1
Вариант № 6.
1. Найти и изобразить поверхность уровня , проходящую
через точку (4;3;7).
Решение:
Найдем поверхности уровня
так как поверхность проходит через точку (4;3;7)
Следовательно, или - гиперболический параболоид
2.Для функции в точке М (1;3) найти градиент и производную
в направлении вектора
Решение:
1) Найдем частные производные и их значения в точке М
тогда градиент функции имеет вид
2) Находим единичный вектор, разделив каждую координату вектора на его
длину:
22
uzx y= - +
22
Czx y= - +
22
74 3 71690C = - +=- +=
22
0zx y- +=
22
zx y= -
22
zx y xy=+-
li j= -
( )
22
2
21 3 1
x
M
z
xyxy xy
x
z
x
¢
=+- = -
= ×- = -
( )
22
2
23 1 5
y
M
z
xyxy yx
y
z
y
¢
=+- = -
= ×-=
2
Следовательно,
3. Существует ли предел ?
Решение:
Предел существует, так как не зависит от способа приближения
4. Найти производную функции , если
,
Решение:
Воспользуемся дифференцированием сложной функции
или
5. Неявная функция z(x,y) в окрестности точки (0,1,1) задана уравнением
Найти дифференциал функции z в точке (0;1). С помощью
найденного выражения вычислить приближенно функцию
z(-0,1;1,1)
( )
2
2
0
11 112
11
;
22
a
a
=+- =+=
æö
= -
ç÷
èø
cos cos
M
M
zz z
lx y
ab
¶¶
= × + ×
¶¶
11156
cos cos 1 5 3 2
2222
M
M
zz z
lx y
ab
¶¶ ---
æö
= × + × = -× + ×- ===-
ç÷
¶¶
èø
22
0
0
1
lim
1
x
y
xy
®
®
--
22 22 2 2
000
0
22 22 2 2
000
0
1111
lim lim lim 1
110110
1111
lim lim lim 1
110110
xxx
y
xyy
y
xy x x
xy y y
®®®
®
®®®
®
====
-- -- - -
====
-- -- - -
t
u
¢
( ) ( ) ( )
( )
,,ufxtytzt=
222
2fxyzyz=++-
cos , sin , sinxtyttztt==- =+
txt yt zt
ufx fy fz
¢¢¢
¢¢ ¢ ¢
= × + × + ×
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 sin 2 1 cos 2 1 cos
t
ux t yz t zy t
¢
= ×- + -×- + -×+
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
4cos sin 2 2sin sin 1 cos 2 2sin sin 1 cos
2sin 2 3sin 1 cos 3sin 1 cos 2sin 2 cos 3sin
1,5sin 2 cos 3sin 1,5sin 2 sin 2 2
t
utttttt ttttt t
tt t t t t t ttt t t
ttt t t t t t
¢
= ×- + ---×-++ - + × +=
= - + --++ × +=- + --+
+++++=+
ln
zx
yz
=
3
Решение:
Зададим функцию или
Найдем частные производные
Найдем значение производных при
Тогда дифференциал имеет вид:
Найдем приближенное значение функции z(-0,1;1,1) для этого обозначим
Приближенное значение функции вычислим по формуле:
, где , тогда
Приближенное значение функции:
( )
,, ln
zx
Fxyz
yz
= -
( )
,, ln ln
x
Fxyz z y
z
= --
2
2
1
1
1
1
x
x
z
y
y
z
F
z
z
x
F
zz
F
y
z
x
F
zz
-
¢
¢
= - = -
¢
+
-
¢
¢
= - = -
¢
+
00
0, 1, 1xyz===
( )
( )
22
0;1;1
22
0;1;1
11
1
1
110
11
1
1
1
1
110
11
x
y
z
z
x
zz
y
z
x
zz
--
¢
= - = - =
++
-
-
¢
= - = - =
++
11
xy
dz z x z y x y
¢¢
= D + D = D + ×D
00
00
0; 0,1
1; 0, 1
xx x x x
yy y y y
=+DÞ = D = -
=+DÞ = D =
0.1, 1.1 0, 1xy xy
z z dz
=- ===
» +
xy
dz z x z y
¢¢
= D + D
( )
0.1, 1.1
1 1 0,1 1 0,1 1 0,1 0,1 1
xy
z
=- =
» + ×- + × = - +=