21
БИЛЕТ 7
1. Дать определение (полного) первого дифференциала ФНП.
2. Записать формулы для вычисления частных производных неявной
функции
,zxy
, заданной уравнением
,, 0Fxyz
Если функция
,,Fxyz
дифференцируема по переменным x,y,z в некоторой
пространственной области D и
,, 0
z
Fxyz
, то уравнение
,, 0Fxyz
определяет однозначную неявную функцию
,zxy
, также
дифференцируемую
,,
,,
,, ,,
y
x
zz
Fxyz
Fxyz
zz
xFxyz yFxyz
3. Сформулировать теорему о достаточных условиях
дифференцируемости ФНП
4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
42
2zx xyxyx
в точке
1; 0; 2
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
22
42
33
22
,, 2
44 1 41410114
22111
11
M
M
M
Fxyz x xy xy x z
Fx x xy x Fx
Fy x x Fy
Fz Fz
Уравнение касательной плоскости:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
0
xy z
xyz xyz
xyz
FxxFyyFzz
4110120
44 20
420
xy z
xyz
xyz
Уравнение нормали:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
xz
y
xyz xyz
xyz
xx yy zz
FF
F
102
41 1
xy z
5. Исследовать на экстремум функцию
50 20
,, 0zxy xy
xy
Решение:
Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условием
существования экстремума
2
2
2
2
50 20 50
50
0
0
20
0
50 20 20
0
x
y
z
xy y
y
xxy x
x
x
z
xy x
y
yxy y
Решим данную систему
2
2
50
0
20
0
y
x
x
y
23
2
2
2
4
2
2
3
1
3
3
2
2
50
0
50
,0
20
0
20 20
00
2500
50
20
10
2500
0
20
1 0 125 5
2500
50 50
2
5 25
y
x
yxy
x
x
y
x
xx
x
x
x
x не удов
x
xx
y
Следовательно, одна точка
5; 2M
222
23 23
100 40
;1;
zzz
ABC
xx xy yy
Для точки
5; 2M
222
23 23
100 100 4 40 40
0,8; 1; 5
51255 2 8
zzz
ABC
xxyy
22
0,8 5 1 4 1 3 0AC B
и
0A
является точкой минимума
6. Исследовать на экстремум функцию
2
2zyx
при условии
2
21yx
