7
БИЛЕТ 3
1. Дать определение ограниченного и связного множества в R
n
2. Перечислить основные свойства градиента ФНП
Свойства градиента:
· Градиент направлен по нормали к поверхности z=ƒ(х; у) в точке М
0
.
· Градиент направлен в сторону наибольшего возрастания функции и
равен по величине мгновенной скорости возрастания функции (то есть
производной по этому направлению).
· Производная по направлению вектора, перпендикулярного к
вектору , равна нулю.
3. Сформулировать необходимые условия условного экстремума ФНП
Метод множителей Лагранжа состоит в том, что для отыскания
условного экстремума составляют функцию
Лагранжа: F(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y) (параметр λ называют множителем
Лагранжа). Необходимые условия экстремума задаются системой
уравнений, из которой определяются стационарные точки:
.
Или составляем функцию Лагранжа:
,, , ,Lxy zxy xy
Необходимое условие условного экстремума:
,, 0
,, 0
,, 0
x
y
Lxy
Lxy
Lxy
4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
0
xz
xy e
в точке
1
5; ; 0
5
Решение:
8
Найдем частные производные первого порядка:
50
50
,,
11
0
55
5
55
xz
xz
M
M
xz
M
Fxyz xy e
Fx y e z Fx e
Fy x Fy
Fz e x Fz e
Уравнение касательной плоскости:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
0
xy z
xyz xyz
xyz
FxxFyyFzz
11
55 5 0 0
55
1
15 15 0
5
1
5520
5
xy z
xyz
xyz
Уравнение нормали:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
xz
y
xyz xyz
xyz
xx yy zz
FF
F
1
50
5
1
55
5
y
xz
5. Исследовать на экстремум функцию
33
2zx y xy
Решение:
Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условием
существования экстремума
33 2
2
2
33 2
23 0
30
30
23 0
x
y
z
xyxy xy
xy
x
z
yx
xyxy yx
y
Решим данную систему
9
2
2
2
2
2
4
3
3
1
2
2
2
12
30
3
30
33 0
27 0
27 1 0
0 27 1 0
1
3
11
30 3
33
xy
yx
yx
xx
xx
xx
xx
x
yy
Следовательно, две точки
12
11
0;0 , ;
33
MM
222
22
6; 1; 6
zzz
AxB C y
xxyy
Для точки
1
0;0M
222
22
60 0; 1; 60 0
zzz
ABC
xxyy
22
00 1 1 0AC B
не является точкой экстремума
Для точки
2
11
;
33
M
222
22
11
62; 1; 62
33
zzz
ABC
xxyy
22
2214130AC B
и
0A
точка
2
11
;
33
M
является точкой максимума
6. Исследовать на экстремум функцию
x
ze y
при условии
5yx
Решение:
Составляем функцию Лагранжа:
,, 5
x
Lxy e y y x
Находим частные производные, приравниваем их к нулю, находим точки
подозрительные на локальный экстремум:
0
0
10 5
1
50
x
x
y
Le
x
Ly
Lyx
10
Находим вторые производные:
;0; 0
x
xx xy yy
LeL L
Исследуем в стационарной точке второй дифференциал функции
Лагранжа
1
Составим матрицу:
0011
110000100 10
100
xy
xxxxy
yxyyy
LL
LL
следовательно, точка (0;5)
является точкой условного минимума.
