11
БИЛЕТ 4
1. Дать определение предела ФНП по множеству и непрерывной ФНП
2. Записать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
,, 0Fxyz
в точке
000
;;xyz
Уравнение касательной плоскости:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
0
xy z
xyz xyz
xyz
FxxFyyFzz


Уравнение нормали:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
xz
y
xyz xyz
xyz
xx yy zz
FF
F



3. Сформулировать достаточное условие условного экстремума
Если в стационарной точке d
2
F>0, то функция z=f(x,y) имеет в данной
точке условный минимум, если же d
2
F<0, то условный максимум, где
d
2
F=F′′
xx
dx
2
+2F′′
xy
dxdy+F′′
yy
dy
2
или
Из уравнения связи получаем: φ′
x
dx+φ′
y
dy=0,
x
y
dy dx
, поэтому в любой
стационарной точке имеем:
12
22 22
2
2
22
2
(( ) ( )
22
)
()
2
x
xx xy yy xx xy
y
x
yy y xx x y xy x yy
yy
dF F dx F dxdy F dy F dx F dx dx
dx
Fdx F F F



    




  




Второй сомножитель (расположенный в скобке) можно представить в такой
форме:
Красным цветом выделены элементы определителя, который является
гессианом функции Лагранжа. Если H>0, то d
2
F<0, что указывает на
условный максимум. Аналогично, при H<0 имеем d
2
F>0, т.е. имеем условный
минимум функции z=f(x,y).
4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
323
0zyzxyx
в точке
1; 0;1
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
Уравнение касательной плоскости:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
0
xy z
xyz xyz
xyz
FxxFyyFzz


311 0310
33 330
330
xy z
xyz
xy z



Уравнение нормали:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
xz
y
xyz xyz
xyz
xx yy zz
FF
F



101
31 3
xy z

5. Исследовать на экстремум функцию
3ln 4 lnzxyxyxy
13
Решение:
Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условием
существования экстремума
33
3ln 4ln 1 0 1 0
44
3ln 4ln 1 0 1 0
x
y
z
xyxyxy y y
xxx
z
xyxyxy x x
yyy








Решим данную систему
2
2
22
12
12
3
10
33
1
4
10
4
10
3
4
10
3
43 3
0
3
230, 3
4 2 4 1 3 4 12 16
24 24
13
22
33
12 1 2
13
y
x
x
y
xx
x
y
x
x
x
x
x
x
xxx x
x
xx x
D b ac
xx
yy







 


Следовательно, две точки
12
1; 2 , 3; 2MM
22 2
22 22
34
;1;
zzz
AB C
xx xy yy



Для точки
1
1; 2M
222
22 2 2
34
3; 1; 1
12
zzz
ABC
xxyy



2
2
31 1 3120AC B
и
0A
точка
1
1; 2M
является точкой максимума
Для точки
2
11
;
33
M




222
22
22
31 4
;1; 1
3
32
zzz
ABC
xxyy
14
2
2
112
11 1 0
333
AC B
не является точкой максимума
6. Исследовать на экстремум функцию
zxy
при условии
22
6xy