1

Вариант № 8.

1. Найти и изобразить поверхность уровня , проходящую

через точку (0;3;0).

Решение:

Найдем поверхности уровня

так как поверхность проходит через точку (0;3;0)

Следовательно, или - плоскость

2.Для функции в точке М (2;-2) найти градиент и

производную в направлении вектора

Решение:

1) Найдем частные производные и их значения в точке М

тогда градиент функции имеет вид

2) Находим единичный вектор, разделив каждую координату вектора на его

1

xyz

u

xyz

++-

=

+++

1

xyz

C

xyz

++-

=

+++

0301 2 1

0301 4 2

C

++-

===

+++

11

12

xyz

++-

=

+++

3xyz++=

( )

32

sin 2zxy= -

4 3 li j=+

( )

32 322

2

32

sin 2 cos 2 3

cos 2 2 2 3 2 12 cos 0 12

x

M

z

xy xyx

x

z

x

¶

¢

= - = -×

¶

= -- ××==

¶

( )

32 32

2

3

sin 2 cos 2 4

cos 2 2 2 4 2 8 cos 0 8

y

M

z

xy xy y

y

z

y

¶

¢

= - = -×-

¶

= -- ×-×- ==

¶

( )

;12;8

zz

grad z

xy

æö

¶¶

==

ç÷

¶¶

èø

2

длину:

Следовательно,

3. Существует ли предел ?

Решение:

Проведем замену , тогда

Результат зависит от коэффициента k , следовательно, данного предела не

существует.

4. Доказать, что функция удовлетворяет

уравнению для любых дважды дифференцируемых функциях

Решение:

Найдем частные производные первого порядка

Найдем частные производные второго порядка

Подставим найденные производные в уравнения , получаем

22

0

43 169 255

43

;

55

a

=+=+= =

æö

=

ç÷

èø

cos cos

M

zz z

lx y

ab

¶¶ ¶

= × + ×

¶¶ ¶

4 3 48 24 72

cos cos 12 8

55 5 5

M

zz z

lx y

ab

¶¶ ¶ +

= × + × = × + × ==

¶¶ ¶

22

0

lim

x

y

xy

®

+

ykx=

22 222 2

00 0

0

lim lim lim

1

xx x

yykxykx

xy x kx k

xy xkx k

®® ®

® ==

æö

×

æöæö

==

ç÷ç÷

ç÷

++ +

èøèø

èø

( ) ( )

zyax yax

jy

=++-

22

2

22

0

zz

a

yx

¶¶

- =

¶¶

,

jy

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

z

y ax y ax y ax a y ax a

x

z

y ax y ax y ax y ax

y

jy j y

¶

¢

¢¢

=++- =+× + -×-

¶

¢

¢¢

=++- =++-

¶

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

2

x

yaxa yax a yaxa yax a

x

jy j y

¶

¢

¢¢ ¢¢ ¢¢

=+× + -×- =+× + -×-

¶

( ) ( )

( )

( ) ( )

2

x

yax yax yax yax

y

jy jy

¶

¢

¢¢ ¢¢¢¢

=++- =++-

¶

22

2

22

0

zz

a

yx

¶¶

- =

¶¶

3

доказано

5. Неявная функция z(x,y) в окрестности точки (1,2,1) задана уравнением

Найти дифференциал функции z в точке (1;2). С

помощью найденного выражения вычислить приближенно функцию

z(1,2;1,9)

Решение:

Зададим функцию

Найдем частные производные

Найдем значение производных при

Тогда дифференциал имеет вид:

Найдем приближенное значение функции z(1,2;1,9) для этого обозначим

Приближенное значение функции вычислим по формуле:

, где , тогда

Приближенное значение функции:

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

22

22 2 2

0

00

ayax yax yaxa yaxa

ayaxa yax yaxa yaxa

jy j y

jyj y

¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢

++ -- + × + -×- =

¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢

++ -- + ×- - ×=

=

( )

2arctg z x yz- = -

( ) ( )

,, 2Fxyz arctgz x yz= ---

( )

( ) ( )

2

22

1

11

x

z

y

z

zx

F

z

yyzx

F

y

zx

F

zz

z

F

yy

zx zx

-

¢

+ -

¢

= - = - =

¢

-- -

-

+ -

¢

-

¢

= - = - =

¢

--

+ - + -

00

1, 2, 1xyz===

( )

22

1;2;1

22

1;2;1

11

1

112211

1

11

2

1111

x

y

z

yyzx

z

y

zx

¢

===-

-- - -- -

¢

===-

--

+ - + -

11

xy

dz z x z y x y

¢¢

= D + D = -D - ×D

00

1; 0, 2

2; 0,1

xx x x x

yy y y y

=+DÞ = D =

=+DÞ = D = -

1,2, 1,9 1, 2xy xy

zzdz

== ==

» +

xy

dz z x z y

¢¢

= D + D

( )

1.2, 1.9

1 1 0,2 1 0,1 1 0, 2 0,1 0,9

xy

z

==

»-× -×- = - +=