Подготовка к рубежному контролю №2
«Функция нескольких переменных»
Проект «Аполлон»
29 мая 2024 г.
1 ТЕОРИЯ
1 Теория
Вопрос 1. Дать определение открытой окрестности и открытого множества в R
n
.
Ответ. Если для каждой точки a множества A ⊂ R
n
существует ε-окрестность точки a и
целиком содержащаяся в A: U(a, ε) ⊂ A, то такое множество A называют открытым.
Ответ. Открытой окрестностью точки называется любое открытое множество, включа-
ющее в себя эту точку.
Вопрос 2. Дать определение предельной точки, граничной точки множества, и замкну-
того множества в R
n
.
Ответ. Точку f ∈ R
n
называют предельной точкой множества A ∈ R
n
, если любая проко-
лотая окрестность точки содержит точки из множества A.
Ответ. Точку a ∈ R
n
называют граничной точкой множества A ∈ R
n
, если любая ε-
окрестность точки a содержит как точки, принадлежащие множеству A, так и точки,
не принадлежащие этому множеству.
Ответ. Множество, которое содержит все свои граничные точки (свою границу), назы-
вают замкнутым множеством.
Вопрос 3. Дать определение ограниченного и связного множества в R
n
.
Ответ. Множество A ∈ R
n
называют ограниченным множеством, если существует такое
положительное число r, что r-окрестность точки 0 = (0, . . . , 0) содержит множество A.
Вопрос 4. Дать определение предела функции нескольких переменных (ФНП) по мно-
жеству и непрерывной ФНП.
Ответ. Пусть заданы функция нескольких переменных f : R
n
→ R, множество A ⊂ D( f ),
включенное в область определения D( f ) функции f , и предельная точка a множества A.
Точку b ∈ R называют пределом функции f в точке a по множеству A, если для любой
ε-окрестности U(b, ε) точки b существует такая проколотая δ-окрестность U(a, δ) точки
a, что f (x) ∈ U(b, ε) при x ∈ U(a, δ) ∩ A
∀U(b, ε) ⊂ R
m
∃(a, δ) ⊂ R
n
∀x ∈ U(a, δ) ∩ A : f (x ) ∈ U(b, ε).
Ответ. Функция нескольких переменных f : A ⊂ R
n
→ R называется непрерывной в точке
a ∈ ∀A, если существует предел функции f при x −→
A
a, равный значению функции в этой
точке
lim
x−→
A
a
f (x ) = f (a).
Вопрос 5. Дать определение частной производной ФНП в точке.
Ответ. Пусть определена функция нескольких переменных f : R
n
→ R в некоторой
окрестности точки a =
(
a
1
, . . . , a
n
)
∈ R
n
. Тогда в некоторой окрестности точки a
i
∈ R
i = 1, n определена функция одного переменного φ
1
(x
i
) = f (x
1
, a
1
, . . . a
i
, . . . , a
n
), которая по-
лучается из функции f (x
1
, . . . , x
n
) при фиксированных значениях всех аргументов, кроме
i-го. Тогда производную φ
′
(a
i
) функции φ(x
i
) в точке a
i
∈ R называют частной производ-
ной функции нескольких переменных f в точке a по переменному x
i
.
2
1 ТЕОРИЯ
Вопрос 6. Дать определение дифференцируемой ФНП в точке.
Ответ. Функцию f : R
n
→ R, определенную в некоторой окрестности точки x, называют
дифференцируемой в точке x , если ее полное приращение в окрестности этой точки
можно представить в виде
∆ f (x) = a
1
∆x
1
+ a
2
∆x
2
+ . . . + a
n
∆x
n
+ α(∆x)|∆x|,
где коэффициенты a
1
, a
2
, . . . , a
n
не зависят от приращений ∆x, а функция α(∆x) является
бесконечно малой при ∆x → 0.
Вопрос 7. Сформулировать теорему о связи непрерывности и дифференцируемости ФНП.
Теорема. Если функция нескольких переменных дифференцируема в некоторой точке,
то она непрерывна в этой точке.
Вопрос 8. Сформулировать теорему о необходимых условиях дифференцируемости ФНП.
Необходимость. Если функция нескольких переменных f : R
n
→ R дифференцируема в
точке x, то у этой функции в точке x существуют все конечные частные производные
f
′
x
(x), i = 1, n, причем коэффициенты a
i
в представлении функции в виде
∆ f (x) = a
1
∆x
1
+ a
2
∆x
2
+ . . . + a
n
∆x
n
+ α(∆x)|∆x|
равны значениям соответствующих частных производных в точке x:
a
i
= f
′
x
(x), i = 1, n.
□
Вопрос 9. Сформулировать теорему о достаточных условиях дифференцируемости ФНП.
Достаточность. Если функция нескольких переменных f : R
n
→ R в некоторой окрест-
ности точки a определена и имеет частные производные по всем переменным, причем
все производные непрерывны в самой точке a, то функция f дифференцируема в точке
a. □
Вопрос 10. Дать определение (полного) первого дифференциала ФНП.
Ответ. Линейную относительно ∆x часть полного приращения функции f (x), дифферен-
цируемой в точке x называют (полным) дифференциалом функции f и обозначают как
d f (x)
d f (x) =
∂ f
∂x
1
dx
1
+
∂ f
∂x
2
dx
2
+ . . . +
∂ f
∂x
n
dx
n
.
Вопрос 11. Дать определение второго дифференциала ФНП и матрицы Гессе.
Ответ. Если дифференциал функции f (x) является дифференцируемой функцией, то
выражение
d(d f (x)) =
n
X
j=1
∂ df (x)
∂x
dx
j
=
n
X
j=1
n
X
i=1
∂ f (x)
∂x
j
∂x
i
dx
i
dx
j
называют вторым дифференциалом функции f (x).
3
1 ТЕОРИЯ
Ответ. Если для функции f (x
1
, . . . , x
n
) в точке x существуют все частные производные
второго порядка, то из них можно составить квадратную матрицу порядка n:
f
′′
(x) =
∂
2
f
1
(x)
∂x
2
1
∂
2
f
1
(x)
∂x
1
∂x
2
. . .
∂
2
f
1
(x)
∂x
1
∂x
n
∂
2
f
2
(x)
∂x
2
∂x
1
∂
2
f
2
(x)
∂
2
x
2
. . .
∂
2
f
2
(x)
∂x
2
∂x
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∂
2
f
2
(x)
∂x
n
∂x
1
∂
2
f
n
(x)
∂x
n
∂x
2
. . .
∂
2
f
2
(x)
∂
2
x
n
,
называемой матрицей Гессе.
Вопрос 12. Сформулировать теорему о независимости смешанных частных производных
от порядка дифференцирования.
Теорема (О смешанных частных производных). Пусть функция f (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) (n > 1) в
некоторой окрестности точки a ∈ R
n
имеет частные производные первого порядка f
′
x
i
и
f
′
x
j
, i , j, а также смешанные производные f
′′
x
i
x
j
и f
′′
x
i
x
j
. Если эти смешанные производные
являются непрерывными в точке a функциями по части переменных x
i
и x
j
, то в этой
точке их значения совпадают, то есть f
′′
x
i
x
j
= f
′′
x
i
x
j
.
Вопрос 13. Сформулировать теорему о необходимых и достаточных условиях того, чтобы
выражение P(x, y)dx + Q(x, y)dy было полным дифференциалом.
Вопрос 14. Записать формулы для вычисления частных производных сложной функции
вида z = f (u(x, y), v(x, y)).
Ответ.
∂z
∂x
=
∂z
∂u
∂u
∂x
+
∂z
∂v
∂v
∂x
∂z
∂y
=
∂z
∂u
∂u
∂y
+
∂z
∂v
∂v
∂y
.
Вопрос 15. Записать формулу для вычисления производной сложной функции вида u =
f (x (t), y(t), z(t)).
Ответ.
du
dt
=
∂u
∂x
dx
dt
+
∂u
∂y
dy
dt
+
∂u
∂z
dx
dt
.
Вопрос 16. Сформулировать теорему о неявной функции.
Теорема (О неявной функции). Пусть уравнение f (x, y) = 0, x, y ∈ R, удовлетворяет сле-
дующим трем условиям:
1. координаты точки (a, b) удовлетворяют уравнению f (a, b) = 0;
2. функция f (x, y) определена в некоторой окрестности U точки (a, b) и непрерывно
дифференцируема в U, то есть f ∈ C
1
(U);
3. частная производная функции f (x, y) в точке (a, b) по переменному y отлична от
нуля
∂ f
∂y
, 0.
Тогда существует прямоугольник P, определяемый неравенствами |x −a| < δ
x
, |x −b| < δ
y
,
имеющий центр симметрии в точке (a, b), такой, что в P уравнение f (x, y) = 0 разрешимо
относительно переменного y и тем самым задает функцию y = φ(x), x ∈ T = (a −δ
x
, a + δ
x
).
При этом функция y = φ(x) непрерывно дифференцируема на T , а ее производная может
4
1 ТЕОРИЯ
быть вычислена по формуле
φ
′
(x) = −
f
′
x
(x, y)
f
′
y
(x, y)
y=φ(x)
.
Вопрос 17. Записать формулы для вычисления частных производных неявной функции
z(x, y), заданной уравнением F(x, y, z) = 0.
Ответ.
∂z
∂x
= −
∂F
∂x
∂x
∂z
∂z
∂y
= −
∂F
∂y
∂y
∂z
Вопрос 18. Дать определение градиента ФНП и производной ФНП по направлению.
Ответ. Производной функции f : R
n
→ R в точке a ∈ R
n
по направлению вектора n
называют число
∂ f (a)
∂n
= lim
s→+0
f (a + sn
o
) − f (a)
s
,
если этот предел существует. n
o
обозначен единичный вектор, сонаправленный с n
n
o
=
n
|n|
.
Ответ. Пусть функция нескольких переменных f : R
n
→ R в точке x имеет все частные
производные первого порядка. Тогда вектор
f (x ) =
∂ f
∂x
1
,
∂ f
∂x
2
, . . . ,
∂ f
∂x
n
!
называют градиентом функции f в точке x.
Вопрос 19. Записать формулу для вычисления производной ФНП по направлению.
Ответ.
∂ f (a)
∂n
=
n
X
i=1
∂ f (a)
∂x
i
v
i
,
где n/|n| = (v
1
. . . v
n
)
τ
.
Вопрос 20. Перечислить основные свойства градиента ФНП.
Ответ. 1. Если функция f : R
n
→ R дифференцируема в точке x ∈ R
n
, то в этой точке
∂ f (x)
∂n
= Пр
n
f (x ),
где Пр
b
a – проекция вектора a на направление вектора b.
2. Если функция f : R
n
→ R дифференцируема в точке x ∈ R
n
и f (x) , 0, то при
n = f (x) имеем
∂ f (x)
∂n
= |f (x)|.
3. Если функция f : R
n
→ R дифференцируема в точке x ∈ R
n
, то в этой точке вектор
f (x ) указывает направление наибольшего роста функции f (x).
4. Если функция f (x) : R
n
→ R дифференцируема в точке x, то в этой точке вектор
−f (x) задает направление наибольшего убывания функции.
5
1 ТЕОРИЯ
5. Если функция f (x ) : R
n
→ R дифференцируема в точке x, то наибольшая скорость
роста (или убывания) функции f (x) в этой точке равна |f (x)| (или | − f (x)|).
Вопрос 21. Сформулировать теорему Тейлора для функции двух переменных.
Теорема (Теорема Тейлора). Пусть функция нескольких переменных f : R
n
→ R опре-
делена в некоторой окрестности U точки a ∈ R
n
, причем функция и ее производные до
m + 1 порядка непрерывны f ∈ C
m+1
(U). Если отрезок, соединяющий точки a = (a
1
, . . . , a
n
)
и a + ∆x = (a
1
+ ∆x
1
, . . . , a
n
+ ∆x
n
), содержится в U, то для функции f (x) имеет место
формула Тейлора
f (a + ∆x) =
m
X
k=0
d
k
f (a)
k!
+
d
m+1
f (a + ϑ∆x
(m + 1)!
,
где ϑ ∈ (0, 1) – некоторое число, а d
0
f (a) = f (a) по определению.
Вопрос 22. Сформулировать теорему об условиях существовании касательной плоскости
к поверхности, заданной уравнением F(x, y, z) = 0.
Теорема. Если для поверхности S , заданной уравнением F(x, y, z) = 0 известны коорди-
наты x
0
, y
0
, z
0
точки M ∈ S выполняются следующие условия:
1. F(x, y, z) дифференцируема в точке M ;
2. градиент функции F(x , y, z) в точке M отличен от нуля;
то для данной поверхности существует касательная плоскость к точке M.
Вопрос 23. Записать уравнения касательной и нормали к поверхности F(x, y, z) = 0 в
точке (x
0
, y
0
, z
0
).
Ответ. Для поверхности S заданной уравнением F(x, y, z) = 0 в точке (x
0
, y
0
, z
0
) касатель-
ная плоскость имеет вид
∂F(x
0
, y
0
, z
0
)
∂x
(x − x
0
) +
∂F(x
0
, y
0
, z
0
)
∂y
(y − y
0
) +
∂F(x
0
, y
0
, z
0
)
∂z
(z − z
0
) = 0.
Уравнение нормали к поверхности S в точке M:
x − x
0
F
′
x
(x
0
, y
0
, z
0
)
=
y − y
0
F
′
y
(x
0
, y
0
, z
0
)
=
z − z
0
F
′
z
(x
0
, y
0
, z
0
)
Вопрос 24. Дать определение (обычного) экстремума (локального максимума и миниму-
ма) ФНП.
Ответ. Функция нескольких переменных f : R
n
→ R, определенная в некоторой окрест-
ности точки a ∈ R
n
, имеет в этой точке локальный максимум (локальный минимум), если
существует такая проколотая окрестность
˚
U(a, ε) точки a, что для любой точки x ∈
˚
U(a, ε)
выполнено неравенство f (x) ≤ f (a) ( f (x) ≥ f (a)).
Вопрос 25. Сформулировать необходимые условия экстремума ФНП.
6
1 ТЕОРИЯ
Необходимость. Пусть функция нескольких переменных f : R
n
→ R имеет в точке a ∈ R
n
экстремум. Если функция f (x
1
, . . . , x
n
) имеет в точке a частную производную первого
порядка по переменному x
i
, i = 1, n, то эта частная производная равна нулю:
∂ f (a)
∂x
i
= 0. □
Вопрос 26. Сформулировать достаточные условия экстремума ФНП.
Достаточность. Пусть функция нескольких переменных f : R
n
→ R определена в окрест-
ности U(a) точки a, дважды непрерывно дифференцируема в U(a) и d f (a) = 0. Тогда:
1. если квадратичная форма d
2
f (a) в точке a положительно определенная, то в этой
точке функция f (x) имеет строгий локальный минимум;
2. если квадратичная форма d
2
f (a) в точке a отрицательно определенная, то в этой
точке функция f (x) имеет строгий локальный максимум;
3. если квадратичная форма d
2
f (a) в точке a знакопеременная, то в этой точке функ-
ция f (x) не имеет экстремума.
□
Вопрос 27. Дать определение условного экстремума ФНП.
Ответ. Функция нескольких переменных f : R
n
→ R, определенная в окрестности точки
a ∈ R
n
, достигает в этой точке условного локального максимума (минимума) при услови-
ях φ
1
(x) = 0, . . . φ
n
(x) = 0, где φ
i
(x), i = 1, n – некоторые функции нескольких переменных,
определенных в окрестности точки a, если существует такая проколотая окрестность
˚
U(a, δ) точки a, что для всех точек x ∈
˚
U(a, δ), удовлетворяющих условиям φ
i
(x) = 0,
i = 1, m, верно неравенство
f (x ) ≤ f (a) ( f (x) ≥ f (a))
Вопрос 28. Дать определение функции Лагранжа и множителей Лагранжа задачи на
условный экстремум ФНП.
Ответ. Функцией Лагранжа для функции нескольких переменных f : R
n
→ R и условий
φ
i
(x) = 0, i = 1, m называется функция
L(x
1
, . . . , x
n
, λ
1
, . . . , λ
m
) = f (x
1
, . . . , x
n
) +
m
X
i=1
λ
i
φ
i
(x
1
, . . . , x
n
),
где λ
i
i = 1, m – множители Лагранжа.
Вопрос 29. Сформулировать необходимые условия условного экстремума ФНП.
Необходимость. Пусть функции нескольких переменных f (x, y) и φ(x, y) определены и
непрерывно дифференцируемы в окрестности точки P(a, b). Если функция f (x, y) имеет
в точке P условный экстремум при условии φ(x, y) = 0, причем φ(a, b) , 0, то существует
такое число λ, которое вместе с координатами a и b точки P удовлетворяет системе
уравнений
∂ f (x,y)
∂x
+ λ
∂φ(x,y)
∂x
= 0
∂ f (x,y)
∂y
+ λ
∂φ(x,y)
∂y
= 0
φ(x, y) = 0
.
□
7
1 ТЕОРИЯ
Вопрос 30. Сформулировать достаточные условия условного экстремума ФНП.
Достаточность. Пусть функции f : R
n
→ R, φ
i
: R
n
→ R, i = 1, m дважды непрерывно
дифференцируемы в окрестности точки a ∈ R
n
, φ(a) = 0,
∂φ
i
(a)
∂x
j
= m и координаты точки
a вместе с координатами некоторого вектора λ
a
удовлетворяют системе уравнений
∂L(x,λ)
∂x
1
= 0
. . .
∂L(x,λ)
∂x
n
= 0
∂L(x,λ)
∂λ
1
= 0
. . .
∂L(x,λ)
∂λ
n
= 0
,
тогда:
1. если квадратичная форма d
2
L(a)
H
положительно определенная, то функция f (x)
имеет в точке a строгий условный локальный минимум при условии φ(x);
2. если квадратичная форма d
2
L(a)
H
отрицательно определенная, то функция f (x)
имеет в точке a строгий условный локальный максимум при условии φ(x);
3. если квадратичная форма d
2
L(a)
H
знакопеременная, то функция f (x) в точке a не
имеет условного экстремума.
□
Вопрос 31. Доказать теорему о необходимых условиях дифференцируемости ФНП.
Необходимость. Если функция нескольких переменных f : R
n
→ R дифференцируема в
точке x, то у этой функции в точке x существуют все конечные частные производные
f
′
x
(x), i = 1, n, причем коэффициенты a
i
в представлении функции в виде
∆ f (x) = a
1
∆x
1
+ a
2
∆x
2
+ . . . + a
n
∆x
n
+ α(∆x)|∆x|
равны значениям соответствующих частных производных в точке x:
a
i
= f
′
x
(x), i = 1, n.
□
Доказательство. Для дифференцируемой в точке x функции f представление полного
приращения функции
∆ f (x) = a
1
∆x
1
+ a
2
∆x
2
+ . . . + a
n
∆x
n
+ α(∆x)|∆x|
верно для любого приращения ∆x. В частности, когда
∆x = (0 . . . 0 ∆x
i
0 . . . 0)
τ
, ∆x
i
, 0,
где i выбран произвольным образом и зафиксирован. В этом случае |∆x| = |∆x
i
|, а со-
ответствующее полное приращении функции сводится к ее i-ому приращению ∆
i
f (x ).
Равенство принимает вид
∆ f (x) = ∆
i
f (x ) = a
i
∆x
i
+ α(∆x)|∆x
i
|.
8
1 ТЕОРИЯ
Разделив на ∆x
i
и перейдя к пределу при ∆x
i
→ 0, получаем:
lim
∆x
i
→0
∆
i
f (x )
∆x
i
= a
i
+ lim
∆x
i
→0
α(∆x)
|∆x
i
|
∆x
i
!
= a
i
,
поскольку функция α(∆x) бесконечно малая при ∆x
i
→ 0, а отношение |∆x
i
|/∆x
i
=, 1,
ограничено, так что последний предел равен нулю. Следовательно, производная f
x
i
(x) в
точке x существует и равна a
i
. □
Вопрос 32. Доказать теорему о достаточных условиях дифференцируемости ФНП.
Достаточность. Если функция нескольких переменных f : R
n
→ R в некоторой окрест-
ности точки a определена и имеет частные производные по всем переменным, причем
все производные непрерывны в самой точке a, то функция f дифференцируема в точке
a. □
Доказательство. Там выкладка на страницу, Вы точно думаете, что напишите это на
РК? □
Вопрос 33. Доказать теорему о независимости смешанных частных производных от по-
рядка дифференцирования (для вторых производных функции двух переменных).
Теорема (О смешанных частных производных). Пусть функция f (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) (n > 1) в
некоторой окрестности точки a ∈ R
n
имеет частные производные первого порядка f
′
x
i
и
f
′
x
j
, i , j, а также смешанные производные f
′′
x
i
x
j
и f
′′
x
i
x
j
. Если эти смешанные производные
являются непрерывными в точке a функциями по части переменных x
i
и x
j
, то в этой
точке их значения совпадают, то есть f
′′
x
i
x
j
= f
′′
x
i
x
j
.
Доказательство. Там выкладка на страницу, Вы точно думаете, что напишите это на
РК? □
Вопрос 34. Вывести формулу для дифференцирования сложной ФНП (можно ограни-
читься случаем функции вида z = f (x(t), y(t))).
Теорема. Если функция g
i
(t), i = 1, n дифференцируемы в точке a ∈ R, а функция
f (u
1
, . . . , u
n
) дифференцируема в точке b = (b
1
, . . . , b
n
), где b
i
= g
i
(a), i = 1, n, то в некоторой
окрестности точки a определена сложная функция F(t) = f (g
1
(t), . . . , g
n
(t)), дифференци-
руемая в точке a, причем
dF(a)
dt
=
∂ f (b)
∂u
1
dg
1
(a)
dt
+
∂ f (b)
∂u
2
dg
2
(a)
dt
+ . . . +
∂ f (b)
∂u
n
dg
n
(a)
dt
.
Доказательство. Условие дифференцируемости функции f в точке b предполагает, что
эта функция определена в некоторой окрестности U(b, σ) точки b. Так как функции g
i
дифференцируемы в точке a, они определены в некоторой окрестности этой точки и
являются непрерывными функциями в точке a. Значит, согласно определению непре-
рывности, существует такая окрестность U(a, δ), в которой определены все функции
g
i
, i = 1, n и выполняются неравенства |g
i
(t) − g
i
(a)| <
σ
√
n
. Тогда для любого t ∈ U(a, δ)
точка u = (u
1
, . . . , u
n
), где u
i
= g
i
(t), i = 1, n, попадает в окрестность U(b, σ), поскольку
|u − b| <
q
σ
2
n
· n = σ. Следовательно, в окрестности U(a, δ) определена сложная функция
F(t) = f (g
1
(t), . . . , g
n
(t)).
Пусть t ∈ U(a, δ) – произвольная точка, u
i
= g
i
(t), i =
1, n, z = f (u
1
, . . . , u
n
). Обозначим
∆t = t − a, ∆u
i
= u
i
− b
i
, ∆z = z − c, где c = f (b). В силу дифференцируемости функций g
i
в
точке a имеем представление
∆u
i
= g
i
(t) − g
i
(a) = g
′
i
(a)∆t + α
i
(∆t)|∆t|1,
9
1 ТЕОРИЯ
где ∆u = u −b, α
i
(∆t) → 0 при ∆x → 0. В силу дифференцируемости функции f в точке b
имеем аналогичное представление
∆z = f (u) − f (b) =
n
X
i=1
∂ f (b)
∂u
i
∆u
i
+ β(∆u)|∆u|, (2)
где β(∆u) → 0 при ∆u → 0. Подставив (1) в (2), получим
∆F(a) = ∆z =
n
X
i=1
∂ f (b
i
)
∂u
i
dg(a)
dt
∆t + αi(∆t)|∆t|
!
=
n
X
i=1
∂ f (b
i
)
∂u
i
dg(a)
dt
∆t
∆t + γ(∆t)|∆t|.
Докажем, что функция γ(∆t), имеющая вид
γ(∆t) =
n
X
i=1
∂ f (b)
∂u
i
α
i
(∆t) + β(∆g
1
(a), . . . , ∆g
m
(a))
v
t
n
X
i=1
dg
i
(a)
dt
∆t
|∆t|
+ α
i
(∆t)
!
2
,
– бесконечно малая функция. Функция β(∆u) бесконечно малая при ∆u → 0, причем на
представление(2) не влияет значение этой функции при ∆u = 0. Поэтому можно счи-
тать, что β(0) = 0 и что функция β(∆u) непрерывна при ∆u = 0. Но тогда функция
β
(
∆g
1
(a), . . . , ∆g
m
(a)
)
непрерывна при ∆t = 0, как композиция непрерывных функций.
Значит, она является бесконечно малой при ∆t → 0. Функция ν(∆t) =
∆t
|∆t|
является огра-
ниченной: |ν(∆t)| = 1. Отсюда вытекает, что функция ν(∆t) =
q
P
n
i=1
dg
i
(a)
dt
ν(∆t) + α
i
(∆t)
2
ограничена при ∆t → 0. Следовательно, произведение β
(
∆g
1
(a), . . . , ∆g
m
(a)
)
есть бесконеч-
но малая функция при ∆t → 0, так как представляет собой произведение бесконечно
малой на ограниченную функцию. Таким образом, γ(∆t), как сумма бесконечно малых
функций, является бесконечно малой функцией при ∆t → 0. Согласно определению это
означает, что функция F дифференцируема в точке a. □
Вопрос 35. Сформулировать теорему о неявной функции. Вывести формулы для частных
производных неявной функции.
Теорема (О неявной функции). Пусть уравнение f (x, y) = 0, x, y ∈ R, удовлетворяет сле-
дующим трем условиям:
1. координаты точки (a, b) удовлетворяют уравнению f (a, b) = 0;
2. функция f (x, y) определена в некоторой окрестности U точки (a, b) и непрерывно
дифференцируема в U, то есть f ∈ C
1
(U);
3. частная производная функции f (x, y) в точке (a, b) по переменному y отлична от
нуля
∂ f
∂y
, 0.
Тогда существует прямоугольник P, определяемый неравенствами |x −a| < δ
x
, |x −b| < δ
y
,
имеющий центр симметрии в точке (a, b), такой, что в P уравнение f (x, y) = 0 разрешимо
относительно переменного y и тем самым задает функцию y = φ(x), x ∈ T = (a −δ
x
, a + δ
x
).
При этом функция y = φ(x) непрерывно дифференцируема на T , а ее производная может
быть вычислена по формуле
φ
′
(x) = −
f
′
x
(x, y)
f
′
y
(x, y)
y=φ(x)
.
Ответ. Пусть функция φ(x ), x ∈ G ⊂ R
n
определена неявно уравнением f (x, y) = 0. Тогда в
области G имеем f (x, φ(x)) ≡ 0. Считая, что функции y = φ(x) и z = f (x, y) дифференцируе-
мы в соответствующих точках, причем f
′
(x, y) , 0, тогда по правилу дифференцирования
10
1 ТЕОРИЯ
сложной функции получаем:
∂z
∂x
k
+
∂z
∂y
∂y
∂x
k
= 0, x ∈ G.
Из этого уравнения находим
∂y
∂x
k
= −
∂z
∂x
k
∂z
∂y
что эквивалентно
∂y
∂x
k
= −
∂z
∂x
k
∂y
∂z
= −
f
′
y
f
′
x
k
.
Вопрос 36. Вывести уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравне-
нием F(x , y, z) = 0.
Ответ. Рассмотрим поверхность S , заданную уравнением F(x, y, z) = 0. Пусть известны
координаты x
0
, y
0
, z
0
точки M ∈ S выполняются следующие условия:
1. F(x, y, z) дифференцируема в точке M ;
2. градиент функции F(x , y, z) в точке M отличен от нуля.
Рассмотрим кривую γ, лежащую на поверхности S и проходящую через точку M.
Зададим эту кривую параметрическими уравнениями
x = φ(t) y = ψ(t) z = χ(t)
,
так, чтобы значение параметра t = 0 соответствовало точке M, то есть чтобы
x
0
= φ(0) y
0
= ψ(0) z
0
= χ(0)
.
Предположим, что в точке t = 0 функции φ(t), ψ(t), χ(t) имеют производные, не обращаю-
щиеся в нуль одновременно. Тогда
F
(
φ(t), ψ(t), χ(t)
)
≡ 0,
причем сложная функция в левой части тождества дифференцируема в точке t = 0. По-
этому, дифференцируя данное выражение в точке t = 0 по правилу дифференцирования
сложной функции, получаем
∂F(x
0
, y
0
, z
0
)
∂x
φ
′
(0) +
∂F(x
0
, y
0
, z
0
)
∂y
ψ
′
(0) +
∂F(x
0
, y
0
, z
0
)
∂y
χ
′
(0) = 0.
Записанное равенство означает, что вектор
τ = (φ
′
(0) ψ
′
(0) χ
′
(0))
τ
называемый касательным вектором к кривой γ в точке M ортогонален вектору
F(x
0
, y
0
, z
0
) =
∂F(x
0
, y
0
, z
0
)
∂x
∂ F(x
0
, y
0
, z
0
)
∂y
∂F(x
0
, y
0
, z
0
)
∂z
!
не зависящему от выбора кривой γ.
11
1 ТЕОРИЯ
Итак, все касательные векторы в точке M ∈ S всевозможных кривых, лежащий на по-
верхности S и проходящих через точку M, ортогональны градиенту F(x
0
, y
0
, z
0
) функции
F(x, y, z). Построим плоскость π, проходящую через точку M и имеющую нормальный
вектор F(x
0
, y
0
, z
0
). Тогда касательный вектор любой кривой, лежащей на поверхности S ,
в точке M будет параллелен плоскости π. Согласно определению, плоскость π является
касательной плоскостью к поверхности S в точке M.
12
