19
БИЛЕТ 6
1. Дать определение дифференцируемой ФНП в точке.
2. Записать формулы для вычисления производной сложной функции
вида
,,ufxtytzt
du u dx u dy u dz
dt x dt y dt z dt
3. Сформулировать теорему о необходимых условиях
дифференцируемости ФНП
Если функция
x,zf y
дифференцируема в точке М(х,у) то она
непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные
4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
22
2320xyz xz xyz
в точке
1; 0; 1
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
22
22
22 2 2
,, 2 3 2
243 21014113014
3113112
23 10213102
M
M
M
Fxyz xyz xz xyz
Fx xyz xz yz Fx
Fy x z xz Fy
Fz x y x xy Fz
Уравнение касательной плоскости:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
0
xy z
xyz xyz
xyz
FxxFyyFzz
412 0210
442220
42260
xy z
xyz
xyz
Уравнение нормали:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
xz
y
xyz xyz
xyz
xx yy zz
FF
F
101
42 2
xy z
5. Исследовать на экстремум функцию
22
21217 2zx xy y y
20
Решение:
Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условием
существования экстремума
22
22
21217 2 4120
412 0
12 34 2 0
21217 2 123420
x
y
z
xxyyy xy
xy
x
z
xy
xxyyy xy
y
Решим данную систему
412 0
12 34 2 0
xy
xy
30
6 17 1 0
6 18 0
6 17 1 0
10
1
331 3
xy
xy
xy
xy
y
y
xy
Следовательно, одна точка
3; 1M
22 2
22
4; 12; 34
zz z
AB C
xxy y
Для точки
3; 1M
2
2
434 12 136 144 0AC B
не является точкой экстремума
6. Исследовать на экстремум функцию
2
2
4
4
y
zx
при условии
2xy
