1
БИЛЕТ 1
1. Дать определение открытой окрестности и открытого множества в
n
R
.
Откры
тое мно
жество — это множество, каждый элемент которого входит в
него вместе с некоторой окрестностью (в метрических пространствах и, в
частности, на числовой прямой).
Открытая окрестность для точки или множества — открытое множество,
содержащее данную точку или данное множество.
2. Записать формулу для вычисления частных производных неявной
функции
,zxy
, заданной уравнением
,, 0Fxyz
Если функция
,,Fxyz
дифференцируема по переменным x,y,z в некоторой
пространственной области D и
,, 0
z
Fxyz
, то уравнение
,, 0Fxyz
определяет однозначную неявную функцию
,zxy
, также
дифференцируемую
,,
,,
,, ,,
y
x
zz
Fxyz
Fxyz
zz
xFxyz yFxyz
3. Сформулировать необходимое условие экстремума ФНП
Если функция
,fxy
дифференцируема в точке
00
,xy
и имеет экстремум
в этой точке, то ее дифференциал равен нулю:
00
00
00
0
0
0
x
y
fxy
df x y
fxy
4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
333
5xyz xyz
в точке
2;1;1
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
333
2
2
2
2
2
2
,, 5
35
3 2 5 1 1 12 5 7
35
3 1 5 2 1 3 10 7
35
3 1 5 2 1 3 10 7
M
M
M
Fxyz x y z xyz
Fx x yz
Fx
Fy y xz
Fy
Fz z xy
Fz
Уравнение касательной плоскости:
2
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
0
xy z
xyz xyz
xyz
FxxFyyFzz
727 17 10
7770
0
xyz
xyz
xyz
Уравнение нормали:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
xz
y
xyz xyz
xyz
xx yy zz
FF
F
211
777
xyz
5. Исследовать на экстремум функцию
32
42 3zy xyx
Решение:
Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условием
существования экстремума
32
2
32 2
42 3220
220
12 2 0
42 31220
x
y
z
yxyx yx
yx
x
z
yx
yxyx yx
y
Решим данную систему
2
2
12
12
220
12 2 0
2 12 0
216 0
1
0
6
1
0
6
yx
yx
yy
yy
yy
xx
Следовательно, две точки
12
11
0;0 , ;
66
MM
22 2
22
2; 2; 24
zz z
AB Cy
xxyy
Для точки
1
0;0M
22 2
22
2; 2; 24 0 0
zz z
AB C
xxyy
22
20 2 4 0AC B
не является точкой экстремума
3
Для точки
2
11
;
66
M
22 2
22
1
2; 2; 24 4
6
zz z
AB C
xxyy
22
24 2 8 4 4 0AC B
и
0A
точка
2
11
;
66
M
является точкой
минимума
6. Исследовать на экстремум функцию
11
z
xy
при условии
22
111
4xy
