Вариант № 5.
1. Найти и изобразить области определения функции ;
найти и изобразить линии уровня этой функции, проходящую через точку
.
Решение:
найдем область определения
Часть плоскости внутри эллипса с центром в начале координат и полуосями 1
и
Найдем линии уровня
так как линия проходит через точку
Следовательно,
22
1
12
z
xy
=
--
11
;
22
æö
ç÷
èø
22
120xy-- >
22
21xy+<
0,5
22
1
12
C
xy
=
--
11
;
22
æö
ç÷
èø
22
111
2
12 1
11
1
12
44 4
22
C ====
æö æö
--
--×
ç÷ ç÷
èø èø
22
1
2
12xy
=
--
2.Для функции в точке М (1;-1;2) найти градиент и
производную в направлении вектора
Решение:
1) Найдем частные производные и их значения в точке М
тогда градиент функции имеет вид
2) Находим единичный вектор, разделив каждую координату вектора на его
длину:
3 4 5li jk= --
( )
( )
333 2
2
232333
31 3 1 3 3 6
x
M
u
xyzxyy xy
x
u
x
¢
=+ +--+=-
= ×-×-=+=
( )
( ) ( )
333 2
2
2323632
61 3126327
y
M
u
xyzxyy yx
y
u
y
¢
=+ +--+=--
= ×- - ×- - =+- =
( )
333 2
2
23233
3 2 12
x
M
u
xyzxyy z
z
u
z
¢
=+ +--+=
= × =
( )
;; 6;7;12
uuu
grad u
xyz
æö
¶¶¶
==
ç÷
¶¶
èø
Следовательно,
3. Существует ли предел ?
Решение:
Проведем замену , тогда
Результат зависит от коэффициента k , следовательно, данного предела не
существует.
4. Доказать, что функция удовлетворяет уравнению
Решение:
Найдем частные производные первого порядка
Найдем частные производные второго порядка
( )
2
22
0
1121146
112
;;
666
a
a
=+- +=++=
æö
= -
ç÷
èø
cos cos cos
MM
M
uu u u
lx y z
abg
¶¶
= × + × + ×
¶¶
1 1 2 6 7 24 23
cos cos cos 6 7 12
66666
MM
M
uu u u
lx y z
abg
¶¶ -+
æö
= × + × + × = × + ×- + × ==
ç÷
¶¶
èø
22
22
0
0
lim
2
x
y
xy
xy
®
®
æö
+
ç÷
+
èø
ykx=
22 222 2
22 222 2
00 0
0
1
lim lim lim
2212
xx x
yykxykx
xy xkx k
xy xkx k
®® ®
® ==
æöæ öæö
++ +
==
ç÷ç ÷ç÷
++ +
èøè øèø
22
xy
z
xy
=
+
22
2
2
zzz
xy
xxyx
¶¶
+=
¶¶
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
222
22 22 3 22 22 3
222
222
22 22 3 22 22 3
222
2
22 2
2
22 2
xy x y x y
zxy xy xyxyxy xy
xxy
xy xy xy
yx x y x y
zxy xy yxxyxy yx
yxy
xy xy xy
¢
+ -
æö
+ - +
== = =
ç÷
+
+++
èø
¢
+ -
æö
+ - +
== = =
ç÷
+
+++
èø
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
23 22 3
2223
24
2
23 22 3
4
33
22 2 2
2
22 2 2
2
xy y x y x y x y xy
xxy xy
x
xy xy
xy y x y x y xy
y
xy xy
¢
æö
+ × + - ++
+
== =
ç÷
ç÷
++
èø
+ × + - +
==
++
Подставим найденные производные в уравнения ,
получаем
доказано
5. Неявная функция z(x,y) в окрестности точки задана
уравнением Найти дифференциал функции z в точке .
С помощью найденного выражения вычислить приближенно функцию
z(0,4;-9,8)
Решение:
Зададим функцию
Найдем частные производные
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
22 22 3
2223
24
22 22 3
322 3
33
26 2 2
2
26 2 2
26 2
yx y x x y x y x y xy
xxyxy
xy
xy xy
yx y x x y x y xy
xy x y yx
xy xy
¢
æö
+ × + - ++
+
== =
ç÷
ç÷
¶¶
++
èø
+ × + - +
++
==
++
22
2
2
zzz
xy
xxyx
¶¶
+=
¶¶
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
43223223
33 2
442323223
32
423 23 22 3
32
22 3
22 3
32
22 3 22 3
22
2262 2
2
226 2 2 4
46 2 2 4
24
24
2424
yxyxyyxxyxy
xy
xy xy xy
xy xy x y y x x y xy
xy xy
xy x y y x x y xy
xy xy
xy xy xy
xy xy
xy xy
xy xy xy xy
xy xy
æö
++ +
× +=×
ç÷
ç÷
++ +
èø
++ + +
=
++
++ +
=
++
++
+
=
++
++
=
++
1
; 10;2
2
æö
-
ç÷
èø
3
0zxzy++=
1
; 10
2
æö
-
ç÷
èø
( )
3
,,Fxyz z xz y=++
2
2
3
1
3
x
x
z
y
y
z
F
z
z
zx
F
F
z
zx
F
¢
¢
= - = -
+
¢
¢
¢
= - = -
+
¢
Найдем значение производных при
Тогда дифференциал имеет вид:
Найдем приближенное значение функции z(0,4;-9,8) для этого обозначим
Приближенное значение функции вычислим по формуле:
, где , тогда
Приближенное значение функции:
00
1
10, 2
2
xy z==- =
2
1
;10;2
2
2
1
;10;2
2
24
3320,513
112
3320,513
x
y
z
z
zx
z
zx
æö
-
ç÷
èø
æö
-
ç÷
èø
¢
= - = - = -
+ × +
¢
= - = - = -
+ × +
42
13 13
xy
dz z x z y x y
¢¢
= D + D = -D-D
00
00
0.5; 0,1
10; 0, 2
xx x x x
yy y y y
=+DÞ = D = -
=+DÞ = -D=
0,4, 9.8 0.5, 10xy xy
zzdz
==- ==-
» +
xy
dz z x z y
¢¢
= D + D
( )
0,4, 9.8
42 12
20,10,22 1,985
13 13 65 65
xy
z
==-
»- ×- - × =+ - =