24
БИЛЕТ 8
1. Дать определение второго дифференциала ФНП и матрицы Гессе.
Второй дифференциал является квадратичной формой от
переменных . Как известно из курса алгебры, квадратичной форме
сопоставляется матрица квадратичной формы, в рассматриваемом случае
имеющая вид
22 2
2
112 1
22 2
2
12 2 2
22 2
2
12
...
...
....
...
n
n
nn n
zz z
xxx xx
zz z
xx x xx
zz z
xx xx x
где все производные вычислены в рассматриваемой точке и называемая
иногда матрицей Гессе.
2. Записать формулу для вычисления производной ФНП по направлению.
Для функции двух переменных
cos cos
A
A
zz z
ax y
Для функции трех переменных
cos cos cos
AA
A
uu u u
ax y z
25
3. Сформулировать теорему о достаточных условиях
дифференцируемости ФНП
4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
43 2 3
34 4 4 10xyzxyzxz
в точке
1;1;1
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
43 2 3
323 3 23
22 2 2
32 3 2
,, 3 4 4 4 1
12 4 4 12 1 4 1 1 4 1 12
12 4 12 1 1 4 1 1 8
48 12 41811112118
M
M
M
Fxyz x yz xyz xz
Fx x yz z Fx
Fy y z xz Fy
Fz y xyz xz Fz
Уравнение касательной плоскости:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
0
xy z
xyz xyz
xyz
FxxFyyFzz
12 1 8 1 8 1 0
12 12 8 8 8 8 0
12 8 8 4 0
xyz
xyz
xyz
Уравнение нормали:
000 000
000
000
(;;) (;;)
(;;)
xz
y
xyz xyz
xyz
xx yy zz
FF
F
111
12 8 8
xyz
5. Исследовать на экстремум функцию
22
36zx xyy x y
Решение:
Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условием
существования экстремума
26
22
22
36 2 30
230
260
36 260
x
y
z
xxyy xy xy
xy
x
z
xy
xxyy xy x y
y
Решим данную систему
230
260
42 6
26
30
0
3
xy
xy
xy
xy
x
x
y
Следовательно, одна точка
0;3M
22 2
22
2; 1; 2
zz z
AB C
xxyy
22
22 1 4 1 3 0AC B
и
0A
точка
0;3M
является точкой минимума
6. Исследовать на экстремум функцию
22
zx y
при условии
22
24xy
