Вариант № 11.
1. Найти и изобразить области определения функции ; найти и
изобразить линии уровня этой функции, проходящую через точку .
Решение:
найдем область определения
или
Часть плоскости между веточками параболы
Найдем линию уровня
так как линия проходит через точку
Следовательно,
( )
ln 1zxy=+
( )
1; 1e -
10xy +>
1
y
x
-
>
( )
ln 1Cxy=+
( )
1; e 1-
( )
( )
( )
ln 1 1 1 ln 1 1 ln 1Ce e e= ×-+= - += =
( )
ln 1 1xy +=
2.Для функции в точке М (1;-1;1) найти градиент и
производную в направлении вектора
Решение:
1) Найдем частные производные и их значения в точке М
тогда градиент функции имеет вид
2) Находим единичный вектор, разделив каждую координату вектора на его
длину:
32 2 3
ux xyyzz= - + -
lijk= ---
( )
( )
32 2 3 2
2
32
31 21 1 3 2 5
x
M
u
xxyyzz x xy
x
u
x
¶
¢
= - + - = -
¶
¶
= ×-××-=+=
¶
( )
( )
32 2 3 2
3
2
12 11 12 3
y
M
u
xxyyzz x yz
y
u
y
¶
¢
= - + - = - +
¶
¶
= - + ×- × = -- = -
¶
( )
( )
32 2 3 2 2
2
2
3
131132
z
M
u
xxyyzz y z
z
u
z
¶
¢
= - + - = -
¶
¶
= --×= - = -
¶
( )
;; 5;3;2
uuu
grad u
xyz
æö
¶¶¶
==--
ç÷
¶¶¶
èø
Следовательно,
3. Существует ли предел ?
Решение:
Предел существует, так как не зависит от способа приближения
4. Доказать, что функция удовлетворяет
уравнению
Решение:
Найдем частные производные первого порядка
Найдем частные производные второго порядка
Подставим найденные производные в уравнения , получаем
доказано
( ) ( ) ( )
222
0
1111113
111
;;
333
a
a
= - + - + - =++=
æö
= ---
ç÷
èø
cos cos cos
MM
M
uu u u
lx y z
abg
¶¶ ¶ ¶
= × + × + ×
¶¶ ¶ ¶
111532
cos cos cos 5 3 2 0
3333
MM
M
uu u u
lx y z
abg
¶¶ ¶ ¶ -++
æöæöæö
= × + × + × = ×- -×- - ×- ==
ç÷ç÷ç÷
¶¶ ¶ ¶
èøèøèø
3
22
0
0
lim
x
y
x
xy
®
®
æö
ç÷
+
èø
33
22 22
000
0
33
22 22
00
0
lim lim lim 0
0
0
lim lim 0
0
xxx
y
xy
y
xx
x
xy x
x
xy y
®®®
®
®®
®
æöæö
===
ç÷ç÷
++
èøèø
æöæö
==
ç÷ç÷
++
èøèø
94
cos3 sin 2
xx
ze ye y
--
=+
2
2
0
zz
xy
¶¶
- =
¶¶
( )
( )
94 9 4
94 9 4
cos3 sin 2 9 cos3 4 sin 2
cos3 sin 2 3 sin 3 2 cos 2
xx x x
xx x x
z
eyeyeyey
x
z
eyeyeyey
y
-- - -
-- - -
¶
¢
=+ =--
¶
¶
¢
=+ =- +
¶
( )
2
94 9 4
2
3sin32cos2 9cos34sin2
xx x x
z
eye ye yey
y
-- - -
¶
¢
= - +=--
¶
2
2
0
zz
xy
¶¶
- =
¶¶
( )
94 94
9494
9 cos3 4 sin 2 9 cos3 4 sin 2 0
9 cos3 4 sin 2 9 cos3 4 sin 2 0
00
xx xx
xxxx
eyeyeyey
eyeyeyey
-- --
----
-- --- =
-- ++=
=
5. Неявная функция z(x,y) в окрестности точки задана
уравнением Найти дифференциал функции z в точке (-1,-1).
С помощью найденного выражения вычислить приближенно функцию z(-0,9;
-0,8)
Решение:
Зададим функцию
Найдем частные производные
Найдем значение производных при
Тогда дифференциал имеет вид:
Найдем приближенное значение функции z(-0,9;-0,8) для этого обозначим
Приближенное значение функции вычислим по формуле:
, где , тогда
Приближенное значение функции:
( )
1; 1; 1---
3
xyz
eee z
e
++=-
( )
3
,,
xyz
Fxyz e e e z
e
=+++
3
3
x
x
x
z
z
y
y
y
z
z
F
e
z
F
e
e
F
e
z
F
e
e
¢
¢
= - = -
¢
+
¢
¢
= - = -
¢
+
00
1, 1, 1xyz= - = - = -
( )
( )
1
1
1; 1; 1
1
1
1; 1; 1
1
33
4
1
33
4
x
x
z
y
y
z
ee
z
ee
ee
ee
z
ee
ee
-
-
---
-
-
---
¢
= - = - = -
++
¢
= - = - = -
++
11
44
xy
dz z x z y x y
¢¢
= D + D = -×D-×D
00
00
1; 0, 1
1; 0, 2
xx x x x
yy y y y
=+DÞ = -D=
=+DÞ = -D=
0,9, 0,8 1, 1xy xy
z z dz
=- =- =- =-
» +
xy
dz z x z y
¢¢
= D + D
0,9, 0,8
11
10,10,210,0250,051,075
44
xy
z
=- =-
»- - × - × = -- - = -
