27
Билет 9
1. Дать определение градиента ФНП и производной ФНП по
направлению
Градиентом функции называется вектор
.
Иначе, этот вектор может быть записан следующим образом:
Производная по направлению.
Пусть задана функция двух переменных и произвольный вектор
Рассмотрим приращение этой функции, взятое вдоль данного
вектора т.е. вектор коллинеарный по
отношению к вектору . Длина приращения аргумента
Производной по некоторому направлению называется предел отношения
приращения функции вдоль данного направления на длину приращения
аргумента, когда длина приращения аргумента стремиться к 0.
2. Записать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
,, 0Fxyz
в точке
000
;;xyz
Уравнение касательной плоскости:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
0
xy z
xyz xyz
xyz
FxxFyyFzz
Уравнение нормали:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
xz
y
xyz xyz
xyz
xx yy zz
FF
F
3. Сформулировать теорему о независимости смешанных частных
производных от порядка дифференцирования
28
4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
222
23 2160xyzxyyzxz
в точке
1; 2; 3
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
222
,, 2 3 2 16
22 212232
4421312
62 6322118
M
M
M
Fxyz x y z xy yz xz
Fx x y z Fx
Fy y x z Fy
Fz z y x Fz
Уравнение касательной плоскости:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
0
xy z
xyz xyz
xyz
FxxFyyFzz
2112 21830
22122418540
21218320
xy z
xy z
xyz
Уравнение нормали:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
xz
y
xyz xyz
xyz
xx yy zz
FF
F
123
212 18
xy z
5. Исследовать на экстремум функцию
322
324zx y x y
Решение:
Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условием
существования экстремума
322 2
2
322
324 340
340
640
324 640
x
y
z
xyxy xx
xx
x
z
y
xyxy y
y
Решим данную систему
29
2
2
12
340
1
3
640
340
34 0
4
0
3
xx
y
y
xx
xx
xx
Следовательно, две точки
12
141
0; , ;
333
MM
222
22
64; 0; 6
zzz
AxB C
xxyy
Для точки
1
1
0;
3
M
222
22
60 4 4; 0; 6
zzz
ABC
xxyy
22
46 0 24 0AC B
экстремума нет
Для точки
2
41
;
33
M
222
22
4
644; 0; 6
3
zzz
ABC
xxyy
22
46 0 24 0AC B
и
0A
следовательно,
2
41
;
33
M
точка
минимума
6. Исследовать на экстремум функцию
2zx y
при условии
22
321xy
