4
БИЛЕТ 2
1. Дать определение предельной точки, граничной точки множества и
замкнутого множества в
n
R
.
2. Записать формулу для вычисления производной ФНП по направлению.
Для функции двух переменных
cos cos
A
A
zz z
ax y
Для функции трех переменных
cos cos cos
AA
A
uu u u
ax y z
3. Сформулировать достаточное условие экстремума ФНП
Пусть функция нескольких переменных f: R
n
→ R определена в окрестности
U(a) точки a, дважды непрерывно дифференцируема в U(a) и df(a) = 0. Тогда:
1)если квадратичная форма d
2
f(a) в точке a положительно определенная, то в
этой точке функция f(x) имеет строгий локальный минимум;
2)если квадратичная форма d
2
f(a) в точке a отрицательно определенная, то в
этой точке функция f(x) имеет строгий локальный максимум;
3)если квадратичная форма d
2
f(a) в точке a знакопеременная, то в этой точке
функция f(x) не имеет экстремума.
Или
Пусть функция f(x, y) определена в окрестности U(a, b) точки P (a, b), дважды
непрерывно дифференцируема в U(a, b) и df(a, b) = 0. Тогда:
1) если A > 0 и AC − B
2
> 0, то в точке P (a, b) функция f(x, y) имеет строгий
локальный минимум;
2)если A < 0 и AC − B
2
> 0, то в точке P функция f(x, y) имеет строгий
локальный максимум;
3)если AC − B
2
< 0, то функция f(x, y) не имеет в точке P экстремума.
где
22 2
22
;;
zz z
AB C
xxyy
4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
ln
x
zy
z
в точке
1;1;1
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
5
,, ln ln ln
11
1
1
11
11
112
1
M
M
M
x
Fxyz y z y x z z
z
Fx Fx
x
Fy Fy
Fz Fz
z
Уравнение касательной плоскости:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
0
xy z
xyz xyz
xyz
FxxFyyFzz
1111210
11220
20
xy z
xy z
xy z
Уравнение нормали:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
xz
y
xyz xyz
xyz
xx yy zz
FF
F
111
11 2
xyz
5. Исследовать на экстремум функцию
22
11 16 6 60 44zxxyyxy
Решение:
Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условием
существования экстремума
22
22
11 16 6 60 44 22 16 60 0
22 16 60 0
16 12 44 0
11 16 6 60 44 16 12 44 0
x
y
z
xxyyxy xy
xy
x
z
xy
xxyyxy xy
y
Решим данную систему
22 16 60 0 11 8 30
16 12 44 0 4 3 11
44 32 120
44 33 121
1
1
2
xy xy
xy xy
xy
xy
y
y
x
Следовательно, одна точка
2; 1M
222
22
22 ; 16 ; 12
zzz
AB C
xxyy
Для точки
2; 1M
6
22
22 12 16 264 256 8 0AC B
и
0A
точка
2; 1M
является точкой максимума
6. Исследовать на экстремум функцию
22
4910zx y
при условии
3
2
xy
