33
БИЛЕТ 11
1. Дать определение условного экстремума ФНП
2. Записать формулы для вычисления частных производных сложной
функции вида
,, ,zfuxyvxy
zfufv
xuxvx
zfufv
yuyvy
3. Сформулировать теорему о неявной функции
,, 0Fxyz
4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
2xyz
xyze
в точке
2;3 ; 4
34
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
2
22234
22234
22234
,,
11
0, 5 1 0, 5
22234
11
220,522,5
22234
11
0, 5 1 1, 5
22234
xyz
xyz
M
xyz
M
xyz
M
Fxyz x y z e
Fx e Fx e
xyz
Fy e Fy e
xyz
Fz e Fz e
xyz
Уравнение касательной плоскости:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
0
xy z
xyz xyz
xyz
FxxFyyFzz
0, 5 2 2, 5 3 1, 5 4 0
0, 5 1 2, 5 7, 5 1, 5 6 0
0, 5 2, 5 1, 5 2, 5 0
xyz
xy z
xyz
Уравнение нормали:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
xz
y
xyz xyz
xyz
xx yy zz
FF
F
234
0, 5 2,5 1, 5
xyz
5. Исследовать на экстремум функцию
33
15zx y xy
Решение:
Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условием
существования экстремума
33 2
2
2
33 2
15 3 15 0
3150
3150
15 3 15 0
x
y
z
xy xy x y
xy
x
z
yx
xy xy y x
y
Решим данную систему
22
2
22
2
2
3150 50
5
3150 50
50
5
xy xy
x
y
yx yx
x
x
35
4
3
2
11
32
3
22
50
25
50
25
0
00
5
5
5 0 125 5 5
25 5
x
x
x
x
xy
x
xxy
Следовательно, две точки
12
0;0 , 5;5MM
Находим частные производные второго порядка
22 2
22
6; 15; 6
zz z
AxB C y
xxy y
Для точки
1
0;0M
222
22
60 0; 15; 60 0
zzz
ABC
xxyy
2
2
00 15 225 0AC B
экстремума нет
Для точки
2
5;5M
222
22
65 30; 15; 65 30
zzz
ABC
xxyy
2
2
30 30 15 900 225 675 0AC B
и
0A
точка
2
5;5M
является точкой минимума
6. Исследовать на экстремум функцию
2
2
4
x
zy
при условии
2xy
