Вариант № 7.
1. Найти и изобразить области определения функции ;
найти и изобразить линии уровня этой функции, проходящую через точку
.
Решение:
найдем область определения
Часть плоскости внутри квадрата
Найдем линии уровня
так как линия проходит через точку
Следовательно,
22
21 1zxy= ---
3
;0
2
æö
ç÷
èø
2
2
10 11
11
10
xx
y
y
ì
-³ -££
ì
ï
Þ
íí
-£ £
-³
ï
î
î
22
21 1Cxy= ---
3
;0
2
æö
ç÷
èø
2
2
33431
21 1 0 21 1 2 1 2 1 1 1 0
2444
C
æö
-
= ---= --= - = - = - =
ç÷
ç÷
èø
22
21 1 0xy--- =
2.Для функции в точке М (1;1;1) найти градиент и
производную в направлении вектора
Решение:
1) Найдем частные производные и их значения в точке М
тогда градиент функции имеет вид
2) Находим единичный вектор, разделив каждую координату вектора на его
длину:
Следовательно,
3. Существует ли предел ?
Решение:
Предел существует, так как не зависит от способа приближения
23 2 2 2
uxyz x y z=+++
li jk=++
( )
23 2 2 2 23
23
2
11 21 1 2 3
x
M
u
xy z x y z y z x
x
u
x
¢
=+++=+
= × + × =+ =
( )
23 2 2 2 22
22
32
311 1 21 3 2 5
z
M
u
xy z x y z xy z z
z
u
z
¢
=+++= +
= ×× × + × =+=
( )
;; 3;4;5
uuu
grad u
xyz
æö
¶¶¶
==
ç÷
¶¶
èø
222
0
111 111 3
111
;;
333
a
a
=++=++=
æö
=
ç÷
èø
cos cos cos
MM
M
uu u u
lx y z
abg
¶¶
= × + × + ×
¶¶
1 1 1 3 4 5 12
cos cos cos 3 4 5 4 3
333 3 3
MM
M
uu u u
lx y z
abg
¶¶ ++
= × + × + × = × + × + × ===
¶¶
2
2
0
0
1
limln
1
x
y
y
x
®
®
æö
-
ç÷
+
èø
4. Вычислить все частные производные второго порядка от функции
Решение:
Найдем частные производные первого порядка
Найдем частные производные второго порядка
( )
22
2222
000
0
22
2
22
000
0
11011
limln limln limln ln ln1 0
11110
11
limln limln limln 1 ln1 0
110
xxx
y
xyy
y
y
xxx
yy
y
x
®®®
®
®®®
®
æö æö
--
æöæö
=====
ç÷ ç÷
ç÷ç÷
++++
èøèø
èø èø
æö æö
--
==- ==
ç÷ ç÷
++
èø èø
2
sin
y
uxyarc
z
=+
2
222
222
2
2
2
222
2
sin 2
11 1
sin
1
1
sin
1
uy
x y arc xy
xz
uy
x y arc x x
yz z
yzy
z
uy yy
x y arc
zzz
yzzy
z
¢
æö
=+ =
ç÷
èø
¢
æö
=+ =+ × =+
ç÷
èø
-
-
¢
¶-
æöæö
=+ = ×- =
ç÷ç÷
èøèø
-
-
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2
3
2
222
2
2
22 3
22
32
3
2
422 3 2
2
2
22 3
322
22
3
222
22
11
2
2
2
1
42
2
2
u
xy y
x
uy
xzyy
y
zy
zy
yz yz
uy
yzyzzyz
z
zz y
zzy
yz y
zzy
-
-
¢
==
¢
æö
=+ =-- ×-=
ç÷
ç÷
-
-
èø
¢
æö
-
¶-
æö
==-×- - × - ==
ç÷
ç÷
ç÷
èø
-
-
èø
-
=
-
5. Неявная функция z(x,y) в окрестности точки задана
уравнением Найти дифференциал функции z в точке (0,5,1).
С помощью найденного выражения вычислить приближенно функцию
z(0,7;1,1)
Решение:
Зададим функцию
Найдем частные производные
Найдем значение производных при
Тогда дифференциал имеет вид:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
22
2
2
22
3
2
222
2
22 3
22
2
22
3
2
22
2
22 22
22 20
1
2
11
2
2
0
11
2
2
uu
xy x xy
xy xz
u
xx
yx
zy
uz
xzyz
yz
zy
zy
uy
zx
zz y
uy y
zy
zy z
zz y zz y
-
-
¶¶
¢¢
== ==
¶¶ ¶¶
¢
æö
=+ =
ç÷
ç÷
¶¶
-
èø
¢
æö
¶-
=+ =-- ×=
ç÷
ç÷
¶¶
-
-
èø
¢
æö
¶-
==
ç÷
ç÷
¶¶
-
èø
¢
æö
¶- -
æöæö
==+-×- - ×-
ç÷
ç÷ç÷
ç÷
¶¶
èøèø
--
èø
( )
( )
2
22 3
22
1
y
y
zz y
zz y
=
-
= -
-
-
13
;1;
22
æö
ç÷
èø
xyz
xyze
+ -
- +=
( )
,,
xyz
Fxyz x y z e
+ -
= - + -
1
1
1
1
1
xyz
x
x
xyz
z
xyz
y
y
xyz
z
F
e
z
e
F
F
e
z
e
F
+ -
+ -
+ -
+ -
¢
-
¢
= - = -
+
¢
¢
--
¢
= - = - =
+
¢
00
1, 2, 1xyz===-
0,5 1 1,5
0,5 1 1,5
13
;1;
22
1111
0
1111
1
xyz
x
xyz
y
ee
z
ee
z
+ - + -
+ - + -
æö
ç÷
èø
---
¢
= - = - = - =
+++
¢
=
01
xy
dz z x z y x y
¢¢
= D + D = ×D + ×D
Найдем приближенное значение функции z(0,7;1,1) для этого обозначим
Приближенное значение функции вычислим по формуле:
, где , тогда
Приближенное значение функции:
00
00
0, 5 ; 0, 2
1; 0, 1
xx x x x
yy y y y
=+DÞ = D =
=+DÞ = D =
0,7, 1,1 0,5, 1xy xy
zzdz
== ==
» +
xy
dz z x z y
¢¢
= D + D
0,7, 1,1
1,5 0 0, 2 1 0,1 1,5 0 0,1 1,6
xy
z
==
» + × + × =++=