1
Вариант 12
1. Найти и изобразить поверхность уровня функции
222
ln 7 2 3uxyz
,
проходящую через точку (1;1;1)
Решение:
222
,,
ln 7 2 3
uxyz C
xyzC
Найдем значение С зная, что поверхность проходит через точку (1;1;1):
222
ln 7 2 1 3 1 1
ln 7 2 3 1
ln1 0
C
C
CC
Тогда
222 222 222
ln 7 2 3 0 7 2 3 1 2 3 6xyz xyz xyz
Получили уравнение эллипсоида
222
1
326
xyz
2. Для функции
arcsin arccos
x
zxy
y
в точке M (1/2, 1) найти
градиент и производную в направлении вектора l = -5i +2 j
Решение:
1) Найдем частные производные и их значения в точке M
0
22 2 2 22 2 2
22 2 2
11
arcsin arccos
11/1
11
0
10.51 1 0.5
x
M
zxy y
xy
xy
xy y x y xy y x
z
x
2
22 2 2 2 22 2 2
22 2 2
arcsin arccos
11/1
0.5 0.5 2 3
3
10.51 1 1 0.5
y
M
zxxxxx
xy
yy
xy y x y xy y y x
z
x
тогда градиент функции имеет вид
23
;0;
3
zz
grad z
xy
2) Находим единичный вектор, разделив каждую координату вектора на его
длину:
2
2
0
52
;5229
29 29
ll
00
0
cos cos cos
MM
M
zz z z
lx y z
Следовательно,
5232 232 43
cos cos 0
33
29 29 29 3 29
M
M
zz z
lx y
3. Существует ли предел
0
0
lim
x
y
x
y
e
?
Решение:
Проведем замену
ykx
, тогда
11
000 0
0
lim lim lim lim
xx
x
yy
kx k k
xxx x
yykxykxykx
eee ee
Результат зависит от коэффициента k , следовательно, данного предела не
существует.
4. Найти производную
t
u
функции
,,ufxtytzt
, если
235
fxyz
,
1
ln , ln ,
ln
xtty tz
t
Решение:
Воспользуемся дифференцированием сложной функции
txt yt zt
ufx fy fz
35 2 25 4 2 3
2
11
2ln13 5
ln
t
uxyz t yxz zxy
ttt
или
3
554
3222 223
2
11111
2ln ln ln 1 3ln ln 5 ln ln
ln ln ln ln
2ln 1
352ln
2
ln ln ln ln
t
uttt t ttt ttt
tttttt
tt
tttt
t
tttt
5. Неявная функция z(x,y) в окрестности точки (1,1,1) задана уравнением
222333
xyzxyz
Найти дифференциал функции z в точке (1,1) . с
помощью найденного выражения вычислить приближенно функцию
z(1.1:1.1)
Решение:
Зададим функцию
222333
,,Fxyz x y z x y z
Найдем частные производные
2
2
2
2
23
23
23
23
x
x
z
y
y
z
F
xx
z
zz
F
F
yy
z
zz
F
Найдем значение производных при
00
1, 1, 1xyz
2
2
1.1.1
2
2
1.1.1
23 23
1
23 23
23 23
1
23 23
x
y
xx
z
zz
xx
z
zz
Тогда дифференциал имеет вид:
xy
dz z x z y x y
Найдем приближенное значение функции z(1.1:1.1) для этого обозначим
00
00
1; 0, 1
1; 0 , 1
xx x x x
yy y y y
Приближенное значение функции вычислим по формуле:
1, 1, 1,1 , 1xy xy
zzdz
, где
xy
dz z x z y
, тогда
Приближенное значение функции:
1,1, 1,1
110,110,1 1 0,2 0,8
xy
z
