36
БИЛЕТ 12
1. Дать определение функции Лагранжа и множителей Лагранжа задачи
на условный экстремум ФНП.
2. Записать формулы для вычисления производной сложной функции
вида
,,ufxtytzt
du u dx u dy u dz
dt x dt y dt z dt
3. Сформулировать теорему Тейлора для функции двух переменных
4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
228
xy
zz
в точке
2; 2;1
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
37
2
1
2
1
,, 2 2 8
2ln2 2ln2
4ln 2
1
2ln2 2ln2
4ln 2
1
xy
zz
x
z
xx
M
y
z
yy
M
Fxyz
FF
z
FF
z
22
22
11
22
2ln2 2ln2
22
2ln2 2ln2 16ln2
11
xy
zz
z
z
M
xy
F
zz
F
Уравнение касательной плоскости:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
0
xy z
xyz xyz
xyz
FxxFyyFzz
4ln2 2 4ln2 2 16ln2 1 0
22410
40
xy z
xy z
xy z
Уравнение нормали:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
xz
y
xyz xyz
xyz
xx yy zz
FF
F
22 1
4ln 2 4 ln 2 16ln 2
221
11 4
xy z
xyz
5. Исследовать на экстремум функцию
33
26zxy xy
Решение:
Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условием
существования экстремума
33 2
2
2
33 2
26660
660
360
26360
x
y
z
xy xy x y
xy
x
z
yx
xy xy y x
y
Решим данную систему
22
2
22
2
2
660 0
360 20
20
xy xy
yx
yx yx
xx
38
4
3
2
11
33
33
22
20
20
000
20 2 2 4
xx
xx
xy
xxxy
Следовательно, две точки
33
12
0;0 , 2; 4MM
Находим частные производные второго порядка
222
22
12 ; 6 ; 6
zzz
AxB Cy
xxyy
Для точки
1
0;0M
222
22
12 0 0; 6; 6 0 0
zzz
ABC
xxyy
2
2
00 6 36 0AC B
экстремума нет
Для точки
33
2
2; 4M
222
33
22
12 2; 6; 6 4
zzz
ABC
xxyy
2
2
33
12 2 6 4 6 144 36 108 0AC B
и
0A
точка
33
2
2; 4M
является точкой минимума
6. Исследовать на экстремум функцию
22
5zx y
при условии
1xy
