30
БИЛЕТ 10
1. Дать определение (обычного ) экстремума (локального максимума и
минимума) ФНП
Функция имеет максимум в точке (т. е. при и
), если для всех точек , достаточно близких к
точке и отличных от нее.
Функция имеет минимум в точке (т. е. при и
), если для всех точек , достаточно близких к точке
и отличных от нее.
Максимум и минимум функции называются экстремумами функции, т. е.
говорят, что функция имеет экстремум в данной точке, если эта функция
имеет максимум или минимум в данной точке.
2. Перечислить основные свойства градиента ФНП
Свойства градиента:
· Градиент направлен по нормали к поверхности z=ƒ(х; у) в точке М
0
.
· Градиент направлен в сторону наибольшего возрастания функции и
равен по величине мгновенной скорости возрастания функции (то есть
производной по этому направлению).
· Производная по направлению вектора, перпендикулярного к
вектору , равна нулю.
3. Сформулировать теорему о необходимых и достаточных условиях
того, чтобы выражение
,,Pxydx Qxydy
было полным
дифференциалом
Для того, чтобы выражение P(x,y)dx+Q(x,y)dy было полным
дифференциалом некоторой функции u=u(x,y), необходимо и достаточно,
чтобы
,,Pxy Qxy
yx
для всех х,у при условии, что
,,
,; ,; ;
Pxy Qxy
Pxy Qxy
yx
непрерывны в некоторой
ограниченной области.
4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
22 5
5zxxyzy
в точке
1;1; 2
31
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
22 5
,, 5Fxyz z x xyz y
или
33 5
,, 5Fxyz xyz xyz y
32 3 2
33 4 33 4
23 23
31231128614
51212515
331121125
M
M
M
Fx yz x yz Fx
Fy xz x z y Fy
Fz xyz x y Fz
Уравнение касательной плоскости:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
0
xy z
xyz xyz
xyz
FxxFyyFzz
14 1 5 1 25 2 0
14 14 5 5 25 50 0
14 5 25 69 0
xy z
xyz
xy z
Уравнение нормали:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
xz
y
xyz xyz
xyz
xx yy zz
FF
F
112
14 5 25
xyz
5. Исследовать на экстремум функцию
33
861zx y xy
Решение:
Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условием
существования экстремума
33 2
2
2
33 2
861360
360
24 6 0
861 2460
x
y
z
xyxy xy
xy
x
z
yx
xyxy yx
y
Решим данную систему
2
2
2
2
2
4
3
3
1
2
22
12
360
2
24 6 0
24 6 0
2
660
610
010
1
01
00,5
22
xy
x
y
yx
x
x
xx
xx
xx
x
yy
32
Следовательно, две точки
12
0;0 , 1; 0, 5MM
22 2
22
6; 6; 48
zz z
AxB C y
xxyy
Для точки
1
0;0M
222
22
60 0; 6; 480 0
zzz
ABC
xxyy
2
2
00 6 36 0AC B
не является точкой экстремума
Для точки
2
1; 0, 5M
222
22
61 6; 6; 480,5 24
zzz
ABC
xxyy
2
2
624 6 144 36 108 0AC B
и
0A
точка
2
1; 0, 5M
является точкой минимума
6. Исследовать на экстремум функцию
xy
ze
при условии
22
2xy
