1
Вариант № 9.
1. Найти и изобразить область определения функции ,
найти и изобразить линию уровня, проходящую через точку (1;3/2).
Решение:
Найдем область определения
Построим область определения, часть плоскости между параллельными
прямыми
Найдем линию уровня
так как линия проходит через точку (1;3/2)
Следовательно,
( )
arcsin 2zxy= -
12 1
21
21
xy
xy
xy
-£ - £
-£
ì
í
-³-
î
( )
arcsin 2Cxy= -
31
arcsin 2 1 arcsin
226
C
p
æö
= ×- ==
ç÷
èø
( )
arcsin 2
6
xy
p
- =
2
2.Для функции в точке М (2;3;1) найти градиент и производную в
направлении вектора MN, если
Решение:
1) Найдем частные производные и их значения в точке М
тогда градиент функции имеет вид
2) Находим координаты вектора NM, затем единичный вектор, разделив
каждую координату вектора на его длину:
xyz
ue=
( )
1;1; 5N -
( )
231 6
31 3
xyz xyz
x
M
u
e e yz
x
u
ee
x
××
¶
¢
==
¶
¶
= ××=
¶
( )
231 6
21 2
xyz xyz
y
M
u
eexz
y
u
ee
y
××
¶
¢
==
¶
¶
= ××=
¶
( )
231 6
23 6
xyz xyz
z
M
u
e e xy
z
u
ee
z
××
¶
¢
==
¶
¶
= ××=
¶
( )
666
;; 3;2;6
uuu
grad u e e e
xyz
æö
¶¶¶
==
ç÷
¶¶¶
èø
( ) ( )
( ) ( ) ( )
222
0
1 2;1 3; 5 1 3; 2; 6
3269436497
326
;;
777
MN
MN
MN
= -- - -- = ---
= - + - + - =++= =
æö
= ---
ç÷
èø
3
Следовательно,
3. Существует ли предел ?
Решение:
Проведем замену , тогда
Результат не зависит от коэффициента k , следовательно, данного предел
существует.
4. Найти частные производные функции , если
,
Решение:
Воспользуемся дифференцированием сложной функции
Аналогично находим
5. Неявная функция z(x,y) в окрестности точки (1,1,1) задана уравнением
Найти дифференциал функции z в точке (1;1). С
помощью найденного выражения вычислить приближенно функцию
z(0,8;0,8)
Решение:
Зададим функцию
Найдем частные производные
cos cos cos
MM
M
uu u u
lx y z
abg
¶¶ ¶ ¶
= × + × + ×
¶¶ ¶ ¶
6
666 6
3 2 6 49
cos cos cos 3 2 6 7
7777
MM
M
uu u u e
eee e
lx y z
abg
¶¶ ¶ ¶ -
æö æö æö
= × + × + × = ×- + ×- + ×- ==-
ç÷ ç÷ ç÷
¶¶ ¶ ¶
èø èø èø
0
0
lim ln
x
y
xy
®
®
×
ykx=
( ) ( )
00
0
lim ln lim ln 0
xx
yykx
xy xkx
®®
® =
× = × =
,
xy
zz
¢¢
( ) ( )
( )
,, ,zfuxyvxy=
ln lnfuvvu= -
cos , sinux yvx y==
xuxvx
zzuzv
¢
¢¢ ¢¢
= × + ×
ln cos ln sin
x
vu
zv y uy
uv
æö æö
¢
= -× + -
ç÷ ç÷
èø èø
y
z
¢
( )
ln x sin ln x cos
y
vu
zv y u y
uv
æö æö
¢
= -×- + -×
ç÷ ç÷
èø èø
( )
3cosxyz zy--= -
( ) ( )
,, 3 cosFxyz x y z z y= --- -
4
Найдем значение производных при
Тогда дифференциал имеет вид:
Найдем приближенное значение функции z(0,8;0,8) для этого обозначим
Приближенное значение функции вычислим по формуле:
, где , тогда
Приближенное значение функции:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
33
1 sin 1 sin
1 sin 1 sin
1 sin 1 sin
x
x
z
y
y
z
F
z
zy zy
F
F
zy zy
z
zy zy
F
¢
¢
= - = - =
- + ---
¢
¢
-- - -- -
¢
= - = - =
- + ---
¢
00
1, 1, 1xyz===
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1;1; 1
1;1; 1
33
3
1sin 1sin11
1sin 1sin11
1
1sin 1sin11
x
y
z
zy
zy
z
zy
¢
===
-- --
-- - -- -
¢
===-
-- --
31
xy
dz z x z y x y
¢¢
= D + D = D-×D
00
00
1; 0, 2
1; 0, 2
xx x x x
yy y y y
=+DÞ = D = -
=+DÞ = D = -
0.8, 0,8 1, 1xy xy
zzdz
== ==
» +
xy
dz z x z y
¢¢
= D + D
( ) ( )
0.8, 0,8
13 0,2 1 0,2 10,60,2 10,4 0,6
xy
z
==
» + ×- -×- = - +=- =
