 0, 2
xx x x x
yy y y y
=+DÞ = D = -
=+DÞ = D =
0,9, 2,2 1, 2xy xy
zzdz
== ==
» +
xy
dz z x z y
¢¢
= D + D
( )
0,9, 2,2
1 0,5 0,1 0,5 0,2 1 0,05 0,1 0,85
xy
z
==
»- - × - + × = - ++=-