15
БИЛЕТ 5
1. Дать определение частной производной ФНП в точке
2. Записать формулы для вычисления частных производных сложной
функции вида
,, ,zfuxyvxy
zfufv
xuxvx
zfufv
yuyvy
16
3. Сформулировать теорему о связи непрерывности и
дифференцируемости ФНП
4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
3
z
ezxy
в точке
2;1; 0
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
0
,, 3
1
2
110
z
M
M
z
M
Fxyz e z xy
Fx y Fx
Fy x Fy
Fz e Fz e
Уравнение касательной плоскости:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
0
xy z
xyz xyz
xyz
FxxFyyFzz
1221000
22 20
240
xyz
xy
xy
Уравнение нормали:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
xz
y
xyz xyz
xyz
xx yy zz
FF
F
210
120
xyz
5. Исследовать на экстремум функцию
2
6zyxxy y
Решение:
Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условием
существования экстремума
17
2
2
610
10
2
2
6260
260
x
y
zy
y
yx x y y
x
x
x
z
yx x y y x y
xy
y
Решим данную систему
10
2
2, 0
260
22 6 0
36
2
4
24 4
y
x
yxx
xy
xx
x
x
x
y
Следовательно, одна точка
4; 4M
Находим частные производные второго порядка
222
22
3
1
;;2
2
4
zy z z
ABC
xxyy
x
x
Для точки
4; 4M
222
22
3
41 11
;;2
84
24
44
zzz
ABC
xxyy
2
2
11113
20
8441616
AC B
и
0A
точка
4; 4M
является точкой максимума
6. Исследовать на экстремум функцию
232zx y
при условии
22
1xy
Решение:
Составляем функцию Лагранжа:
22
,, 2 3 2 1Lxy x y x y
Находим частные производные, приравниваем их к нулю, находим точки
подозрительные на локальный экстремум:
12
12
22
12
22 0
22
32 0 3 3
0, 5 0, 5
10
x
y
Lx
xx
Ly y y
Lxy
Получили две точки
Находим вторые производные:
18
2; 0; 2
xx xy yy
LLL
Исследуем в стационарной точке второй дифференциал функции
Лагранжа
0, 5
Составим матрицу:
00423
41 0 0001216040
23 0 1
xy
xxxxy
yxyyy
LL
LL
следовательно, точка
2; 3
является точкой условного максимума.
0, 5
Составим матрицу:
00423
4100001216040
23 0 1
xy
xxxxy
yxyyy
LL
LL
следовательно, точка
2; 3
является точкой условного минимума.
