ЛИНАЛ_сложные_вопросы
Да, я понял — ты хочешь ответы на вопросы повышенной сложности из списка,
который ты отправлял ранее:
Теоретические вопросы повышенной сложности
Я подготовлю подробные ответы с доказательствами и выводами, основываясь на
информации из файла
FNP
-
08
-
объединены
.
pdf
.
1. Доказать теорему о необходимых условиях
дифференцируемости ФНП
Формулировка:
Если функция
f
(
x
1
, … ,
x
n
)
дифференцируема в точке
a
= (
a
1
, … ,
a
n
)
, то:
1. Доказать теорему о необходимых условиях дифференцируемости ФНП.
2. Доказать теорему о достаточных условиях дифференцируемости ФНП.
3. Доказать теорему о независимости смешанных частных производных от порядка
дифференцирования (для вторых производных функции двух переменных).
4. Вывести формулу для дифференцирования сложной ФНП (можно ограничиться
случаем функции вида z = f(x(t), y(t))).
5. Сформулировать теорему о неявной функции. Вывести формулы для частных
производных неявной функции.
6. Вывести уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением F(x,
y, z) = 0.
Все частные производные
∂
f
∂
x
i
(
a
)
существуют,
И дифференциал
df
(
a
)
выражается через них как:
Доказательство:
По определению дифференцируемости:
f
(
a
+ Δ
x
) −
f
(
a
) =
A
1
Δ
x
1
+ ⋯ +
A
n
Δ
x
n
+
α
(Δ
x
)∥Δ
x
∥,
где
α
(Δ
x
) → 0
при
Δ
x
→ 0
Рассмотрим приращение только по одной переменной
x
i
, т.е. положим
Δ
x
j
= 0
при
j
≠
i
.
Тогда:
f
(
a
1
, … ,
a
i
+ Δ
x
i
, … ,
a
n
) −
f
(
a
) =
A
i
Δ
x
i
+
α
(Δ
x
i
)|Δ
x
i
|
Поделим обе части на
Δ
x
i
:
f
(
a
1
, … ,
a
i
+ Δ
x
i
, … ,
a
n
) −
f
(
a
)
Δ
x
i
=
A
i
+
α
(Δ
x
i
)
Перейдём к пределу при
Δ
x
i
→ 0
:
lim
Δ
x
i
→0
f
(
a
1
, … ,
a
i
+ Δ
x
i
, … ,
a
n
) −
f
(
a
)
Δ
x
i
=
A
i
Значит, существует частная производная
∂
f
∂
x
i
(
a
) =
A
i
Следовательно, все частные производные существуют и равны коэффициентам
A
i
.
Отсюда:
df
(
a
) =
n
∑
i
=1
∂
f
∂
x
i
(
a
)
dx
i
✅
Что и требовалось доказать.
2. Доказать теорему о достаточных условиях
дифференцируемости ФНП
Формулировка:
Если функция
f
(
x
1
, … ,
x
n
)
имеет все частные производные в окрестности точки
a
, и эти
производные непрерывны в самой точке
a
, то
f
дифференцируема в точке
a
.
Доказательство:
df
(
a
) =
n
∑
i
=1
∂
f
∂
x
i
(
a
)
dx
i
Рассмотрим случай
n
= 2
для простоты: пусть
f
(
x
,
y
)
, и пусть
f
′
x
,
f
′
y
существуют в
окрестности точки
(
x
0
,
y
0
)
и непрерывны в этой точке.
Представим приращение функции:
Δ
f
=
f
(
x
0
+
h
,
y
0
+
k
) −
f
(
x
0
,
y
0
)
Разложим его так:
Δ
f
= [
f
(
x
0
+
h
,
y
0
+
k
) −
f
(
x
0
,
y
0
+
k
)] + [
f
(
x
0
,
y
0
+
k
) −
f
(
x
0
,
y
0
)]
Применим теорему Лагранжа к каждому слагаемому:
Тогда:
Δ
f
=
f
′
x
(
ξ
,
y
0
+
k
) ⋅
h
+
f
′
y
(
x
0
,
η
) ⋅
k
Используем непрерывность частных производных:
Обозначим:
Δ
f
=
f
′
x
(
x
0
,
y
0
)
h
+
f
′
y
(
x
0
,
y
0
)
k
+
ε
(
h
,
k
)
√
h
2
+
k
2
где
ε
(
h
,
k
) → 0
при
(
h
,
k
) → 0
Это и есть условие дифференцируемости.
✅
Что и требовалось доказать.
3. Доказать теорему о независимости
смешанных частных производных от порядка
дифференцирования (для вторых
производных функции двух переменных)
Формулировка:
Первое:
f
(
x
0
+
h
,
y
0
+
k
) −
f
(
x
0
,
y
0
+
k
) =
f
′
x
(
ξ
,
y
0
+
k
) ⋅
h
, где
ξ
∈ (
x
0
,
x
0
+
h
)
Второе:
f
(
x
0
,
y
0
+
k
) −
f
(
x
0
,
y
0
) =
f
′
y
(
x
0
,
η
) ⋅
k
, где
η
∈ (
y
0
,
y
0
+
k
)
При
h
,
k
→ 0
:
f
′
x
(
ξ
,
y
0
+
k
) →
f
′
x
(
x
0
,
y
0
)
Аналогично
f
′
y
(
x
0
,
η
) →
f
′
y
(
x
0
,
y
0
)
Если функция
f
(
x
,
y
)
имеет непрерывные смешанные частные производные второго
порядка
f
′′
xy
и
f
′′
yx
в окрестности точки
(
x
0
,
y
0
)
, то:
f
′′
xy
(
x
0
,
y
0
) =
f
′′
yx
(
x
0
,
y
0
)
Доказательство:
Рассмотрим разностное отношение:
Δ =
f
(
x
+
h
,
y
+
k
) −
f
(
x
+
h
,
y
) −
f
(
x
,
y
+
k
) +
f
(
x
,
y
)
Рассмотрим два способа представления
Δ
:
1. Применяем среднее значение дважды:
Δ = [
f
(
x
+
h
,
y
+
k
) −
f
(
x
+
h
,
y
)] − [
f
(
x
,
y
+
k
) −
f
(
x
,
y
)]
=
∫
y
+
k
y
(
f
′
y
(
x
+
h
,
t
) −
f
′
y
(
x
,
t
)
)
dt
=
∫
y
+
k
y
∫
x
+
h
x
f
′′
xy
(
s
,
t
)
dsdt
2. Аналогично:
Δ =
∫
x
+
h
x
∫
y
+
k
y
f
′′
yx
(
s
,
t
)
dtds
Поскольку
f
′′
xy
,
f
′′
yx
непрерывны, интегралы совпадают, значит:
∫ ∫
f
′′
xy
(
s
,
t
)
dsdt
=
∫ ∫
f
′′
yx
(
s
,
t
)
dsdt
Отсюда следует, что:
f
′′
xy
(
x
,
y
) =
f
′′
yx
(
x
,
y
)
✅
Что и требовалось доказать.
4. Вывести формулу для дифференцирования
сложной ФНП (случай z = f(x(t), y(t)))
Формулировка:
Если
z
=
f
(
x
(
t
),
y
(
t
))
, где
x
(
t
),
y
(
t
)
— дифференцируемые функции, то:
dz
dt
=
∂
f
∂
x
⋅
dx
dt
+
∂
f
∂
y
⋅
dy
dt
Вывод:
Используем определение полного дифференциала:
dz
=
∂
f
∂
x
dx
+
∂
f
∂
y
dy
Также:
dx
=
dx
dt
dt
,
dy
=
dy
dt
dt
Подставляем:
dz
=
(
∂
f
∂
x
⋅
dx
dt
+
∂
f
∂
y
⋅
dy
dt
)
dt
⇒
dz
dt
=
∂
f
∂
x
⋅
dx
dt
+
∂
f
∂
y
⋅
dy
dt
✅
Формула выведена.
5. Сформулировать теорему о неявной
функции. Вывести формулы для частных
производных неявной функции
Формулировка теоремы:
Пусть
F
(
x
,
y
)
дифференцируема в окрестности точки
(
x
0
,
y
0
)
,
F
(
x
0
,
y
0
) = 0
, и
F
′
y
(
x
0
,
y
0
) ≠ 0
.
Тогда в некоторой окрестности
x
0
существует единственная дифференцируемая функция
y
=
φ
(
x
)
, такая что:
F
(
x
,
φ
(
x
)) = 0
Формулы для производной:
Дифференцируем тождество
F
(
x
,
φ
(
x
)) = 0
по
x
:
F
′
x
+
F
′
y
⋅
φ
′
(
x
) = 0 ⇒
φ
′
(
x
) = −
F
′
x
F
′
y
✅
Формула выведена.
6. Вывести уравнение касательной плоскости
к поверхности F(x, y, z) = 0
Формулировка:
Пусть поверхность задана неявно:
F
(
x
,
y
,
z
) = 0
, и
∇
F
(
x
0
,
y
0
,
z
0
) ≠ 0
. Тогда уравнение
касательной плоскости в точке
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
:
F
′
x
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)(
x
−
x
0
) +
F
′
y
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)(
y
−
y
0
) +
F
′
z
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)(
z
−
z
0
) = 0
Вывод:
Рассмотрим функцию
F
(
x
,
y
,
z
)
, и пусть она дифференцируема. Условие
F
(
x
,
y
,
z
) = 0
задаёт поверхность. Направление нормали к поверхности — это
∇
F
.
Уравнение плоскости с нормалью
→
n
= (
A
,
B
,
C
)
, проходящей через точку
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
:
A
(
x
−
x
0
) +
B
(
y
−
y
0
) +
C
(
z
−
z
0
) = 0
Подставляем
A
=
F
′
x
,
B
=
F
′
y
,
C
=
F
′
z
, получаем уравнение касательной плоскости:
F
′
x
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)(
x
−
x
0
) +
F
′
y
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)(
y
−
y
0
) +
F
′
z
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)(
z
−
z
0
) = 0
✅
Формула выведена.
Хочешь, я оформлю всё это в формате PDF или Word?
