1
Вариант № 2.
1. Найти и изобразить поверхность уровня , проходящую
через точку (1;-1;1).
Решение:
Найдем поверхности уровня
так как поверхность проходит через точку (1;-1;1)
Следовательно, - однополостный гиперболоид
2.Для функции в точке М (1;1) найти градиент и производную в
направлении вектора
Решение:
1) Найдем частные производные и их значения в точке М
тогда градиент функции имеет вид
2) Находим единичный вектор, разделив каждую координату вектора на его
222
ux y z=+-
222
Cx y z=+-
( )
2
22
111
111 1
C
C
=+--
=+- =
222
1xyz+ - =
xy
z xe=
2li j= -
( )
11 11
11 0
xy xy xy
x
M
z
xe e xye
x
z
ee
x
××
¢
==-
= -×× =
( )
2
211
1
xy xy
y
M
z
xe e x
y
z
ee
y
×
¢
==
= × =
2
длину:
Следовательно,
3. Существует ли предел ?
Решение:
Проведем замену , тогда
Результат не зависит от коэффициента k , следовательно, данный предел
существует.
4. Доказать, что функция удовлетворяет уравнению
Решение:
Найдем частные производные первого порядка
Найдем частные производные второго порядка
Подставим найденные производные в уравнения , получаем
( )
2
2
0
12 145
12
;
55
a
a
=+- =+=
æö
= -
ç÷
èø
cos cos
M
M
zz z
lx y
ab
¶¶
= × + ×
¶¶
122
cos cos 0
555
M
M
zz z e
e
lx y
ab
¶¶ -
æö
= × + × = × + ×- =
ç÷
¶¶
èø
0
0
lim sin
x
x
y
ey
®
®
×
ykx=
000
0
lim sin lim sin lim sin 0
xxx
xxx
yykxykx
eyeyekx
®®®
® ==
× = × = × =
( )
22
lnzxy=+
22
22
0
zz
xy
¶¶
+=
¶¶
( )
( )
( )
( )
22
22
22
22
2
ln
2
ln
zx
xy
xxy
zy
xy
yxy
¢
=+=
+
¢
=+=
+
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
22
222222
222
222
22 22 22
22
222222
222
222
22 22 22
222
222422
222
222422
xy xx
xx xyxyx
xxy
xy xy xy
xy yy
xy xyyxy
yxy
xy xy xy
¢
× + -×
æö
+ --
== = =
ç÷
+
èø
+++
¢
× + -×
æö
+ --
== = =
ç÷
+
èø
+++
22
22
0
zz
xy
¶¶
+=
¶¶
3
докано
5. Неявная функция z(x,y) в окрестности точки (-2,1,1) задана уравнением
Найти дифференциал функции z в точке (-2;1). С
помощью найденного выражения вычислить приближенно функцию
z(-2,1;0,9)
Решение:
Зададим функцию
Найдем частные производные
Найдем значение производных при
Тогда дифференциал имеет вид:
Найдем приближенное значение функции z(-2,1;0,9) для этого обозначим
Приближенное значение функции вычислим по формуле:
, где , тогда
Приближенное значение функции:
( ) ( )
( )
( )
22 2 2
22
22 22
222 2
2
22
2
22
22 22
0
2222
0
0
0
00
yx xy
xy xy
yxxy
xy
xy
--
+=
++
- + -
=
+
=
+
=
sin( ) 2xyz zx++ = +
( )
,, sin( ) 2Fxyz x y z z x=++--
cos( ) 1
cos( ) 2
cos( )
cos( ) 2
x
x
z
y
y
z
F
xyz
z
xyz
F
F
xyz
z
xyz
F
¢
++ -
¢
= - = -
++ -
¢
¢
++
¢
= - = -
++ -
¢
00
1, 2, 1xyz===-
( )
( )
2;1;1
2;1;1
cos( ) 1 cos( 2 1 1) 1 1 1
0
cos( ) 2 cos( 2 1 1) 2 1 2
cos( ) cos( 2 1 1) 1
1
cos( ) 2 cos( 2 1 1) 2 1 2
x
y
xyz
z
xyz
xyz
z
xyz
-
-
++ --++ --
¢
= - = - ==
++ --++ --
++ - ++
¢
= - = - = - =
++ --++ --
01 1
xy
dz z x z y x y y
¢¢
= D + D = ×D + ×D = ×D
00
00
2; 0,1
1; 0, 1
xx x x x
yy y y y
=+DÞ = -D= -
=+DÞ = D = -
2.2, 0,9 2, 1xy xy
zzdz
=- ==- =
» +
xy
dz z x z y
¢¢
= D + D
( ) ( )
2.2, 0,9
1 0 0,1 1 0,1 1 0,1 0,9
xy
z
=- =
» + ×- + ×- = - =