Òåîðèÿ

ÊÈÐèÒÔÊÏ

Êîâàëåâ Àðò¼ì, ÈÓ3-32Á

Ñîäåðæàíèå

Òåìà 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 15

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 19

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 21

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 23

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 25

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 27

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 28

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 29

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 30

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 31

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 33

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 34

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 35

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 37

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 38

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 39

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 40

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 41

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 42

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 43

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 44

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 45

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 46

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 47

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 48

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 49

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåìà 50

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Òåìà 1.

Îïðåäåëåíèå äâîéíîãî èíòåãðàëà. Ñâîéñòâà äâîéíîãî èíòåãðàëà.

Îïðåäåëåíèå.

Ïóñòü

- çàìêíóòàÿ îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü íà ïëîñêîñòè, à

f(x, y)

- ôóíêöèÿ, îïðå-

äåë¼ííàÿ â



Çàìêíóòîå ìíîæåñòâî

- ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå ñâîè ïðåäåëüíûå òî÷êè.



Ïðåäåëüíàÿ òî÷êà

- òàêàÿ òî÷êà, ÷òî ëþáàÿ å¼ îêðåñòíîñòü ñîäåðæèò òî÷êè çàäàííîãî ìíî-

æåñòâà



Îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî

- ìíîæåñòâî, öåëèêîì ëåæàùåå â êðóãå èëè øàðå êîíå÷íîãî ðàäè-

óñà.



Ïóñòü

- ìíîæåñòâî íà ïëîñêîñòè.

∗

(D) = inf

D⊆T

S(T )

- òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü ïëîùàäåé

ìíîãîóãîëüíèêîâ

, ñîäåðæàùèõ

∗

(D) = sup

D⊇T

S(T )

- òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü ïëîùàäåé

ìíîãîóãîëüíèêîâ

, ñîäåðæàùèõñÿ â

. Ìíîæåñòâî

íàçûâàåòñÿ

èçìåðèìûì ïî Æîðäàíó

åñëè

∗

(D) = S

∗

(D) = S(D),

ãäå

S(D)

- ìåðà ìíîæåñòâà

èëè ïëîùàäü



Âíóòðåííÿÿ òî÷êà ìíîæåñòâà

- òî÷êà, èìåþùàÿ

-îêðåñòíîñòü, öåëèêîì ëåæàùóþ â äàííîì

ìíîæåñòâå.



Âíóòðåííîñòü ìíîæåñòâà (

Int D

)

- ìíîæåñòâî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷åê.

Îïðåäåëåíèå

(Ðàçáèåíèå)

Ïóñòü

 çàìêíóòàÿ îãðàíè÷åííàÿ èçìåðèìàÿ îáëàñòü íà ïëîñêîñòè.

Ðàçáèåíèåì

τ = {D

, . . . , D

}

îáëàñòè

íàçûâàåòñÿ íàáîð çàìêíóòûõ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ

, . . . , D

óäîâëåòâîðÿþùèõ ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:

i=1

= D

Int D

∩ Int D

= ∅ ∀i, j, i = j

Îïðåäåëåíèå

(Äèàìåòð ìíîæåñòâà)

Äèàìåòðîì

d(D)

ìíîæåñòâà

íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà

d(D) = sup

A,B∈D

ρ(A, B),

ãäå

ρ(A, B)

- ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè

Îïðåäåëåíèå

(Äèàìåòð ðàçáèåíèÿ)

Äèàìåòðîì ðàçáèåíèÿ

íàçûâàåòñÿ ÷èñëî

d(τ) = max

d(D

Îïðåäåëåíèå

(Èíòåãðàëüíàÿ ñóììà)

Ïóñòü

τ = {D

, . . . , D

}

- ðàçáèåíèå îáëàñòè

, à

= {(x

, y

) ∈

| i = 1, . . . , n}

- íàáîð òî÷åê, ñîãëàñîâàííûé ñ ðàçáèåíèåì

Èíòåãðàëüíîé ñóììîé

äëÿ ôóíêöèè

f(x, y)

, ñîîòâåòñòâóþùåé ðàçáèåíèþ

è âûáîðó òî÷åê

, íàçûâàåòñÿ ÷èñëî

τ,ξ

i=1

f(x

, y

) S(D

S(D)

 ïëîùàäü ìíîæåñòâà

Îïðåäåëåíèå

(Äâîéíîé èíòåãðàë)

Åñëè äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçáèåíèé

{τ

}

, óäîâëåòâî-

ðÿþùèõ óñëîâèþ

d(τ

) → 0

ïðè

i → ∞

è äëÿ ëþáîãî íàáîðà òî÷åê

ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë èíòåãðàëüíûõ ñóìì

I = lim

i→∞

,ξ

è ýòîò ïðåäåë íå çàâèñèò îò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçáèåíèé

{τ

}

è íàáîðîâ òî÷åê

, òî ôóíêöèÿ

f(x, y)

íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé â îáëàñòè

, à ÷èñëî

íàçûâàåòñÿ

äâîéíûì èíòåãðàëîì

îò

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

ôóíêöèè

f(x, y)

ïî îáëàñòè

è îáîçíà÷àåòñÿ

I =

f(x, y)dxdy

Îïðåäåëåíèå

(Ñâîéñòâà äâîéíîãî èíòåãðàëà)

1. Åñëè

 çàìêíóòàÿ îãðàíè÷åííàÿ èçìåðèìàÿ îáëàñòü, òî

dxdy = S(D)

Âûâîä.

Ïóñòü

f(x, y) ≡ 1

. Ñîñòàâèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó:

τ,ξ

i=1

1 · S(D

) =

i=1

S(D

) = S(D),

òîãäà

lim

i→∞

τ,ξ

= S(D) ⇔

dxdy = S(D)

Ëèíåéíîñòü.

Åñëè

f(x, y)

g(x, y)

èíòåãðèðóåìû â

, òî äëÿ ëþáûõ

α, β ∈ R

ôóíêöèÿ

αf(x, y) + βg(x, y)

òàêæå èíòåãðèðóåìà â

(αf + βg)dxdy = α

fdxdy + β

gdxdy

Âûâîä.

Ñîñòàâèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó äëÿ

αf(x, y) + βg(x, y)

τ,ξ

i=1

(αf(x

, y

)+βg(x

, y

))·S(D

) = α

i=1

f(x

, y

)+β

i=1

g(x

, y

) = αS

(τ

, ξ

)+βS

(τ

, ξ

)

Òàê êàê

f(x, y)

g(x, y)

èíòåãðèðóåìû, òî

f(x, y)dxdy = lim

i→∞

(τ

, ξ

)

g(x, y)dxdy = lim

i→∞

(τ

, ξ

)

Òîãäà

(αf + βg)dxdy = α lim

i→∞

(τ

, ξ

) + β lim

i→∞

(τ

, ξ

) = α

fdxdy + β

gdxdy

Àääèòèâíîñòü.

Åñëè

 çàìêíóòûå îãðàíè÷åííûå èçìåðèìûå îáëàñòè áåç îáùèõ âíóò-

ðåííèõ òî÷åê, è

f(x, y)

èíòåãðèðóåìà â

D = D

∪ D

, òî

fdxdy =

fdxdy +

fdxdy

Ìîíîòîííîñòü.

Åñëè

f(x, y)

g(x, y)

èíòåãðèðóåìû â

f(x, y) ≥ g(x, y)

äëÿ âñåõ

(x, y) ∈ D

òî

fdxdy ≥

gdxdy

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Òåîðåìà îá îöåíêå.

Åñëè

f(x, y)

g(x, y)

èíòåãðèðóåìû â

m ≤ f(x, y) ≤ M

äëÿ âñåõ

(x, y) ∈ D

, òî

m ·

g(x, y)dxdy ≤

f(x, y) · g(x, y)dxdy ≤ M ·

g(x, y)dxdy

Òåîðåìà îá îöåíêå ìîäóëÿ.

Åñëè

èíòåãðèðóåìà â

, òî

|f|

òàêæå èíòåãðèðóåìà â



f(x, y)dxdy



≤

|f(x, y)|dxdy

Òåîðåìà î ñðåäíåì çíà÷åíèè.

Åñëè

f(x, y)

íåïðåðûâíà â

, òî

∃(x

, y

) ∈ D

òàêàÿ, ÷òî

f(x, y)dxdy = f (x

, y

) · S(D)

Ñîõðàíåíèå èíòåãðàëîì çíàêà ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè

. Åñëè ôóíêöèÿ

f(x, y)

èíòå-

ãðèðóåìà â ÇÎÈÎ

f(x, y) ≥ 0

â îáëàñòè

, òî

f(x, y)dxdy ≥ 0

Åñëè, êðîìå òîãî,

f(x, y)

íåïðåðûâíà è îãðàíè÷åíà â

∃(x

, y

) ∈ D : f(x

, y

) > 0

, òî

f(x, y)dxdy > 0

Èíòåãðèðóåìîñòü êîìïîçèöèè èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé

. Åñëè

èíòåãðèðóåìû â

ÇÎÈÎ

, òî

f · g

òàêæå èíòåãðèðóåìà â

Åñëè, êðîìå òîãî,

∃ε > 0 : |g| ≥ ε

, òî

 èíòåãðèðóåìà â

10.

Î èíòåãðèðîâàíèè ïî ìíîæåñòâó ìåðû 0

. Åñëè

 ìíîæåñòâî ìåðû 0 (ò.å.

∀ε > 0 ∃T ⊃

D : S(T ) < ε

) è

f(x, y)

èíòåãðèðóåìà â

, òî

f(x, y)dxdy = 0

Òåìà 2.

Âû÷èñëåíèå äâîéíîãî èíòåãðàëà â äåêàðòîâîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.

Âûâîä.

Îñíîâíîé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ äâîéíûõ èíòåãðàëîâ  ñâåäåíèå èõ ê ïîâòîðíîìó èíòåãðàëó.

Âèäû ñòàíäàðòíûõ îáëàñòåé

à) Îáëàñòü

âèäà

a ≤ x ≤ b, ϕ

(x) ≤ y ≤ ϕ

(x)

, ãäå

, ϕ

 íåïðåðûâíûå ôóíêöèè.

f(x, y)dxdy =

(x)

f(x, y)dy

á) Îáëàñòü

âèäà

c ≤ y ≤ d, ψ

(y) ≤ x ≤ ψ

(y)

, ãäå

, ψ

 íåïðåðûâíûå ôóíêöèè.

f(x, y)dxdy =

(y)

f(x, y)dx

Ëþáóþ èçìåðèìóþ îáëàñòü ìîæíî ðàçáèòü íà êîíå÷íîå ÷èñëî ñòàíäàðòíûõ îáëàñòåé, äàëåå èñ-

ïîëüçóåòñÿ ñâîéñòâî àääèòèâíîñòè äâîéíîãî èíòåãðàëà.

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

×àñòíûé ñëó÷àé

Åñëè îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ  ïðÿìîóãîëüíèê

D = [a, b] × [c, d]

, òî

f(x, y)dxdy =

f(x, y)dy =

f(x, y)dx

Åñëè, êðîìå òîãî,

f(x, y) = g(x) · h(y)

, òî

f(x, y)dxdy =





g(x)dx









h(y)dy





Òåìà 3.

Òåîðåìà î çàìåíå ïåðåìåííûõ â äâîéíîì èíòåãðàëå. Âû÷èñëåíèå äâîéíîãî èíòåãðàëà â ïî-

ëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (ñ íàõîæäåíèåì ÿêîáèàíà).

Îïðåäåëåíèå

(Äèôôåîìîðôèçì)

Ïóñòü

- îòêðûòûå îáëàñòè. Îòîáðàæåíèå

F : U → V

íàçûâà-

åòñÿ äèôôåîìîðôèçìîì, åñëè

- áèåêòèâíî

íåïðåðûâíî â

−1

íåïðåðûâíî â

Îïðåäåëåíèå

(ßêîáèàí)

Ìàòðèöåé ßêîáè

îòîáðàæåíèÿ

íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà âèäà







∂y

∂x

. . .

∂y

∂x

∂y

∂x

. . .

∂y

∂x







Òåîðåìà.

Ïóñòü:

1. Îòîáðàæåíèå

F :

(

x = x(u, v)

y = y(u, v)

ÿâëÿåòñÿ äèôôåîìîðôèçìîì îòêðûòîé îáëàñòè

íà îáëàñòü

D ⊂ D

 çàìêíóòàÿ îãðàíè÷åííàÿ èçìåðèìàÿ îáëàñòü, è å¼ îáðàç

D = F (D)

3. Ôóíêöèÿ

f(x, y)

èíòåãðèðóåìà â îáëàñòè

Òîãäà

f(x, y)dxdy =

f(x(u, v), y(u, v)) · |J|dudv

ãäå

J = det



∂x

∂u

∂x

∂v

∂y

∂u

∂y

∂v



 ÿêîáèàí ïðåîáðàçîâàíèÿ.

Âûâîä.

Ïåðåõîä ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì â äâîéíîì èíòåãðàëå

Ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò:

(

x = r cos φ

y = r sin φ

Âû÷èñëåíèå ÿêîáèàíà:

J = det

∂x

∂r

∂x

∂φ

∂y

∂r

∂y

∂φ

= det



cos φ −r sin φ

sin φ r cos φ



= r cos

φ − (−r sin

φ) = r

Ôîðìóëà çàìåíû:

f(x, y)dxdy =

′

f(r cos φ, r sin φ)rdrdφ

ãäå

′

 îáëàñòü â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ

(r, φ)

, ñîîòâåòñòâóþùàÿ îáëàñòè

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Äëÿ ñòàíäàðòíîé îáëàñòè

′

: α ≤ φ ≤ β, r

(φ) ≤ r ≤ r

(φ)

èíòåãðàë âû÷èñëÿåòñÿ êàê ïîâòîðíûé:

dφ

(φ)

f(r cos φ, r sin φ)rdr

Òåìà 4.

Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ äâîéíûõ èíòåãðàëîâ: âû÷èñëåíèå ìàññ (çàðÿäà) òîíêîé ïëàñòèíêè,

êîîðäèíàò öåíòðà òÿæåñòè, ñòàòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ, ìîìåíòîâ èíåðöèè.

Îòâåò.

Ìàññà òåëà (äëÿ öèëèíäðè÷åñêèõ òåë)

G = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D, φ

(x, y) ≤ z ≤ φ

(x, y)}

M = ρ(x, y)V (G) = ρ(x, y) ·

(φ

(x, y) − φ

(x, y))dxdy

Ñòàòè÷åñêèé ìîìåíò îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíûõ ïëîñêîñòåé

x · ρ(x, y)dxdy

y · ρ(x, y)dxdy

Êîîðäèíàòû öåíòðà òÿæåñòè

C(¯x, ¯y)

¯x =

¯y =

Ìîìåíòû èíåðöèè

+ y

) · ρ(x, y)dxdy

· ρ(x, y)dxdy

Òåìà 5.

Îïðåäåëåíèå òðîéíîãî èíòåãðàëà. Ñâîéñòâà òðîéíîãî èíòåãðàëà.

Îïðåäåëåíèå.

Ïóñòü

- çàìêíóòàÿ îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â ïðîñòðàíñòâå, à

f(x, y, z)

- ôóíêöèÿ,

îïðåäåë¼ííàÿ â



Çàìêíóòîå ìíîæåñòâî

- ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå ñâîè ïðåäåëüíûå òî÷êè.



Ïðåäåëüíàÿ òî÷êà

- òàêàÿ òî÷êà, ÷òî ëþáàÿ å¼ îêðåñòíîñòü ñîäåðæèò òî÷êè çàäàííîãî ìíî-

æåñòâà



Îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî

- ìíîæåñòâî, öåëèêîì ëåæàùåå â êðóãå èëè øàðå êîíå÷íîãî ðàäè-

óñà.



Ïóñòü

- ìíîæåñòâî íà ïëîñêîñòè.

∗

(G) = inf

G⊆T

V (T )

- òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü îáú¼ìîâ ìíî-

ãîóãîëüíèêîâ

, ñîäåðæàùèõ

∗

(G) = sup

G⊇T

V (T )

- òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü îáú¼ìîâ ìíî-

ãîóãîëüíèêîâ

, ñîäåðæàùèõñÿ â

. Ìíîæåñòâî

íàçûâàåòñÿ

èçìåðèìûì ïî Æîðäàíó

åñëè

∗

(G) = V

∗

(G) = V (G),

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

ãäå

V (G)

- ìåðà ìíîæåñòâà

èëè îáú¼ì



Âíóòðåííÿÿ òî÷êà ìíîæåñòâà

- òî÷êà, èìåþùàÿ

-îêðåñòíîñòü, öåëèêîì ëåæàùóþ â äàííîì

ìíîæåñòâå.



Âíóòðåííîñòü ìíîæåñòâà (

Int G

)

- ìíîæåñòâî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷åê.

Îïðåäåëåíèå

(Ðàçáèåíèå)

Ïóñòü

 çàìêíóòàÿ îãðàíè÷åííàÿ èçìåðèìàÿ îáëàñòü â ïðîñòðàíñòâå.

Ðàçáèåíèåì

τ = {G

, . . . , G

}

îáëàñòè

íàçûâàåòñÿ íàáîð çàìêíóòûõ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ

, . . . , G

óäîâëåòâîðÿþùèõ ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:

i=1

= G

Int G

∩ Int G

= ∅ ∀i, j, i = j

Îïðåäåëåíèå

(Äèàìåòð ìíîæåñòâà)

Äèàìåòðîì

d(G)

ìíîæåñòâà

íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà

d(G) = sup

A,B∈D

ρ(A, B),

ãäå

ρ(A, B)

- ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè

Îïðåäåëåíèå

(Äèàìåòð ðàçáèåíèÿ)

Äèàìåòðîì ðàçáèåíèÿ

íàçûâàåòñÿ ÷èñëî

d(τ) = max

d(G

Îïðåäåëåíèå

(Èíòåãðàëüíàÿ ñóììà)

Ïóñòü

τ = {G

, . . . , G

}

- ðàçáèåíèå îáëàñòè

, à

= {(x

, y

) ∈

| i = 1, . . . , n}

- íàáîð òî÷åê, ñîãëàñîâàííûé ñ ðàçáèåíèåì

Èíòåãðàëüíîé ñóììîé

äëÿ ôóíêöèè

f(x, y, z)

, ñîîòâåòñòâóþùåé ðàçáèåíèþ

è âûáîðó òî÷åê

, íàçûâàåòñÿ ÷èñëî

τ,ξ

i=1

f(x

, y

, z

) V (G

V (G)

 îáú¼ì ìíîæåñòâà

Îïðåäåëåíèå

(Òðîéíîé èíòåãðàë)

Åñëè äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçáèåíèé

{τ

}

, óäîâëåòâî-

ðÿþùèõ óñëîâèþ

d(τ

) → 0

ïðè

i → ∞

è äëÿ ëþáîãî íàáîðà òî÷åê

ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë èíòåãðàëüíûõ ñóìì

I = lim

i→∞

,ξ

è ýòîò ïðåäåë íå çàâèñèò îò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçáèåíèé

{τ

}

è íàáîðîâ òî÷åê

, òî ôóíêöèÿ

f(x, y, z)

íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé â îáëàñòè

, à ÷èñëî

íàçûâàåòñÿ

òðîéíûì èíòåãðàëîì

îò

ôóíêöèè

f(x, y, z)

ïî îáëàñòè

è îáîçíà÷àåòñÿ

I =

ZZZ

f(x, y, z)dxdydz

Îïðåäåëåíèå

(Ñâîéñòâà òðîéíîãî èíòåãðàëà)

1. Åñëè

 çàìêíóòàÿ îãðàíè÷åííàÿ èçìåðèìàÿ îáëàñòü, òî

ZZZ

dxdydz = V (G)

Âûâîä.

Ïóñòü

f(x, y, z) ≡ 1

. Ñîñòàâèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó:

τ,ξ

i=1

1 · V (G

) =

i=1

V (G

) = V (G),

òîãäà

lim

i→∞

τ,ξ

= V (G) ⇔

ZZZ

dxdydz = V (G)

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Ëèíåéíîñòü.

Åñëè

f(x, y, z)

g(x, y, z)

èíòåãðèðóåìû â

, òî äëÿ ëþáûõ

α, β ∈ R

ôóíêöèÿ

αf(x, y, z) + βg(x, y, z)

òàêæå èíòåãðèðóåìà â

ZZZ

(αf + βg)dxdydz = α

ZZZ

fdxdydz + β

ZZZ

gdxdydz

Âûâîä.

Ñîñòàâèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó äëÿ

αf(x, y, z) + βg(x, y, z)

τ,ξ

i=1

(αf(x

, y

, z

)+βg(x

, y

, z

))·V (G

) = α

i=1

f(x

, y

, z

)+β

i=1

g(x

, y

, z

) = αV

(τ

, ξ

)+βV

(τ

, ξ

)

Òàê êàê

f(x, y, z)

g(x, y, z)

èíòåãðèðóåìû, òî

ZZZ

f(x, y, z)dxdydz = lim

i→∞

(τ

, ξ

)

ZZZ

g(x, y, z)dxdydz = lim

i→∞

(τ

, ξ

)

Òîãäà

ZZZ

(αf+βg)dxdydz = α lim

i→∞

(τ

, ξ

)+β lim

i→∞

(τ

, ξ

) = α

ZZZ

fdxdydz+β

ZZZ

gdxdydz

Àääèòèâíîñòü.

Åñëè

 çàìêíóòûå îãðàíè÷åííûå èçìåðèìûå îáëàñòè áåç îáùèõ âíóò-

ðåííèõ òî÷åê, è

f(x, y, z)

èíòåãðèðóåìà â

G = G

∪ G

, òî

ZZZ

fdxdydz =

ZZZ

fdxdydz +

ZZZ

fdxdydz

Ìîíîòîííîñòü.

Åñëè

f(x, y, z)

g(x, y, z)

èíòåãðèðóåìû â

f(x, y, z) ≥ g(x, y, z)

äëÿ âñåõ

(x, y, z) ∈ G

, òî

ZZZ

fdxdydz ≥

ZZZ

gdxdydz

Òåîðåìà îá îöåíêå.

Åñëè

f(x, y, z)

g(x, y, z)

èíòåãðèðóåìû â

m ≤ f(x, y, z) ≤ M

äëÿ

âñåõ

(x, y, z) ∈ G

, òî

m ·

ZZZ

g(x, y, z)dxdydz ≤

ZZZ

f(x, y, z) · g(x, y, z)dxdydz ≤ M ·

ZZZ

g(x, y, z)dxdydz

Òåîðåìà îá îöåíêå ìîäóëÿ.

Åñëè

èíòåãðèðóåìà â

, òî

|f|

òàêæå èíòåãðèðóåìà â



ZZZ

f(x, y, z)dxdydz



≤

ZZZ

|f(x, y, z)|dxdydz

Òåîðåìà î ñðåäíåì çíà÷åíèè.

Åñëè

f(x, y, z)

íåïðåðûâíà â

, òî

∃(x

, y

, z

) ∈ G

òàêàÿ, ÷òî

ZZZ

f(x, y, z)dxdydz = f (x

, y

, z

) · V (D)

Ñîõðàíåíèå èíòåãðàëîì çíàêà ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè

. Åñëè ôóíêöèÿ

f(x, y, z)

èí-

òåãðèðóåìà â ÇÎÈÎ

f(x, y, z) ≥ 0

â îáëàñòè

, òî

ZZZ

f(x, y, z)dxdydz ≥ 0

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Åñëè, êðîìå òîãî,

f(x, y, z)

íåïðåðûâíà è îãðàíè÷åíà â

∃(x

, y

, z

) ∈ G : f(x

, y

, z

) > 0

, òî

ZZZ

f(x, y, z)dxdydz > 0

Èíòåãðèðóåìîñòü êîìïîçèöèè èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé

. Åñëè

èíòåãðèðóåìû â

ÇÎÈÎ

, òî

f · g

òàêæå èíòåãðèðóåìà â

Åñëè, êðîìå òîãî,

∃ε > 0 : |g| ≥ ε

, òî

 èíòåãðèðóåìà â

10.

Î èíòåãðèðîâàíèè ïî ìíîæåñòâó ìåðû 0

. Åñëè

 ìíîæåñòâî ìåðû 0 (ò.å.

∀ε > 0 ∃T ⊃

G : V (T ) < ε

) è

f(x, y, z)

èíòåãðèðóåìà â

, òî

ZZZ

f(x, y, z)dxdydz = 0

Òåìà 6.

Âû÷èñëåíèå òðîéíîãî èíòåãðàëà â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.

Âûâîä.

Ïóñòü

G ⊂ R

 ç.î.è.î.,

f(x, y, z)

èíòåãðèðóåìà â îáëàñòè

Ìåòîä 1

I =

ZZZ

f(x, y, z) dxdydz =

f(x, y, z) dxdy, a < b

Ìåòîä 2

I =

ZZZ

f(x, y, z) dxdydz =

dxdy

(x,y)

f(x, y, z) dz

G = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D ⊆ R

(x, y); φ

(x, y) ≤ z ≤ φ

(x, y) ∀(x, y) ∈ D}

Òåìà 7.

Òåîðåìà î çàìåíå ïåðåìåííûõ â òðîéíîì èíòåãðàëå. Âû÷èñëåíèå òðîéíîãî èíòåãðàëà â öè-

ëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.

Îïðåäåëåíèå

(Äèôôåîìîðôèçì)

Ïóñòü

- îòêðûòûå îáëàñòè. Îòîáðàæåíèå

F : U → V

íàçûâà-

åòñÿ äèôôåîìîðôèçìîì, åñëè

- áèåêòèâíî

íåïðåðûâíî â

−1

íåïðåðûâíî â

Îïðåäåëåíèå

(ßêîáèàí)

Ìàòðèöåé ßêîáè

îòîáðàæåíèÿ

íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà âèäà







∂y

∂x

. . .

∂y

∂x

∂y

∂x

. . .

∂y

∂x







Òåîðåìà.

Ïóñòü:

1. Îòîáðàæåíèå

F :

(

x = x(u, v, w)

y = y(u, v, w)

ÿâëÿåòñÿ äèôôåîìîðôèçìîì îòêðûòîé îáëàñòè

íà îá-

ëàñòü

G ⊂ G

 çàìêíóòàÿ îãðàíè÷åííàÿ èçìåðèìàÿ îáëàñòü, è å¼ îáðàç

G = F (G)

3. Ôóíêöèÿ

f(x, y, z)

èíòåãðèðóåìà â îáëàñòè

Òîãäà

ZZZ

f(x, y, z)dxdydz =

ZZZ

f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) · |J|dudvdw

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

ãäå

J = det



∂x

∂u

∂x

∂v

∂x

∂w

∂y

∂u

∂y

∂v

∂y

∂w



 ÿêîáèàí ïðåîáðàçîâàíèÿ.

Âûâîä.

Öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû:

(r, φ, z)

Ôîðìóëû ïåðåõîäà îò Äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò ê öèëèíäðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì:











x = r cos φ

y = r sin φ

z = z

−1



cos φ −r sin φ 0

sin φ r cos φ 0

0 0 1



= r

ZZZ

f(x, y, z) dxdydz =

ZZZ

f(r cos φ, r sin φ, z) · |r|drdφdz

Òåìà 8.

Âû÷èñëåíèå òðîéíîãî èíòåãðàëà â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.

Âûâîä.

Ïðåäñòàâëåíèå 1.

Â òàêîì ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò èìååò âèä:

F :











x = r cos θ cos φ

y = r cos θ sin φ

z = r sin θ

Òîãäà

J = r

cos θ

è:

I =

ZZZ

f(x, y, z)dxdydz =

ZZZ

f(r cos θ cos φ, r cos θ sin φ, r sin θ) · |r

cos θ|drdφdθ

Ïðåäñòàâëåíèå 2.

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Â òàêîì ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò èìååò âèä:

F :











x = r sin θ cos φ

y = r sin θ sin φ

z = r cos θ

Òîãäà

J = r

sin θ

è:

I =

ZZZ

f(x, y, z)dxdydz =

ZZZ

f(r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ) · |r

sin θ|drdφdθ

Òåìà 9.

Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ òðîéíûõ èíòåãðàëîâ: âû÷èñëåíèå ìàññû òåëà, êîîðäèíàò öåíòðà

òÿæåñòè, ñòàòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ, ìîìåíòîâ èíåðöèè.

Îòâåò.

1. Ìàññà òåëà

m =

ZZZ

ρ(x, y, z)dxdydz,

ãäå

ρ(x, y, z) −

ïëîòíîñòü, à

V −

îáú¼ì

2. Ñòàòè÷åñêèå ìîìåíòû îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíûõ ïëîñêîñòåé

ZZZ

x · ρ(x, y, z)dxdydz

ZZZ

z · ρ(x, y, z)dxdydz

ZZZ

y · ρ(x, y, z)dxdydz

3. Êîîðäèíàòû öåíòðà òÿæåñòè

C(¯x, ¯y, ¯z) ⇒











¯x =

¯y =

¯z =

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

4. Ìîìåíòû èíåðöèè

ZZZ

+ y

+ z

)ρ(x, y, z)dxdydz

ZZZ

+ z

)ρ(x, y, z)dxdydz

ZZZ

+ z

)ρ(x, y, z)dxdydz

ZZZ

+ y

)ρ(x, y, z)dxdydz

oxy

ZZZ

ρ(x, y, z)dxdydz

oxz

ZZZ

ρ(x, y, z)dxdydz

oyz

ZZZ

ρ(x, y, z)dxdydz

Òåìà 10.

Îïðåäåëåíèå êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà I ðîäà è åãî ñâîéñòâà. Âû÷èñëåíèå êðèâîëèíåéíîãî

èíòåãðàëà I ðîäà.

Îïðåäåëåíèå.

Ïàðàìåòðèçîâàííîé êðèâîé êëàññà

(k)

íàç. ïàðà

(γ, F )

F : (a, b) → R

F ∈ C

(k)

(a, b)

γ = Im F

. Îòîáðàæåíèå

íàç.

ïàðàìåòðèçàöèåé êðèâîé

Im F

 îáðàç îòîáðàæåíèÿ,

Im F = {(x, y, z) | (x, y, z) = F (t), t ∈ (a, b)}.

Çàïèñü:

γ :











x = x(t),

y = y(t),

z = z(t), t ∈ (a, b).

èëè

γ : ¯r = x(t)

i + y(t)

j + z(t)

k, t ∈ (a, b).

èëè

γ : ¯r = ¯r(t), t ∈ (a, b)

Êðèâàÿ, äëÿ êîòîðîé îïðåäåëåíà äëèíà, íàçûâàåòñÿ

ñïðÿìëÿåìîé

Äëèíà äóãè

âû÷èñëÿåòñÿ ïî

ôîðìóëå:

L =

∥¯r

′

(t)∥dt =

′

)

+ (y

′

)

+ (z

′

)

dt.

Êðèâàÿ

íàçûâàåòñÿ

êóñî÷íî-ãëàäêîé

, åñëè:

¯r

′

(t) ∈ C(a, b)

;

¯r

′

(t)

èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê ðàçðûâà 1-ãî ðîäà.

Íàòóðàëüíûì ïàðàìåòðîì

êðèâîé íàçûâàåòñÿ äëèíà ÷àñòè êðèâîé

s(t)

s(t) =

∥¯r

′

∥dt.

(1)

Îïðåäåëåíèå.

Ïóñòü

 èçìåðèìàÿ êðèâàÿ â ïðîñòðàíñòâå, òî åñòü

∃l(γ)

. Ðàçáèåíèåì êðèâîé

íàçûâàåòñÿ íàáîð

τ = {

, . . . ,

n−1

}

, ãäå

∈ γ

Îïðåäåëåíèå.

Äèàìåòðîì ðàçáèåíèÿ

íàçûâàåòñÿ ÷èñëî

d(τ) = max

= l

= l(

i−1

)

, òî åñòü

d(τ) = max

Îïðåäåëåíèå.

Íàáîð òî÷åê

= {P

∈

i−1

}

íàçûâàåòñÿ íàáîðîì òî÷åê, ïîä÷èí¼ííûõ ðàçáè-

åíèþ

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Îïðåäåëåíèå.

Ïóñòü äàíû

τ, ξ

è ôóíêöèÿ

f(p) = f(x, y, z)

, îïðåäåë¼ííàÿ â òî÷êàõ êðèâîé

. ×èñëî

(τ, ξ

) =

i=1

f(P

i=1

f(x

, y

, z

íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíîé ñóììîé äëÿ

τ, ξ

, f(p)

Îïðåäåëåíèå.

×èñëî

íàçûâàåòñÿ êðèâîëèíåéíûì èíòåãðàëîì 1-ãî ðîäà îò ôóíêöèè

f(x, y, z)

ïî

êðèâîé

, åñëè

∀ε > 0 ∃δ = δ(ε)

, òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ

êðèâîé

òàêîãî, ÷òî

d(τ) < δ

ëþáîãî

âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

|I − S

(τ, ξ

)| < ε

Îïðåäåëåíèå.

Ñâîéñòâà ÊÈ I ðîäà:

Ëèíåéíîñòü

. Åñëè

∃

fdl

∃

gdl

òî

∀λ, µ ∈ R

∃

(λf + µg)dl = λ

fdl + µ

gdl

Àääèòèâíîñòü

. Ïóñòü

AB, γ

∃

fdl,

fdl

Òîãäà

∃

∪γ

fdl =

fdl +

fdl

Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà I-ãî ðîäà.

. Åñëè

 êóñî÷íî-

ãëàäêàÿ êðèâàÿ, à ôóíêöèÿ

îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà âî âñåõ òî÷êàõ êðèâîé

, òî êðèâîëè-

íåéíûé èíòåãðàë

-ãî ðîäà

fdl

ñóùåñòâóåò.

Èíòåãðàë ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó

. Åñëè

 çàìêíóòûé êîíòóð, òî

fdl

íå çàâèñèò îò âûáîðà íà÷àëüíîé òî÷êè.

Äëèíà êðèâîé

. Äëèíà êðèâîé

ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà êàê èíòåãðàë åäèíè÷íîé ôóíêöèè ïî

íåé:

dl = l(γ)

Íåîðèåíòèðîâàííîñòü

. Ïðè èçìåíåíèè íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ ïî êðèâîé êðèâîëèíåéíûé

èíòåãðàë

-ãî ðîäà íå ìåíÿåò çíàê.

Âûâîä.

1. Ïóñòü

çàäàíà:

γ :











x = x(S),

y = y(S), S ∈ [0, l], S −

íàòóðàëüíûé ïàðàìåòð

z = z(S),

Ïóñòü çíà÷åíèþ

ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà

ñ êîîðäèíàòàìè

, y

, z

) = (x(

), y(

), z(

))

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Òîãäà

(τ, ξ

) =

i=1

f(x(

), y(

), z(

))(

−

i−1

)−

èíòåãðàëüíàÿ ñóììà ôóíêöèè

f(x(S), y(S), z(S))

ïî

[0; l]

I =

f(x(S), y(S), z(S))dS =

f(x(S), y(S), z(S))dl

åñëè

γ : ¯r = ¯r(t), t ∈ [a, b] =⇒ γ :











x = x(t),

y = y(t),

z = z(t), t ∈ [a, b].

dl =

′

)

+ (y

′

)

+ (z

′

)

f(P ) dl =

f(x(t), y(t), z(t))

′

)

+ (y

′

)

+ (z

′

)

åñëè êðèâûå ëåæàò â ïëîñêîñòè

Oxy

−y = y(x), x ∈ [a, b]

 êðèâàÿ

f(P ) dl =

f(x, y(x))

1 + (y

′

(x))

−γ :

(

x = x(t)

y = y(t)

, t ∈ [a, b].

f(P ) dl =

f(x(t), y(t))

′

)

+ (y

′

)

−γ : r = r(φ), φ ∈ [a, b]

êðèâàÿ â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ

⇓

γ :

(

x = r(φ) cos φ,

y = r(φ) sin φ.

f(P ) dl =

f(r(φ) cos φ, r(φ) sin φ)

′

)

+ r

dφ

ñîîòâåòñòâåííî

dl =

′

)

+ r

dφ

Òåìà 11.

Îïðåäåëåíèå êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà âòîðîãî ðîäà. Ñâîéñòâà êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà.

Âû÷èñëåíèå êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà âòîðîãî ðîäà.

Îïðåäåëåíèå.

Ïóñòü

 êðèâàÿ â

a = P (x, y, z)



i+Q(x, y, z)



j +R(x, y, z)



 âåêòîðíîå ïîëå, îïðå-

äåë¼ííîå â òî÷êàõ êðèâîé. Ðàçáèåíèåì êðèâîé

íàçûâàåòñÿ íàáîð

τ = {

, . . . ,

n−1

}

ãäå

∈ γ

Îïðåäåëåíèå.

Äèàìåòðîì ðàçáèåíèÿ

íàçûâàåòñÿ ÷èñëî

d(τ) = max

= l

= l(

i−1

)

, òî åñòü

d(τ) = max

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Îïðåäåëåíèå.

Ïóñòü äàíû

τ, ξ

è âåêòîðíîå ïîëå

a = P (x, y, z)



i+Q(x, y, z)



j+R(x, y, z)



, îïðåäåë¼ííîå

â òî÷êàõ êðèâîé

. Òîãäà ÷èñëî

a

(τ, ξ

) =

i=1

a(B

) · (˜r(M

) − ˜r(M

i−1

)) =

i=1

a(x

, y

, z

) · ∆r

íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíîé ñóììîé äëÿ

τ, ξ

,a(B)

Îïðåäåëåíèå.

×èñëî

íàçûâàåòñÿ êðèâîëèíåéíûì èíòåãðàëîì

-ãî ðîäà îò âåêòîðíîãî ïîëÿ

a

ïî

êðèâîé

, åñëè äëÿ ëþáîãî

ε > 0

ñóùåñòâóåò òàêîå

δ = δ(ε) > 0

, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ

êðèâîé

òàêîãî, ÷òî

d(τ) < δ

, è ëþáîãî íàáîðà

âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî:

|I − S

a

(τ, ξ

)| < ε

Îïðåäåëåíèå.

Ñâîéñòâà ÊÈ II ðîäà

Ëèíåéíîñòü

. Åñëè

∃

adr

∃



bdr

òî

∀λ, µ ∈ R

∃

(λa + µ



b)dr = λ

adr + µ



bdr

Àääèòèâíîñòü

. Ïóñòü

AB, γ

∃

adr,

adr

Òîãäà

∃

∪γ

adr =

adr +

adr

Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà II-ãî ðîäà

. Åñëè

 êóñî÷íî-

ãëàäêàÿ êðèâàÿ, à âåêòîðíîå ïîëå

a

íåïðåðûâíî â òî÷êàõ êðèâîé

, òî ñóùåñòâóåò êðèâîëèíåé-

íûé èíòåãðàë

-ãî ðîäà

∃

adr

Îðèåíòèðîâàííîñòü

. Ïðè èçìåíåíèè íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ ïî êðèâîé êðèâîëèíåéíûé èí-

òåãðàë

-ãî ðîäà ìåíÿåò çíàê:

−

adr =

adr

Èíòåãðàë ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó

. Êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë

-ãî ðîäà ïî çàìêíóòîìó

êîíòóðó íå çàâèñèò îò âûáîðà òî÷êè îòñ÷¼òà ïðè ñîõðàíåíèè íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ.

Âûâîä.

Ïàðàìåòðè÷åñêàÿ êðèâàÿ

Åñëè

 êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ

γ :











x = x(t)

y = y(t),

z = z(t)

t ∈ [a; b] −

êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ,

a = P (x, y, z)



i + Q(x, y, z)



j + R(x, y, z)



 âåêòîðíîå ïîëå, íåïðåðûâíîå â òî÷êàõ êðèâîé

, òî

adr =

P dx + Qdy + Rdz =



P (x(t), y(t), z(t)) ˙x(t) + Q(x(t), y(t), z(t)) ˙y(t) + R(x(t), y(t), z(t)) ˙z(t)



Ôóíêöèîíàëüíàÿ êðèâàÿ

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Ïóñòü êðèâàÿ

çàäàíà êàê

y = y(x), x ∈ [a; b]

. Òîãäà

P (x, y)dx + Q(x, y)dy =



P (x, y(x)) + Q(x, y(x)) · y

′



Òåìà 12.

Ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü óñëîâèÿ íåçàâèñèìîñòè êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà âòîðîãî

ðîäà îò ïóòè. Ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà (ñ äîêàçàòåëüñòâîì).

Òåîðåìà.

Ïóñòü

P, Q ∈ C

(1)

(D)

 îäíîñâÿçíàÿ. Òîãäà ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:

P dx + Qdy = 0

äëÿ ëþáîãî ãëàäêîãî çàìêíóòîãî êîíòóðà

γ ⊂ D

2. ÊÈ II-ðîäà

P dx + Qdy

íå çàâèñèò îò ãëàäêîé êðèâîé

γ =

, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè

öåëèêîì ëåæàùåé â îáëàñòè

∃F (x, y) ∈ C

(2)

(D) : dF = P dx + Qdy

èëè

∂F

∂x

= P (x, y),

∂F

∂y

= Q(x, y) ∀(x, y) ∈ D.

∂P

∂y

∂Q

∂x

∀(x, y) ∈ D

Äîêàçàòåëüñòâî.

(1) ⇒ (2)

Äàíî, ÷òî

P dx + Qdy = 0

Ïóñòü

A, B ∈ D

, γ

 äâà ïóòè, ñîåäèíÿþùèå

γ = γ

∪ γ

−

(ãäå

 ïóòü îò

, à

−

 ïóòü îò

P dx + Qdy =

P dx + Qdy +

−

P dx + Qdy =

P dx + Qdy −

P dx + Qdy = 0 ⇒

⇒

P dx + Qdy =

P dx + Qdy

(2) ⇒ (3)

Äàíî, ÷òî

P dx + Qdy

íå çàâèñèò îò ïóòè, ñîåäèíÿþùåãî òî÷êè

∀A, B ∈ D

Îïðåäåëèì ôóíêöèþ:

F (x, y) =

(x,y)

(a,b)

P (x, y)dx + Q(x, y)dy,

ãäå

(a, b)

(x, y)

 êîîðäèíàòû äâóõ òî÷åê èç

Äîêàæåì, ÷òî

dF = P dx + Qdy

1) Ðàññìàòðèâàåì ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî

∂F

∂x

, y

) = lim

∆x→0

F (x

+ ∆x, y

) − F (x

, y

)

∆x

Ðàññìîòðèì ïóòü

(ãîðèçîíòàëüíûé îòðåçîê):

γ :

(

x = x

+ t,

y = y

t ∈ [0, ∆x]. ⇒

dx = dt

dy = 0

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Ðàçíîñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè

F (x

+ ∆x, y

) − F (x

, y

) =

P dx + Qdy =

∆x

P (x

+ t, y

)dt = φ(∆x)

⇒ φ

′

(0) = P (x

, y

)

Òîãäà ïðåäåë:

Θ lim

∆x→0

φ(∆x)

∆x

= φ

′

(0) = P (x

, y

ò.å.

∂F

∂x

, y

) = P (x

, y

)

∂F

∂y

= Q(x, y)

Îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé:

∂F

∂y

, y

) = lim

∆y→0

F (x

, y

+ ∆y) − F (x

, y

)

∆y

Ⓢ

Ðàññìîòðèì ïóòü

(âåðòèêàëüíûé îòðåçîê):

γ :

(

x = x

y = y

+ t,

t ∈ [0, ∆y]. ⇒

dx = 0

dy = dt

Ðàçíîñòü çíà÷åíèé:

F (x

, y

+ ∆y) − F (x

, y

) =

P dx + Qdy =

∆y

Q(x

, y

+ t)dt = ψ(∆y)

⇒ ψ

′

(0) = Q(x

, y

)

Ïîäñòàâëÿåì â ïðåäåë

Ⓢ

Ⓢ lim

∆y→0

ψ(∆y)

∆y

= ψ

′

(0) = Q(x

, y

ò.å.

∂F

∂y

, y

) = Q(x

, y

(3) ⇒ (4)

Äàíî, ÷òî

dF = P dx + Qdy

∂P

∂y

∂

∂y



∂F

∂x



∂

∂y∂x

∂Q

∂x

∂

∂x



∂F

∂y



∂

∂x∂y











⇒

ò.ê.

∂

∂y∂x

∂

∂x∂y

òî

∂P

∂y

∂Q

∂x

(4) ⇒ (1)

Äàíî, ÷òî

∂P

∂y

∂Q

∂x

. Ïóñòü

 îáëàñòü,

D ⊂ D

, è

∂

D = γ

P dx + Qdy =

ôîðìóëà Ãðèíà



∂Q

∂x

−

∂P

∂y



| {z }

dxdy = 0

äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî êîíòóðà

□

Òåîðåìà

(Ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà)

Åñëè

∃F (x) : dF = P dx + Qdy

2. âûïîëíåíû óñëîâèÿ íåçàâèñèìîñòè èíòåãðàëà îò ïóòè

òîãäà

⌢

P dx + Qdy = F (B) − F (A)

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü ãëàäêàÿ êðèâàÿ

⌢

çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè

x = x(t)

y =

y(t)

, ãäå ïàðàìåòð

èçìåíÿåòñÿ íà îòðåçêå

[α, β]

. Ïðè ýòîì çíà÷åíèþ

t = α

ñîîòâåòñòâóåò íà÷àëüíàÿ

òî÷êà

, à çíà÷åíèþ

t = β

 êîíå÷íàÿ òî÷êà

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Ïåðåéäåì îò êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà ê îïðåäåëåííîìó, çàìåíèâ äèôôåðåíöèàëû ïî ôîðìóëàì

dx = x

′

(t)dt

dy = y

′

(t)dt

. Òîãäà èíòåãðàë ïðèìåò âèä:

I =

(P (x(t), y(t)) · x

′

(t) + Q(x(t), y(t)) · y

′

(t)) dt.

Òàê êàê ïî óñëîâèþ

dF = P dx + Qdy

, òî ôóíêöèè

ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè

ôóíêöèè

, òî åñòü

P =

∂F

∂x

Q =

∂F

∂y

. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ

F (x(t), y(t))

êàê ñëîæíóþ ôóíêöèþ

ïåðåìåííîé

. Ñîãëàñíî ïðàâèëó äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè, å¼ ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî

ðàâíà:

F (x(t), y(t)) =

∂F

∂x

· x

′

(t) +

∂F

∂y

· y

′

(t) = P · x

′

(t) + Q · y

′

(t).

Ìû âèäèì, ÷òî ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ ïîëíîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè

ïî âðåìåíè

. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðèìåíÿÿ êëàññè÷åñêóþ ôîðìóëó Íüþòîíà-Ëåéáíèöà äëÿ îïðåäå-

ëåííîãî èíòåãðàëà, ïîëó÷àåì:

I =

F (x(t), y(t)) dt = F (x(β), y(β)) − F (x(α), y(α)).

Ó÷èòûâàÿ ñîîòâåòñòâèå çíà÷åíèé ïàðàìåòðà ãðàíè÷íûì òî÷êàì, îêîí÷àòåëüíî èìååì

F (B)−F (A)

Òåìà 13.

Ôîðìóëà Ãðèíà.

Òåîðåìà.

Ïóñòü

 ç.î.è.î íà ïëîñêîñòè, à å¼ ãðàíèöà

∂D = γ

 ïðîñòîé êóñî÷íî-ãëàäêèé êîíòóð,

ôóíêöèè

P, Q ∈ C

(U)

, ãäå

U ⊃ D

 íåêîòîðàÿ îòêðûòàÿ îáëàñòü. Òîãäà

∂D

P (x, y)dx + Q(x, y)dy =



∂Q

∂x

−

∂P

∂y



dxdy =

− P

)dxdy

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ëþáóþ ç.î.è.î íà ïëîñêîñòè ìîæíî ðàçáèòü íà ñòàíäàðòíûå îáëàñòè

D = D

∪ ··· ∪ D

, D

 ñòàíäàðòíàÿ îáëàñòü 1-ãî òèïà.

∂D

P dx =

i=1

P dx ⇒

⇒

äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ïåðâóþ ÷àñòü ôîðìóëû Ãðèíà äëÿ ñòàíäàðòíîé îáëàñòè.

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

y = φ

(x)

dx = 0

x = b =

const.

y = φ

(x)

dx = 0

x = a =

const.

Äëÿ ýòîé îáëàñòè:

∂D

P (x, y)dx =

|{z}

ò.ê.

dx=0

|{z}

ò.ê.

dx=0

P (x, φ

(x))dx

| {z }

ïî

P (x, φ

(x))dx

| {z }

ïî

P (x, φ

(x))dx −

P (x, φ

(x))dx = −

(P (x, φ

(x)) − φ

(x)) dx =

= −

(x)

∂P

∂y

dy = −

∂P

∂y

dxdy

Òåìà 14.

Îïðåäåëåíèå ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà I ðîäà. Ñâîéñòâà ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà I ðîäà.

Âû÷èñëåíèå ïîâåðõíîñòíûõ èíòåãðàëîâ ïåðâîãî ðîäà.

Îïðåäåëåíèå.

Ïóñòü

 ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü,

σ(Σ) < ∞

 îãðàíè÷åííàÿ, èçìåðèìàÿ îáëàñòü

f(x, y)

 ôóíêöèÿ, îïðåäåëåíà â òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè

Ðàçáèåíèå

τ = {Σ

, . . . , Σ

}

= Σ

i = j

íå èìåþò îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê.

Îïðåäåëåíèå.

Äèàìåòð ðàçáèåíèÿ

d(τ) = max

d(F

−1

(Σ

))

Îïðåäåëåíèå.

Íàáîð òî÷åê, ñîãëàñîâàííûé ñ ðàçáèåíèåì

= {M

| M

∈ Σ

}

Îïðåäåëåíèå.

Èíòåãðàëüíàÿ ñóììà

(τ, ξ

) =

i=1

f(x

, y

, z

)σ(Σ

)

Îïðåäåëåíèå.

Åñëè äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçáèåíèé

{τ

}

, äèàìåòð êîòîðûõ

d(τ

) → 0, k →

∞

ñóùåñòâóåò ïðåäåë èíòåãðàëüíûõ ñóìì

I = lim

k→∞

(τ

, ξ

)

è îí íå çàâèñèò îò âûáîðà ïîñëåäî-

âàòåëüíîñòè

{τ

} : d(τ

) → 0

è îò âûáîðà òî÷åê

, òî îí íàçûâàåòñÿ

ïîâåðõíîñòíûì èíòåãðàëîì

ïåðâîãî ðîäà

îò ôóíêöèè

f(x, y, z)

ïî ïîâåðõíîñòè

. Îáîçíà÷åíèå

f(x, y, z)dσ

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Îïðåäåëåíèå.

Ñâîéñòâà

Ëèíåéíîñòü

(λf + µg)dσ = λ

fdσ + µ

gdσ, λ, µ ∈ R

f, g ∈ C(Σ)

Àääèòèâíîñòü

. Åñëè

íå èìåþò îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê, òî

∪Σ

fdσ =

fdσ +

fdσ

dσ = σ(Σ)

4. Åñëè

f ∈ C(Σ) : m ⩽ f ⩽ M ∀(x, y, z) ∈ Σ

fdσ

ñóùåñòâóåò, òî

mσ(Σ) ⩽

fdσ ⩽ M σ(Σ)

Îïðåäåëåíèå.

Âû÷èñëåíèå ÏÈ I-ðîäà ñâîäèòñÿ ê äâîéíîìó èíòåãðàëó.

Σ : r = r(u, v), (u, v) ∈ D

σ(Σ) =

∥r

′

×r

′

∥du dv ⇒ dσ = ∥r

′

×r

′

∥du dv ⇒

⇒

f(x, y, z)dσ =

f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))∥r

′

×r

′

∥du dv.

×àñòíûé ñëó÷àé

Σ : z = φ(x, y), (x, y) ∈ D

f(x, y, z)dσ =

f(x, y, φ(x, y))

1 + (φ

′

)

+ (φ

′

)

dx dy.

Òåìà 15.

Îïðåäåëåíèå ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà II ðîäà. Ñâîéñòâà ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà. Âû-

÷èñëåíèå ïîâåðõíîñòíûõ èíòåãðàëîâ II ðîäà.

Îïðåäåëåíèå.

Ïîâåðõíîñòü â ïðîñòðàíñòâå íàç.

îðèåíòèðîâàííîé

, åñëè â êàæäîé òî÷êå ïîâåðõ-

íîñòè ìîæíî âûáðàòü âåêòîð åäèíè÷íîé íîðìàëè òàê, ÷òî ïîëó÷åííàÿ âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ áóäåò

íåïðåðûâíà âî âñåõ òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè.

Âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ 

âåêòîðíîå ïîëå åäèíè÷íûõ íîðìàëåé íà ïîâåðõíîñòè

Ïóñòü â òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè

îïðåäåëåíî âåêòîðíîå ïîëå

¯a = P (x, y, z)

i + Q(x, y, z)

j + R(x, y, z)

Ñîñòàâèì ðàçáèåíèå

τ = {Σ

, . . . , Σ

}

= Σ

i = j

íå èìåþò îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê.

Îïðåäåëåíèå.

Íàáîð òî÷åê

= {P

}

Îïðåäåëåíèå.

ñîñòàâèì ïîòîê, ÷åðåç ýëåìåíòàðíóþ ïëîùàäêó

= σ(Σ

)∥¯a(P

)∥cos φ(P

) = ¯a · ¯n σ(Σ

)

- èíòåãðàëüíàÿ ñóììà äëÿ ÏÈ 2-ãî ðîäà.

Îïðåäåëåíèå.

Π ≈

i=1

= S

¯a·¯n

(τ, ξ

) −−−−−→

d(τ)→0

¯a · ¯n dσ

- èíòåãðàë II ðîäà äëÿ

ôóíêöèè ñïåöèàëüíîãî âèäà.

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Îïðåäåëåíèå.

Ïóñòü

 îãðàíè÷åííàÿ, çàìêíóòàÿ, èçìåðèìàÿ (

∃σ(Σ) < ∞

), ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü,

îðèåíòèðîâàííàÿ ïîëåì åäèíè÷íûõ íîðìàëåé

¯n

¯a

 âåêòîðíîå ïîëå, îïðåäåëåííîå â òî÷êàõ ïîâåðõ-

íîñòè

, òîãäà èíòåãðàë (åñëè îí ñóùåñòâóåò)

¯a · ¯n dσ

íàç. ïîâåðõíîñòíûì èíòåãðàëîì

II-ãî ðîäà îò âåêòîðíîãî ïîëÿ

¯a

ïî îðèåíòèðîâàííîé ïîâåðõíîñòè

Îïðåäåëåíèå.

1. Ëèíåéíîñòü

(λ¯a + µ

b)¯ndσ = λ

¯a¯ndσ + µ

b¯ndσ, λ, µ ∈ R

¯a,

b ∈ C(Σ)

2. Àääèòèâíîñòü

∪Σ

¯a¯ndσ =

¯a¯ndσ +

¯a¯ndσ

¯n

¯a¯ndσ = −

− ¯n

¯a¯ndσ

(ïðè ñìåíå îðèåíòàöèè ïîâåðõíîñòè

èíòåãðàë ìåíÿåò çíàê)

Îïðåäåëåíèå.

¯a = P (x, y, z)

i + Q(x, y, z)

j + R(x, y, z)

¯n = cos α

i + cos β

j + cos γ

¯a¯n dσ =

(P cos α + Q cos β + R cos γ)dσ

Σ : r = r(u, v), (u, v) ∈ D

¯n = ±

r

′

×r

′

∥r

′

×r

′

∥

dσ = ∥r

′

×r

′

∥du dv

¯a¯n dσ = ±

¯a ·

r

′

×r

′

∥r

′

×r

′

∥

· ∥r

′

×r

′

∥du dv = ±

(¯a, r

′

, r

′

) du dv

ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå

×àñòíûé ñëó÷àé: ïîâåðõíîñòü çàäàíà êàê ãðàôèê ôóíêöèè

Σ : z = z(x, y), (x, y) ∈ D

¯a = {0, 0, R}

R cos γ dσ = ±

R(x, y, z(x, y)) cos γ ·

dx dy

|cos γ|

= ±

R(x, y, z(x, y)) dx dy

Âûáîð çíàêà:



, åñëè

(

¯n,

k) ⩽



−

, åñëè

(

¯n,

k) >

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

P (x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dx dz + R(x, y, z) dx dy =

¯ad¯σ

|{z}

ñêàëÿðíîå

ïðîèçâåäåíèå

ò.å.

d¯σ = dy dz

i + dx dz

j + dx dy

Òåìà 16.

Îïðåäåëåíèå äèâåðãåíöèè âåêòîðíîãî ïîëÿ. Âû÷èñëåíèå äèâåðãåíöèè â äåêàðòîâîé ïðÿìî-

óãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó Ãàóññà-Îñòðîãðàäñêîãî â âåêòîðíîé è êîîð-

äèíàòíîé ôîðìå. Äàòü ôèçè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ èíòåãðàëîâ.

Îïðåäåëåíèå.

Ïóñòü â îáëàñòè

îïðåäåëåíî âåêòîðíîå ïîëå

¯a

M ∈ U

G ⊂ U

G = G ∪ ∂G

. Åñëè

ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë

lim

G→M

∂G

¯ad¯σ

V (G)

òî îí íàçûâàåòñÿ äèâåðãåíöèåé âåêòîðíîãî ïîëÿ

¯a

â òî÷êå

div

¯a



= lim

G→M

∂G

¯ad¯σ

V (G)

(

 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óìåíüøàþùèõñÿ, ñòÿãèâàþùèõñÿ îáëàñòåé (ïðåäåë íå äîëæåí çàâèñåòü

îò âûáîðà ïîâåðõíîñòåé))

Òåîðåìà.

Åñëè

¯a = P (x, y, z)

i + Q(x, y, z)

j + R(x, y, z)

k, ¯a ∈ C

(1)

(U)

, òî div

¯a

îïðåäåëåíà âî âñåõ

òî÷êàõ îáëàñòè

è ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî ôîðìóëå:

div

¯a =

∂P

∂x

∂Q

∂y

∂R

∂z

Òåîðåìà.

Ïóñòü

 îãðàíè÷åííàÿ, èçìåðèìàÿ îáëàñòü â ïðîñòðàíñòâå, å¼ ãðàíèöà

∂G

 ãëàäêàÿ,

çàìêíóòàÿ, èçìåðèìàÿ ïîâåðõíîñòü, îðèåíòèðîâàííàÿ ñ ïîìîùüþ âíåøíåé íîðìàëè, à âåêòîðíîå ïîëå

¯a ∈ C

(1)

(U), U ⊃

. Òîãäà

∂G

¯ad¯σ =

ZZZ

div

¯a dxdydz

èëè

∂G

P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy =

ZZZ



∂P

∂x

∂Q

∂y

∂R

∂z



dxdydz

Îïðåäåëåíèå.

Ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü â íàïðàâëåíèè âíåøíåé íîðìàëè

ðàâåí òðîéíîìó èíòåãðàëó îò äèâåðãåíöèè ýòîãî ïîëÿ ïî îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé ýòîé ïîâåðõíîñòüþ.

Äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð Íàáëà:

∇ =



∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z



Òîãäà div

¯a = ∇¯a

Òåìà 17.

Ñôîðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèå ðîòîðà âåêòîðíîãî ïîëÿ. Âû÷èñëåíèå ðîòîðà â äåêàðòîâîé

ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó Ñòîêñà â âåêòîðíîé è êîîðäèíàòíîé

ôîðìå. Äàòü ôèçè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ èíòåãðàëîâ.

Îïðåäåëåíèå.

Ïóñòü â îáëàñòè

îïðåäåëåíî âåêòîðíîå ïîëå

¯a

M ∈ U

¯n

îðèåíòèðîâàíà òàê, ÷òî ñìîòðÿ ñ êîíöà âåêòîðà

¯n

, äâèæåíèå ïî

∂Σ

¯n

ïðîèñõîäèò ïðîòèâ ÷àñîâîé

ñòðåëêè.

ÊÈ II-ãî ðîäà

∂Σ

¯n

¯ad¯r

íàçûâàåòñÿ öèðêóëÿöèåé âåêòîðíîãî ïîëÿ

¯a

ïî êîíòóðó

∂Σ

¯n

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Ïðîåêöèÿ ðîòîðà âåêòîðíîãî ïîëÿ

¯a

â òî÷êå

ðàâíà (ïðè ñóùåñòâîâàíèè êîíå÷íîãî ïðåäåëà)

¯n

rot

¯a



= lim

¯n

→M

∂Σ

¯n

¯ad¯r

σ(Σ

¯n

)

Òåîðåìà.

Åñëè âåêòîðíîå ïîëå

¯a ∈ C

(1)

(U)

, òî âî âñåõ òî÷êàõ ýòîé îáëàñòè

îïðåäåëåí rot

¯a

è ìîæåò

áûòü âû÷èñëåí ïî ôîðìóëå:

rot

¯a =



∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

P Q R





∂R

∂y

−

∂Q

∂z



i −



∂R

∂x

−

∂P

∂z



j +



∂Q

∂x

−

∂P

∂y



Òåîðåìà.

Ïóñòü

 ãëàäêàÿ, îãðàíè÷åííàÿ, èçìåðèìàÿ, îðèåíòèðîâàííàÿ ïîâåðõíîñòü,

∂Σ

 ãëàäêèé,

çàìêíóòûé êîíòóð, îðèåíòèðîâàííûé òàê, ÷òî åñëè ñìîòðåòü ñ êîíöà âåêòîðà

¯n

, òî äâèæåíèå ïî

êîíòóðó ïðîèñõîäèò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè,

¯a ∈ C

(1)

(U), U ⊃ Σ ∪ ∂Σ

. Òîãäà

∂Σ

¯ad¯r =

rot

¯a d¯σ

â âåêòîðíîé ôîðìå

èëè

∂Σ

P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz =

êîîðäèíàòíàÿ ôîðìà



∂R

∂y

−

∂Q

∂z



dydz +



∂P

∂z

−

∂R

∂x



dzdx +



∂Q

∂x

−

∂P

∂y



dxdy

Îïðåäåëåíèå.

Öèðêóëÿöèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ ïî äàííîìó êîíòóðó ðàâíà ïîòîêó ðîòîðà ýòîãî æå ïîëÿ

÷åðåç ïîâåðõíîñòü, ãðàíèöåé êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ äàííûé êîíòóð.

Äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð Íàáëà:

∇ =



∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z



Òîãäà rot

¯a = ∇ × ¯a

Òåìà 18.

Îïðåäåëåíèÿ ðÿäà, ÷àñòè÷íîé ñóììû ðÿäà, ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà. Òåîðåìà îá îñòàòêå ÷èñëî-

âîãî ðÿäà. Îïåðàöèè íàä ðÿäàìè, èõ ñâîéñòâà. Íåîáõîäèìûé ïðèíàê ñõîäèìîñòè ÷èñëîâûõ ðÿäîâ.

Îïðåäåëåíèÿ àáñîëþòíî è óñëîâíî ñõîäÿùèõñÿ çíàêîïåðåìåííûõ ðÿäîâ. Òåîðåìà î ñâÿçè àáñîëþòíîé

è óñëîâíîé ñõîäèìîñòè.

Îïðåäåëåíèå

(×èñëîâîé ðÿä)

Âûðàæåíèå âèäà

∞

n=1

= a

+ a

+ ··· + a

+ . . . ,

ãäå

∈ R

, íàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíûì

÷èñëîâûì ðÿäîì

. ×èñëà

íàçûâàþòñÿ

÷ëåíàìè ðÿäà

Îïðåäåëåíèå

(×àñòè÷íàÿ ñóììà)

Ñóììà ïåðâûõ

÷ëåíîâ ðÿäà

k=1

= a

+ ··· + a

íàçûâàåòñÿ

-é ÷àñòè÷íîé ñóììîé

÷èñëîâîãî ðÿäà.

Îïðåäåëåíèå

(Ñõîäèìîñòü ðÿäà)

×èñëîâîé ðÿä

íàçûâàåòñÿ

ñõîäÿùèìñÿ

, åñëè ñóùåñòâóåò êî-

íå÷íûé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì:

lim

n→∞

= S.

×èñëî

íàçûâàåòñÿ

ñóììîé ðÿäà

. Åñëè ïðåäåë íå ñóùåñòâóåò èëè áåñêîíå÷åí, ðÿä íàçûâàåòñÿ

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

ðàñõîäÿùèìñÿ

Òåîðåìà

(Íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè ðÿäà)

Åñëè ÷èñëîâîé ðÿä

∞

n=1

ñõîäèòñÿ, òî ïðåäåë

åãî îáùåãî ÷ëåíà ðàâåí íóëþ:

lim

n→∞

= 0.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü ðÿä ñõîäèòñÿ. Òîãäà ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷à-

ñòè÷íûõ ñóìì

lim

n→∞

= S

. Çàïèøåì îáùèé ÷ëåí ðÿäà ÷åðåç ÷àñòè÷íûå ñóììû:

= S

− S

n−1

(

äëÿ

n ≥ 2).

Ïåðåéäåì ê ïðåäåëó ïðè

n → ∞

lim

n→∞

= lim

n→∞

− S

n−1

) = lim

n→∞

− lim

n→∞

n−1

= S − S = 0.

Îïðåäåëåíèå

(Îñòàòîê ðÿäà)

Îñòàòêîì ðÿäà

∞

n=1

ïîñëå

-ãî ÷ëåíà íàçûâàåòñÿ ðÿä, ïîëó÷åííûé

îòáðàñûâàíèåì ïåðâûõ

÷ëåíîâ:

∞

k=n+1

= a

n+1

+ a

n+2

+ . . .

Òåîðåìà

(Ñâîéñòâà îñòàòêà ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà)

Ïóñòü äàí ÷èñëîâîé ðÿä

1. Ðÿä

ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñõîäèòñÿ åãî

-é îñòàòîê

2. Åñëè ðÿä

ñõîäèòñÿ, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åãî îñòàòêîâ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ:

lim

n→∞

= 0.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Îáîçíà÷èì

 ÷àñòè÷íàÿ ñóììà èñõîäíîãî ðÿäà, à

 ÷àñòè÷íàÿ ñóììà îñòàòêà

(ñóììà

÷ëåíîâ, íà÷èíàÿ ñ

n+1

). Òîãäà ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî äëÿ ñóììû

n+k

÷ëåíîâ èñõîäíîãî

ðÿäà:

n+k

= S

+ σ

⇐⇒ σ

= S

n+k

− S

Ñõîäèìîñòü ðÿäà è îñòàòêà.

Ïîñêîëüêó

ôèêñèðîâàíî,

 êîíñòàíòà. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë ïðè

k → ∞

òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë

ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

n+k

. Åñëè

lim

k→∞

= R

, òî

lim

k→∞

n+k

= S

+ R

= S

Ïðåäåë îñòàòêà.

Åñëè ðÿä ñõîäèòñÿ ê ñóììå

, òî

= S −S

. Ïåðåéäåì ê ïðåäåëó ïðè

n → ∞

lim

n→∞

= lim

n→∞

(S − S

) = S − S = 0.

Òåîðåìà

(Ëèíåéíîñòü ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ)

Åñëè ðÿäû

ñõîäÿòñÿ è èõ ñóììû ðàâíû

ñîîòâåòñòâåííî, òî:

1. Ðÿä

(λa

)

ñõîäèòñÿ, è åãî ñóììà ðàâíà

λS

(äëÿ ëþáîãî

λ ∈ R

2. Ðÿä

+ b

)

ñõîäèòñÿ, è åãî ñóììà ðàâíà

+ S

Îïðåäåëåíèå

(Òèïû ñõîäèìîñòè)

Ïóñòü äàí ðÿä

ñ ïðîèçâîëüíûìè çíàêàìè ÷ëåíîâ.

1. Ðÿä íàçûâàåòñÿ

àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ

, åñëè ñõîäèòñÿ ðÿä èç ìîäóëåé åãî ÷ëåíîâ:

∞

n=1

2. Ðÿä íàçûâàåòñÿ

óñëîâíî ñõîäÿùèìñÿ

, åñëè ñàì ðÿä

ñõîäèòñÿ, à ðÿä èç ìîäóëåé

ðàñõîäèòñÿ.

Òåîðåìà

(Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè)

Åñëè ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, òî îí ñõîäèòñÿ.

Ñõîäèìîñòü

| =⇒

Ñõîäèìîñòü

Äîêàçàòåëüñòâî.

Âîñïîëüçóåìñÿ ïðåäñòàâëåíèåì ÷ëåíà ðÿäà ÷åðåç ïîëîæèòåëüíóþ è îòðèöàòåëüíóþ

÷àñòè. Ââåäåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:

| + a

−

| − a

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Î÷åâèäíî, ÷òî

≥ 0

−

≥ 0

. Ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ:

= a

− a

−

| = a

+ a

−

Èç íåðàâåíñòâ

0 ≤ a

≤ |a

0 ≤ a

−

≤ |a

, à òàêæå ñõîäèìîñòè ðÿäà

, ïî ïðèçíàêó

ñðàâíåíèÿ äëÿ ðÿäîâ ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ÷ëåíàìè ñëåäóåò ñõîäèìîñòü îáîèõ ðÿäîâ

−

Èñõîäíûé ðÿä

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàçíîñòü äâóõ ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ:

∞

n=1

∞

n=1

− a

−

) =

∞

n=1

−

∞

n=1

−

Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå î ëèíåéíûõ ñâîéñòâàõ, ðÿä

òàêæå ñõîäèòñÿ.

Òåìà 19.

Ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü ïðèçíàêè ñðàâíåíèÿ çíàêîïîëîæèòåëüíûõ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ.

Îïðåäåëåíèå.

Ïóñòü

}

 ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Òîãäà âûðàæåíèå âèäà

∞

n=1

= a

+ a

+ ··· + a

+ . . .

íàç. ÷èñëîâûì ðÿäîì.

Îïðåäåëåíèå.

×èñëî

k=1

íàç.

-é ÷àñòè÷íîé ñóììîé ðÿäà.

Îïðåäåëåíèå.

Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë

lim

n→∞

= S

, òî ÷èñëîâîé ðÿä

∞

n=1

íàç.

ñõîäÿùèìñÿ, à ÷èñëî

 åãî ñóììîé. Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ÷èñëîâîé ðÿä íàç. ðàñõîäÿùèìñÿ.

Òåîðåìà.

Åñëè ÷èñëîâîé ðÿä

∞

n=1

ñõîäèòñÿ, òî

lim

n→∞

= 0

∞

k=n+1



-é îñòàòîê ðÿäà.

Òåîðåìà.

1. åñëè ðÿä

∞

n=1

ñõîäèòñÿ, òî ñõîäèòñÿ ëþáîé îñòàòîê.

2. åñëè ñõîäèòñÿ êàêîé-íèáóäü îñòàòîê ðÿäà, òî ñõîäèòñÿ è ñàì ðÿä.

Òåîðåìà.

Åñëè ðÿäû

∞

n=1

= S

∞

n=1

= S

ñõîäÿòñÿ, òî

∀λ ∈ R

ðÿä

∞

n=1

λa

ñõîäèòñÿ è åãî ñóììà ðàâíà

λS

2. ðÿä

∞

n=1

+ b

)

ñõîäèòñÿ è åãî ñóììà ðàâíà

+ S

Òåîðåìà

(Ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà)

Åñëè

}

ìîíîòîííî âîçðàñòàåò è îãðàíè÷åíà ñâåðõó, òî

∃ lim

n→∞

= a ∈ R.

Ñëåäñòâèå:

ðÿä

∞

n=1

, a

≥ 0

ñõîäèòñÿ

⇔

ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì

}

îãðàíè-

÷åíà.

Òåîðåìà

(Ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ â êîíå÷íîé ôîðìå)

Ïóñòü äàíû ðÿäû

∞

n=1

, a

≥ 0

∞

n=1

, b

≥ 0

óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ

0 ≤ a

≤ b

. Òîãäà

1. åñëè ðÿä

∞

n=1

ñõîäèòñÿ, òî

∞

n=1

òîæå ñõîäèòñÿ.

2. åñëè ðÿä

∞

n=1

ðàñõîäèòñÿ, òî

∞

n=1

òîæå ðàñõîäèòñÿ.

Äîêàçàòåëüñòâî.

1. Ïóñòü ðÿä

∞

n=1

ñõîäèòñÿ. Îáîçíà÷èì åãî ñóììó ÷åðåç

Ðàññìîòðèì ÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäà

. Òàê êàê

0 ⩽ a

⩽ b

, òî ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî:

k=1

⩽

k=1

= S

⩽ S

Ïîñêîëüêó

⩾ 0

, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì

}

ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî íåóáûâàþ-

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

ùåé. Òàê êàê îíà îãðàíè÷åíà ñâåðõó ÷èñëîì

, òî ïî

òåîðåìå Âåéåðøòðàññà

ñóùåñòâóåò

êîíå÷íûé ïðåäåë

lim

n→∞

= S

. Ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä

∞

n=1

ñõîäèòñÿ.

2. Ïóñòü ðÿä

∞

n=1

ðàñõîäèòñÿ. Ïðåäïîëîæèì îò ïðîòèâíîãî, ÷òî ðÿä

∞

n=1

ñõîäèòñÿ. Òîãäà,

ñîãëàñíî ïóíêòó 1, â ñèëó íåðàâåíñòâà

⩽ b

, ðÿä

∞

n=1

òàêæå äîëæåí ñõîäèòüñÿ. Ìû ïðè-

øëè ê ïðîòèâîðå÷èþ ñ óñëîâèåì. Ñëåäîâàòåëüíî, íàøå ïðåäïîëîæåíèå íåâåðíî, è ðÿä

∞

n=1

ðàñõîäèòñÿ.

Òåîðåìà

(Ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ â ïðåäåëüíîé ôîðìå)

Ïóñòü

∞

n=1

∞

n=1

 äâà çíàêîïîëîæè-

òåëüíûõ ðÿäà (

> 0, b

> 0

), ïðè÷¼ì ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë

lim

n→∞

= c,

ãäå

0 < c < ∞.

Òîãäà ðÿäû

∞

n=1

∞

n=1

ñõîäÿòñÿ èëè ðàñõîäÿòñÿ îäíîâðåìåííî.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Òàê êàê ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë

lim

n→∞

= c > 0

, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

îòíîøåíèé

îãðàíè÷åíà. Òî åñòü ñóùåñòâóåò ÷èñëî

M > 0

, òàêîå ÷òî:

< M ∀n =⇒ a

< M b

∀n.

Ïîñêîëüêó

c = 0

, ñóùåñòâóåò òàêæå ïðåäåë îáðàòíîãî îòíîøåíèÿ:

lim

n→∞

= k > 0.

Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

òàêæå îãðàíè÷åíà. Òî åñòü ñóùåñòâóåò ÷èñëî

m > 0

, òàêîå

÷òî:

< m ∀n =⇒ b

< ma

∀n.

Ðàññìîòðèì âîçìîæíûå ñëó÷àè, èñïîëüçóÿ ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ â êîíå÷íîé ôîðìå (äëÿ íåðàâåíñòâ

< M b

< ma

1. Ïóñòü ðÿä

ñõîäèòñÿ. Òîãäà ñõîäèòñÿ è ðÿä

. Òàê êàê

< Mb

, òî ðÿä

òîæå

ñõîäèòñÿ.

2. Ïóñòü ðÿä

ñõîäèòñÿ. Òîãäà ñõîäèòñÿ è ðÿä

. Òàê êàê

< ma

, òî ðÿä

òîæå

ñõîäèòñÿ.

3. Ïóñòü ðÿä

ðàñõîäèòñÿ. Òàê êàê

< ma

, òî ðÿä

ðàñõîäèòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, ðàñ-

õîäèòñÿ è ðÿä

4. Ïóñòü ðÿä

ðàñõîäèòñÿ. Òàê êàê

< M b

, òî ðÿä

ðàñõîäèòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî,

ðàñõîäèòñÿ è ðÿä

Òàêèì îáðàçîì, ïîâåäåíèå ðÿäîâ èäåíòè÷íî.

Òåìà 20.

Ïðèçíàê Äàëàìáåðà ñõîäèìîñòè çíàêîïîëîæèòåëüíûõ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ.

Òåîðåìà.

Ïóñòü äëÿ çíàêîïîëîæèòåëüíîãî ðÿäà

∞

n=1

, a

> 0 ∃lim

n→∞

n+1

= q

. Òîãäà:

1. åñëè

q < 1

, òî ðÿä

∞

n=1

ñõîäèòñÿ

2. åñëè

q > 1

, òî ðÿä

∞

n=1

ðàñõîäèòñÿ

3. åñëè

q = 1,

òî íåîáõîäèìî äîïîëíèòåëüíîå èññëåäîâàíèå

Äîêàçàòåëüñòâî.

1. Ïóñòü

q < 1

. Âûáåðåì ÷èñëî

˜q

òàêîå, ÷òî

q < ˜q < 1

Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà:

lim

n→∞

n+1

= q ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃N (ε) : ∀n > N =⇒



n+1

− q



< ε.

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Ïîëîæèì

ε = ˜q − q > 0

. Òîãäà äëÿ âñåõ

n > N

n+1

− q < ˜q − q =⇒

n+1

< ˜q.

Ðàññìîòðèì îòíîøåíèå ïðîèçâîëüíîãî ÷ëåíà

N+m

ê ôèêñèðîâàííîìó

N+m

N+m−1

N+m−2

· ··· ·

N+1

Òàê êàê êàæäûé ìíîæèòåëü ìåíüøå

˜q

, ïîëó÷àåì îöåíêó:

N+m

< ˜q · ˜q · ··· · ˜q

| {z }

ðàç

= ˜q

=⇒ a

N+m

< a

· ˜q

Ðÿä

∞

m=1

˜q

ñõîäèòñÿ êàê áåñêîíå÷íî óáûâàþùàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ (òàê êàê

˜q <

). Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ ñõîäèòñÿ ðÿä

∞

m=1

N+m

(îñòàòîê èñõîäíîãî ðÿäà).

Òàê êàê ñõîäèìîñòü ðÿäà ðàâíîñèëüíà ñõîäèìîñòè åãî îñòàòêà, èñõîäíûé ðÿä

∞

n=1

ñõîäèòñÿ.

2. Ïóñòü

q > 1

. Âûáåðåì

òàê, ÷òîáû îêðåñòíîñòü íå çàõâàòûâàëà åäèíèöó, íàïðèìåð

ε = q − 1

Òîãäà ñóùåñòâóåò íîìåð

, òàêîé ÷òî äëÿ âñåõ

n > N

n+1

> 1 =⇒ a

n+1

> a

Ïîñêîëüêó

> 0

, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

}

ñòðîãî âîçðàñòàåò íà÷èíàÿ ñ íîìåðà

. Ñëåäîâà-

òåëüíî:

lim

n→∞

= 0.

Íå âûïîëíåí íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè (

lim a

= 0

), çíà÷èò, ðÿä ðàñõîäèòñÿ.

3. Ïóñòü

q = 1

. Ðàññìîòðèì äâà ïðèìåðà:



Ðÿä

(ãàðìîíè÷åñêèé). Äëÿ íåãî

lim

1/(n+1)

1/n

= 1

, ðÿä ðàñõîäèòñÿ.



Ðÿä

. Äëÿ íåãî

lim

1/(n+1)

1/n

= 1

, ðÿä ñõîäèòñÿ.

Òàê êàê ïðè

q = 1

âîçìîæíû îáà èñõîäà, ïðèçíàê íå äàåò îòâåòà.

Òåìà 21.

Ðàäèêàëüíûé ïðèçíàê Êîøè ñõîäèìîñòè çíàêîïîëîæèòåëüíûõ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ.

Òåîðåìà.

Ïóñòü äëÿ çíàêîïîëîæèòåëüíîãî ðÿäà

∞

n=1

∃lim

n→∞

√

= q

. Òîãäà:

1. åñëè

q < 1

, òî ðÿä

∞

n=1

ñõîäèòñÿ.

2. åñëè

q > 1

, òî ðÿä

∞

n=1

ðàñõîäèòñÿ.

3. åñëè

q = 1

, òî òðåáóåòñÿ äîïîëíèòåëüíîå èññëåäîâàíèå.

Äîêàçàòåëüñòâî.

1. Ïóñòü

q < 1

. Âûáåðåì ÷èñëî

˜q

òàê, ÷òîáû

q < ˜q < 1

Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà, äëÿ

ε = ˜q − q > 0

ñóùåñòâóåò íîìåð

, òàêîé ÷òî äëÿ âñåõ

n > N

âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî:

√

< q + ε = q + (˜q − q) = ˜q.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

< ˜q

äëÿ âñåõ

n > N

Ðÿä

∞

n=1

˜q

ñõîäèòñÿ êàê áåñêîíå÷íî óáûâàþùàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ (òàê êàê

0 < ˜q <

). Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ èñõîäíûé ðÿä

∞

n=1

òàêæå ñõîäèòñÿ.

2. Ïóñòü

q > 1

. Âûáåðåì

òàê, ÷òîáû îêðåñòíîñòü

(q −ε, q + ε)

ëåæàëà ïðàâåå åäèíèöû (íàïðèìåð,

ε = q − 1

Òàê êàê

lim

n→∞

√

= q

, òî íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà

, âñå çíà÷åíèÿ êîðíÿ ïîïàäàþò â

ýòó îêðåñòíîñòü, à çíà÷èò:

√

> 1 ∀n > N.

Âîçâîäÿ â ñòåïåíü

, ïîëó÷àåì

> 1

ïðè

n > N

. Ñëåäîâàòåëüíî,

lim

n→∞

= 0

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Ðÿä ðàñõîäèòñÿ, òàê êàê íå âûïîëíåíî íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè ðÿäà.

Òåìà 22.

Èíòåãðàëüíûé ïðèçíàê Êîøè ñõîäèìîñòè çíàêîïîëîæèòåëüíûõ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ. Èññëåäî-

âàíèå íà ñõîäèìîñòü ðÿäà Äèðèõëå

Òåîðåìà

(Èíòåãðàëüíûé ïðèçíàê Êîøè)

Ïóñòü ôóíêöèÿ

f(x)

îïðåäåëåíà íà ïðîìåæóòêå

[1, +∞)

óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:

1. íåïðåðûâíà íà ýòîì ïðîìåæóòêå;

2. íåîòðèöàòåëüíà, òî åñòü

f(x) ⩾ 0

;

3. ìîíîòîííî íå âîçðàñòàåò.

Òîãäà íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë

+∞

f(x) dx

è ÷èñëîâîé ðÿä

∞

n=1

f(n)

ñõîäÿòñÿ èëè ðàñõîäÿòñÿ îäíîâðå-

ìåííî.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Îáîçíà÷èì

= f(n)

. Òàê êàê ôóíêöèÿ

f(x)

ìîíîòîííî íå âîçðàñòàåò, äëÿ ëþáîãî

x ∈ [n, n + 1]

ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî:

f(n + 1) ⩽ f(x) ⩽ f (n).

Ñëåäîâàòåëüíî,

n+1

⩽ f (x) ⩽ a

. Ïðîèíòåãðèðóåì ýòî íåðàâåíñòâî ïî îòðåçêó

[n, n + 1]

äëèíû

n+1

dx ⩽

n+1

f(x) dx ⩽

n+1

dx,

îòêóäà ïîëó÷àåì (òàê êàê

êîíñòàíòû):

n+1

⩽

n+1

f(x) dx

| {z }

⩽ a

Îáîçíà÷èì

n+1

f(x) dx

. Ïîëó÷èëè äâîéíîå íåðàâåíñòâî:

0 ⩽ a

n+1

⩽ b

⩽ a

(2)

Ñõîäèìîñòü.

Ïóñòü ðÿä

∞

n=1

ñõîäèòñÿ. Òîãäà ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ (ïðàâàÿ ÷àñòü íåðà-

âåíñòâà 2) ñõîäèòñÿ ðÿä

∞

n=1

. ×àñòè÷íàÿ ñóììà ýòîãî ðÿäà ðàâíà:

n=1

n+1

f(x) dx =

N+1

f(x) dx.

Ñõîäèìîñòü ðÿäà îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë

lim

N→∞

. À ïîñêîëüêó

f(x) ⩾ 0

èíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ

F (A) =

f(x) dx

íå óáûâàåò. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé

ïðåäåë

lim

A→+∞

F (A)

, òî åñòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë

+∞

f(x) dx

ñõîäèòñÿ.

Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå.

Ïóñòü èíòåãðàë

+∞

f(x) dx

ñõîäèòñÿ. Ýòî ðàâíîñèëüíî ñõîäèìîñòè

ðÿäà

. Òîãäà èç ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (2),

n+1

⩽ b

, ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ ñëåäóåò

ñõîäèìîñòü ðÿäà

∞

n=1

n+1

, à çíà÷èò è èñõîäíîãî ðÿäà

∞

n=1

Ðàñõîäèìîñòü.

Ñëåäóåò èç äîêàçàííîãî ìåòîäîì "îò ïðîòèâíîãî". Åñëè áû îäèí îáúåêò ðàñ-

õîäèëñÿ, à äðóãîé ñõîäèëñÿ, ìû áû ïðèøëè ê ïðîòèâîðå÷èþ ñ ïóíêòàìè 1 èëè 2.

Ïðèìåð: Èññëåäîâàíèå ðÿäà Äèðèõëå

∞

n=1

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

1) Ïðè

p > 0

ôóíêöèÿ

f(x) =

íåïðåðûâíà, ïîëîæèòåëüíà è ìîíîòîííî óáûâàåò íà

[1, +∞)

Ïðèìåíèì èíòåãðàëüíûé ïðèçíàê:

+∞

= lim

A→+∞

−p











ln x



A→∞

−−−−→ +∞, p = 1,

1−p



1−p

−1

1−p

A→∞

−−−−→ +∞, 0 < p < 1,

1−p



1−p



p−1

− 1



A→∞

−−−−→

p−1

, p > 1.

Òàêèì îáðàçîì, ïðè

p > 1

èíòåãðàë (è ðÿä) ñõîäèòñÿ, à ïðè

0 < p ⩽ 1

 ðàñõîäèòñÿ.

2) Ïðè

p ⩽ 0

èíòåãðàëüíûé ïðèçíàê ïðèìåíÿòü íåëüçÿ (ôóíêöèÿ íå óáûâàåò), îäíàêî îáùèé ÷ëåí

ðÿäà

= n

−p

íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè

n → ∞

(ðàâåí 1 èëè ðàñòåò). Ðÿä ðàñõîäèòñÿ ïî

íåîáõîäèìîìó ïðèçíàêó ñõîäèìîñòè

Èòîã:

Ðÿä ñõîäèòñÿ ïðè

p > 1

è ðàñõîäèòñÿ ïðè

p ⩽ 1

Òåìà 23.

Ðàçëîæåíèÿ îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé â ðÿä Ìàêëîðåíà (

, sin x, cos x, (1+x)

, ln(1+

Îïðåäåëåíèå

(Ðÿä Ìàêëîðåíà)

Ðÿäîì Ìàêëîðåíà ôóíêöèè

f(x)

íàçûâàåòñÿ ñòåïåííîé ðÿä âèäà:

f(x) ∼

∞

n=0

(n)

(0)

Îïðåäåëåíèå

(

)

∞

n=0

(∗)

Äîêàçàòåëüñòâî

(Îáîñíîâàíèå ñõîäèìîñòè äëÿ

)

Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé èíòåðâàë

(−R, R)

, ãäå

R > 0

. Äëÿ ëþáîãî

x ∈ (−R, R)

è ëþáîãî

n ∈ N

âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà ìîäóëÿ ïðîèçâîäíîé:

|(e

)

(n)

| = |e

| < e

Âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé:

Òåîðåìà

(Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ðàçëîæèìîñòè â ðÿä Òåéëîðà)

Ïóñòü

f(x) ∈ C

∞

))

. Åñëè ñó-

ùåñòâóåò êîíñòàíòà

M > 0

, òàêàÿ ÷òî äëÿ âñåõ

n ∈ N

è âñåõ

x ∈ U

)

âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

(n)

(x)| ≤ M

, òî ðÿä Òåéëîðà ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè

f(x)

â ýòîé îêðåñòíîñòè.

Òàê êàê

M = e

ñóùåñòâóåò äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî

, òî ðÿä

(∗)

ñõîäèòñÿ ê

íà èíòåðâàëå

(−R, R)

. Â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà

, îáëàñòü ñõîäèìîñòè:

∞

n=0

, x ∈ (−∞, +∞).

Îïðåäåëåíèå

(

sin x

)

∞

k=0

(−1)

(2k + 1)!

2k+1

(∗∗)

Äîêàçàòåëüñòâî

(Îáîñíîâàíèå ñõîäèìîñòè äëÿ

sin x

)

Çàìåòèì, ÷òî

|sin

(n)

(x)| = |sin(x +

n)| ≤ 1

äëÿ

ëþáûõ

x ∈ R

è ëþáûõ

Ïî

äîñòàòî÷íîìó óñëîâèþ ðàçëîæèìîñòè

(ñì. òåîðåìó âûøå), ãäå

M = 1

, ðÿä

(∗∗)

ñõîäèòñÿ

sin x

íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé:

sin x =

∞

n=0

(−1)

(2n + 1)!

2n+1

, x ∈ (−∞, +∞).

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Îïðåäåëåíèå

(

cos x

)

cos x =

∞

n=0

(−1)

(2n)!

, x ∈ (−∞, +∞).

Îïðåäåëåíèå

(

(1 + x)

)

(1 + x)

= 1 + mx +

m(m − 1)

+ ··· +

m(m − 1) . . . (m − n + 1)

+ . . .

Îáëàñòü ñõîäèìîñòè:

x ∈ (−1, 1)

Îïðåäåëåíèå

(

ln(1 + x)

)

ln(1 + x) =

∞

n=1

(−1)

n−1

, x ∈ (−1, 1].

Òåìà 24.

Çíàêî÷åðåäóþùèåñÿ ÷èñëîâûå ðÿäû. Ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü ïðèçíàê Ëåéáíèöà. Ñëåä-

ñòâèå îá îöåíêå îñòàòêà çíàêî÷åðåäóþùåãîñÿ ðÿäà.

Îïðåäåëåíèå.

Ðÿä

∞

n=1

íàç. çíàêî÷åðåäóþùèìñÿ, åñëè ëþáûå äâà ñîñåäíèõ ÷ëåíà èìåþò ïðîòè-

âîïîëîæíûå çíàêè

∞

n=0

(−1)

, a

> 0.

Òåîðåìà

(Ïðèçíàê Ëåéáíèöà)

Ïóñòü äëÿ çíàêî÷åðåäóþùåãîñÿ ðÿäà

∞

n=1

(−1)

n−1

(

> 0

) âûïîë-

íåíû óñëîâèÿ:

1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

}

ìîíîòîííî óáûâàåò:

n+1

< a

äëÿ âñåõ

n > N

;

lim

n→∞

= 0

Òîãäà ðÿä

∞

n=1

(−1)

n−1

ñõîäèòñÿ.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ðàññìîòðèì ÷àñòè÷íóþ ñóììó ñ ÷¼òíûì íîìåðîì

. Ñãðóïïèðóåì ñëàãàåìûå:

= (a

− a

)

| {z }

+ (a

− a

)

| {z }

+ ··· + (a

2n−1

− a

)

| {z }

> 0.

Îöåíèì ñëåäóþùèé ÷¼òíûé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:

2n+2

= S

+ (a

2n+1

− a

2n+2

)

| {z }

> S

Çíà÷èò, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

}

âîçðàñòàåò. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, çàïèøåì ñóììó èíà÷å:

= a

− (a

− a

)

| {z }

−(a

− a

)

| {z }

−··· − a

|{z}

< a

Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

}

âîçðàñòàåò è îãðàíè÷åíà ñâåðõó ÷èñëîì

. Ïî

òåîðåìå Âåéåðøòðàññà

ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë:

lim

n→∞

= S.

Òåïåðü ðàññìîòðèì ÷àñòè÷íûå ñóììû ñ íå÷¼òíûì íîìåðîì:

2n+1

= S

+ a

2n+1

Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó è èñïîëüçóÿ óñëîâèå

lim

n→∞

= 0

, ïîëó÷àåì:

lim

n→∞

2n+1

= lim

n→∞

+ lim

n→∞

2n+1

= S + 0 = S.

Òàê êàê ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóìì ñ ÷¼òíûìè è íå÷¼òíûìè íîìåðàìè ñõîäÿòñÿ ê îäíîìó

è òîìó æå ïðåäåëó

, òî è âñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì

}

ñõîäèòñÿ ê

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

→ S

2n+1

→ S

)

=⇒ lim

n→∞

= S.

Ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä ñõîäèòñÿ.

Òåìà 25.

Ñôîðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèå äåéñòâèòåëüíîãî ñòåïåííîãî ðÿäà. Ñôîðìóëèðîâàòü è äîêà-

çàòü ïåðâóþ òåîðåìó Àáåëÿ è ñëåäñòâèå îá èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà.

Îïðåäåëåíèå

(Ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä)

Ïóñòü äàíû ôóíêöèè

(x)

n = 1, 2, . . .

, îïðåäåë¼ííûå íà íåêî-

òîðîì ìíîæåñòâå

. Âûðàæåíèå âèäà

∞

n=1

(x) = f

(x) + f

(x) + . . .

íàçûâàåòñÿ

ôóíêöèîíàëüíûì ðÿäîì

Ñóììà

(x) =

k=1

(x)

íàçûâàåòñÿ

-é ÷àñòè÷íîé ñóììîé ðÿäà.

Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé

x ∈ X

, ïðè êîòîðûõ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì

(x)}

ñõîäèòñÿ, íàçûâàåòñÿ

îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè

ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà.

Îïðåäåëåíèå

(Ñòåïåííîé ðÿä)

Ðÿä âèäà

∞

n=0

(x − x

)

= c

+ c

(x − x

) + c

(x − x

)

+ . . .

íàçûâàåòñÿ

ñòåïåííûì ðÿäîì



∈ R

 öåíòð ñòåïåííîãî ðÿäà;



∈ R

 êîýôôèöèåíòû ñòåïåííîãî ðÿäà.

Çàìå÷àíèå:

Çàìåíîé

t = x − x

ñòåïåííîé ðÿä ñâîäèòñÿ ê âèäó

∞

n=0

(ðÿä ñ öåíòðîì â íóëå).

Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ðÿäû ñ öåíòðîì â òî÷êå

Òåîðåìà

(Ïåðâàÿ òåîðåìà Àáåëÿ)

Åñëè ñòåïåííîé ðÿä

∞

n=0

ñõîäèòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå

= 0

òî îí ñõîäèòñÿ

àáñîëþòíî

ïðè ëþáîì

, óäîâëåòâîðÿþùåì óñëîâèþ

|x| < |x

Äîêàçàòåëüñòâî.

Òàê êàê ðÿä

∞

n=0

ñõîäèòñÿ, òî ïî íåîáõîäèìîìó ïðèçíàêó ñõîäèìîñòè ðÿäîâ

îáùèé ÷ëåí ñòðåìèòñÿ ê íóëþ:

lim

n→∞

= 0.

Ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îãðàíè÷åíà, ïîýòîìó ñóùåñòâóåò ÷èñëî

M > 0

, òàêîå ÷òî:

| ≤ M

äëÿ âñåõ

n = 0, 1, 2, . . .

Ðàññìîòðèì ðÿä

∞

n=0

â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå

, ãäå

|x| < |x

. Îöåíèì ìîäóëü îáùåãî ÷ëåíà

ýòîãî ðÿäà:

| = |c

| ·



≤ M · q

ãäå îáîçíà÷åíî

q =



. Òàê êàê

|x| < |x

, òî

0 ≤ q < 1

Ðÿä

∞

n=0

ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðèçíàêó

ñðàâíåíèÿ, ðÿä èç ìîäóëåé

∞

n=0

ñõîäèòñÿ.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èñõîäíûé ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî.

Òåîðåìà

(Î ðàäèóñå è èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè)

Äëÿ ëþáîãî ñòåïåííîãî ðÿäà

∞

n=0

ñóùåñòâóåò

òàêîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî

(êîíå÷íîå èëè ðàâíîå

+∞

), íàçûâàåìîå

ðàäèóñîì ñõîäèìîñòè

÷òî:

1. ïðè

|x| < R

ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî;

2. ïðè

|x| > R

ðÿä ðàñõîäèòñÿ.

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Èíòåðâàë

(−R, R)

íàçûâàåòñÿ

èíòåðâàëîì ñõîäèìîñòè

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî

D = {|x| |

ðÿä

∞

n=0

ñõîäèòñÿ

}

. Ýòî ìíîæåñòâî íå ïó-

ñòî, òàê êàê ñîäåðæèò

. Ïîëîæèì

R = sup D

(òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà).

1. Ñëó÷àé

|x| > R

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè íåêîòîðîì

ñ ìîäóëåì

|x| > R

ðÿä ñõîäèòñÿ. Òîãäà

|x| ∈ D

, íî ýòî ïðîòèâîðå-

÷èò òîìó, ÷òî

ÿâëÿåòñÿ âåðõíåé ãðàíüþ ìíîæåñòâà

. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè

|x| > R

ðÿä ðàñõîäèòñÿ.

2. Ñëó÷àé

|x| < R

Ïî îïðåäåëåíèþ ñóïðåìóìà, äëÿ ëþáîãî

òàêîãî, ÷òî

|x| < R

, íàéäåòñÿ òî÷êà

èç ìíîæåñòâà

ñõîäèìîñòè, òàêàÿ ÷òî

|x| < |x

| ≤ R

. Òàê êàê

| ∈ D

, òî ðÿä ñõîäèòñÿ â òî÷êå

(èëè â

−x

). Òîãäà

ïî ïåðâîé òåîðåìå Àáåëÿ ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â òî÷êå

Òåìà 26.

Ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü òåîðåìó î ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà íà îòðåçêå,

ëåæàùåì âíóòðè èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè.

Òåîðåìà

(Î ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà âíóòðè èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè)

Ïóñòü

R > 0



ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà

∞

n=0

. Òîãäà äëÿ ëþáîãî ÷èñëà

òàêîãî, ÷òî

0 < r < R

äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå

[−r; r]

Äîêàçàòåëüñòâî.

Òàê êàê

0 < r < R

, òî÷êà

ëåæèò ñòðîãî âíóòðè èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè

(−R; R)

. Èç

ñâîéñòâ ñòåïåííûõ ðÿäîâ ñëåäóåò, ÷òî â ëþáîé âíóòðåííåé òî÷êå èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè ðÿä ñõîäèòñÿ

àáñîëþòíî. Ñëåäîâàòåëüíî, ñõîäèòñÿ ÷èñëîâîé ðÿä:

∞

n=0

| =

∞

n=0

Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé

x ∈ [−r; r]

. Òîãäà

|x| ⩽ r

. Îöåíèì ìîäóëü îáùåãî ÷ëåíà èñõîäíîãî ðÿäà:

| = |c

| · |x|

⩽ |c

Ïîñêîëüêó ðÿä

∞

n=0

ñõîäèòñÿ è åãî ÷ëåíû íå çàâèñÿò îò

, îí ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ ìàæî-

ðàíòîé äëÿ èñõîäíîãî ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà íà îòðåçêå

[−r; r]

Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðèçíàêó Âåéåðøòðàññà ðÿä

∞

n=0

ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå

[−r; r]

Òåìà 27.

Ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìû î ïî÷ëåííîì èíòåãðèðîâàíèè è äèôôåðåíöèðîâàíèè ñòåïåííûõ

ðÿäîâ.

Îïðåäåëåíèå.

Ïóñòü äàí ñòåïåííîé ðÿä:

S(x) =

∞

n=0

(x − x

)

(3)

ðàäèóñ ñõîäèìîñòè êîòîðîãî

R > 0

. Îáëàñòü ñõîäèìîñòè ðÿäà (èíòåðâàë) îáîçíà÷èì êàê

I = (x

−

R, x

+ R)

Òåîðåìà

(Î ïî÷ëåííîì äèôôåðåíöèðîâàíèè ñòåïåííîãî ðÿäà)

Âíóòðè èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè

ñòå-

ïåííîé ðÿä (3) ìîæíî äèôôåðåíöèðîâàòü ïî÷ëåííî ëþáîå ÷èñëî ðàç.

Ðÿä, ïîëó÷åííûé ïîñëå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ:

′

(x) =

∞

n=1

(x − x

)

n−1

èìååò òîò æå ðàäèóñ ñõîäèìîñòè

, ÷òî è èñõîäíûé ðÿä. Ïðè ýòîì ñóììà ïîëó÷åííîãî ðÿäà ðàâíà

ïðîèçâîäíîé îò ñóììû èñõîäíîãî ðÿäà.

Òåîðåìà

(Î ïî÷ëåííîì èíòåãðèðîâàíèè ñòåïåííîãî ðÿäà)

Âíóòðè èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè

ñòåïåííîé

ðÿä (3) ìîæíî èíòåãðèðîâàòü ïî÷ëåííî.

Äëÿ ëþáîãî îòðåçêà

[a, b] ⊂ I

(èëè äëÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà îò

äî

, ãäå

|x − x

| < R

)

ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:

S(t) dt =

∞

n=0

(t − x

)

dt =

∞

n=0

n + 1

(x − x

)

n+1

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Ðÿä, ïîëó÷åííûé ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ, èìååò òîò æå ðàäèóñ ñõîäèìîñòè

, ÷òî è èñõîäíûé ðÿä.

Òåìà 28.

Ñôîðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèå ðÿäà Òåéëîðà áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè. Ñôîð-

ìóëèðîâàòü è äîêàçàòü òåîðåìó î êîýôôèöèåíòàõ ñõîäÿùåãîñÿ ñòåïåííîãî ðÿäà, ñóììîé êîòîðîãî ÿâ-

ëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ

f(x)

. Ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü òåîðåìó î ñóììå

ðÿäà Òåéëîðà áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè, ïðîèçâîäíûå êîòîðîé îãðàíè÷åíû â ñîâîêóï-

íîñòè.

Îïðåäåëåíèå.

Ïóñòü ôóíêöèÿ

f(x)

áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà â îêðåñòíîñòè òî÷êè

(ò.å.

f ∈

∞

(U(x

))

Ðÿäîì Òåéëîðà

ýòîé ôóíêöèè â òî÷êå

íàçûâàåòñÿ ñòåïåííîé ðÿä âèäà:

∞

n=0

(n)

)

(x − x

)

Òåîðåìà

(Î åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ / Î êîýôôèöèåíòàõ ðÿäà)

Åñëè ôóíêöèÿ

f(x)

â íåêîòîðîì

èíòåðâàëå

− R, x

+ R)

ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ñõîäÿùåãîñÿ ñòåïåííîãî ðÿäà

f(x) =

∞

n=0

(x − x

)

òî ýòîò ðÿä ÿâëÿåòñÿ å¼ ðÿäîì Òåéëîðà, à åãî êîýôôèöèåíòû

îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè:

(n)

)

, n = 0, 1, 2, . . .

Äîêàçàòåëüñòâî.

Òàê êàê ñòåïåííîé ðÿä ñõîäèòñÿ â èíòåðâàëå

−R, x

+R)

, âíóòðè ýòîãî èíòåðâàëà

åãî ìîæíî ïî÷ëåííî äèôôåðåíöèðîâàòü ëþáîå ÷èñëî ðàç.

1. Ïîëîæèì

x = x

â èñõîäíîì ðÿäå:

f(x

) = c

+ c

(0) + ··· = c

=⇒ c

(0)

)

2. Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ðÿä îäèí ðàç:

′

(x) =

∞

n=1

(x − x

)

n−1

Ïîäñòàâèì

x = x

′

) = 1 · c

=⇒ c

′

)

3. Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ðÿä

ðàç:

(k)

(x) =

∞

n=k

n(n − 1) . . . (n − k + 1)c

(x − x

)

n−k

Ïðè ïîäñòàíîâêå

x = x

âñå ñëàãàåìûå ñ

n > k

îáðàùàþòñÿ â íîëü. Îñòàåòñÿ òîëüêî ñëàãàåìîå ïðè

n = k

(k)

) = k! · c

=⇒ c

(k)

)

Òåîðåìà äîêàçàíà.

Òåîðåìà

(Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè ðÿäà Òåéëîðà)

Ïóñòü ôóíêöèÿ

f(x)

áåñêîíå÷íî äèôôåðåí-

öèðóåìà â îêðåñòíîñòè

U(x

)

è ñóùåñòâóåò ÷èñëî

M > 0

òàêîå, ÷òî âñå å¼ ïðîèçâîäíûå îãðàíè÷åíû

â ýòîé îêðåñòíîñòè â ñîâîêóïíîñòè, òî åñòü:

(n)

(x)| ≤ M ∀n ∈ N ∪ {0}, ∀x ∈ U (x

Òîãäà â ýòîé îêðåñòíîñòè ôóíêöèÿ

f(x)

ïðåäñòàâèìà ñâîèì ðÿäîì Òåéëîðà (ðÿä ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè):

f(x) =

∞

n=0

(n)

)

(x − x

)

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Äîêàçàòåëüñòâî.

Çàïèøåì ôîðìóëó Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ëàãðàíæà äëÿ íåêîòî-

ðîãî

f(x) =

k=0

(k)

)

(x − x

)

+ R

(x),

ãäå

(x) =

(n+1)

(ξ)

(n+1)!

(x − x

)

n+1

, à òî÷êà

ëåæèò ìåæäó

Îöåíèì ìîäóëü îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà, èñïîëüçóÿ óñëîâèå îãðàíè÷åííîñòè ïðîèçâîäíûõ (

(n+1)

(ξ)| ≤

(x)| =



(n+1)

(ξ)

(n + 1)!

(x − x

)

n+1



≤ M

|x − x

n+1

(n + 1)!

Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî

A ∈ R

ïðåäåë

lim

n→∞

= 0

. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè

n → ∞

âåëè÷èíà

|x−x

n+1

(n+1)!

→ 0

Çíà÷èò,

lim

n→∞

(x) = 0

. Ýòî ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî ñóììà ðÿäà Òåéëîðà ðàâíà

f(x)

Òåìà 29.

Ñôîðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèÿ àáñîëþòíî è óñëîâíî ñõîäÿùèõñÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ

ðÿäîâ. Òåîðåìà î ñâÿçè àáñîëþòíîé è óñëîâíîé ñõîäèìîñòè. Ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü òåîðåìó î

ñâÿçè ñõîäèìîñòè êîìïëåêñíîãî ÷èñëîâîãî ðÿäà è ñõîäèìîñòè åãî äåéñòâèòåëüíîé è ìíèìîé ÷àñòåé.

Îïðåäåëåíèå

(Êîìïëåêñíûé ÷èñëîâîé ðÿä)

Êîìïëåêñíûì ÷èñëîâûì ðÿäîì íàçûâàþò âûðàæåíèå

âèäà

∞

n=1

ãäå

∈ C, z

= x

+ iy

Îïðåäåëåíèå

(×àñòè÷íàÿ ñóììà ðÿäà)

×àñòè÷íîé ñóììîé ðÿäà íàçûâàþò ñóììó ïåðâûõ

÷ëåíîâ:

k=1

Îïðåäåëåíèå

(Ñõîäÿùèéñÿ ðÿä)

Êîìïëåêñíûé ÷èñëîâîé ðÿä

∞

n=1

íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ ê ñóì-

ìå

, åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóìì:

lim

n→∞

= S ∈ C.

∀ε > 0 ∃N = N (ε) : ∀n > N |S

− S| < ε.

Îïðåäåëåíèå

(Àáñîëþòíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä)

Êîìïëåêñíûé ÷èñëîâîé ðÿä

∞

n=1

íàçûâàåòñÿ àáñî-

ëþòíî ñõîäÿùèìñÿ, åñëè ñõîäèòñÿ ðÿä èç ìîäóëåé

∞

n=1

(êàê äåéñòâèòåëüíûé çíàêîïîëîæèòåëü-

íûé ðÿä).

Îïðåäåëåíèå

(Óñëîâíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä)

Êîìïëåêñíûé ÷èñëîâîé ðÿä

∞

n=1

íàçûâàåòñÿ óñëîâíî

ñõîäÿùèìñÿ, åñëè ñàì ðÿä ñõîäèòñÿ, à ðÿä èç ìîäóëåé

∞

n=1

ðàñõîäèòñÿ.

Òåîðåìà

(Ñâÿçü àáñîëþòíîé è îáû÷íîé ñõîäèìîñòè)

Åñëè êîìïëåêñíûé ÷èñëîâîé ðÿä ñõîäèòñÿ àáñî-

ëþòíî, òî îí ñõîäèòñÿ.

Åñëè ñõîäèòñÿ

∞

n=1

òî ñõîäèòñÿ è

∞

n=1

Îïðåäåëåíèå

(Äåéñòâèòåëüíàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòè ðÿäà)

Ïóñòü

= x

+ iy

. Òîãäà:

∞

n=1

∞

n=1

+ iy

) =⇒ S

= X

+ iY

ãäå

k=1

 ÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäîâ èç äåéñòâèòåëüíûõ è ìíèìûõ ÷àñòåé.

Òåîðåìà

(Êðèòåðèé ñõîäèìîñòè êîìïëåêñíîãî ðÿäà ÷åðåç äåéñòâèòåëüíóþ è ìíèìóþ ÷àñòè)

Ïóñòü äàí

ðÿä

∞

n=1

, ãäå

= x

+ iy

1. Ðÿä

∞

n=1

ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñõîäÿòñÿ îáà ðÿäà

∞

n=1

∞

n=1

. Ïðè

ýòîì

+ i

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

2. Ðÿä

∞

n=1

ñõîäèòñÿ

àáñîëþòíî

òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

àáñîëþòíî

ñõîäÿòñÿ îáà ðÿäà

∞

n=1

∞

n=1

Äîêàçàòåëüñòâî.

1. Èñïîëüçóåì ñâîéñòâà ïðåäåëîâ. Îáîçíà÷èì

= X

+ iY

. Èçâåñòíî, ÷òî ïî-

ñëåäîâàòåëüíîñòü êîìïëåêñíûõ ÷èñåë

ñõîäèòñÿ ê

S = A + iB

òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà:

lim

n→∞

= A

lim

n→∞

= B.

Ñëåäîâàòåëüíî, ñõîäèìîñòü ðÿäà

ðàâíîñèëüíà ñõîäèìîñòè ðÿäîâ

2. Íàì íóæíî äîêàçàòü ñâÿçü ñõîäèìîñòè ðÿäà

è ðÿäîâ

Çàïèøåì ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà:

| =

+ y

. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà:

| ≤

+ y

= |z

|, |y

| ≤

+ y

= |z

À òàêæå (íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà):

| =

+ y

≤ |x

| + |y

(

⇐

) Ïóñòü ñõîäèòñÿ

. Òàê êàê

| ≤ |z

, òî ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ äëÿ

ïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâ, ðÿäû

òàêæå ñõîäÿòñÿ.

(

⇒

) Ïóñòü ñõîäÿòñÿ

. Òîãäà ñõîäèòñÿ ðÿä èõ ñóìì

(|x

| + |y

. Òàê êàê

| ≤

| + |y

, òî ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ ðÿä

ñõîäèòñÿ.

Òåìà 30.

Êîìïëåêñíûå ñòåïåííûå ðÿäû. Ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü òåîðåìó Àáåëÿ. Êðóã, ðàäèóñ

è îáëàñòü ñõîäèìîñòè êîìïëåêñíîãî ñòåïåííîãî ðÿäà.

Îïðåäåëåíèå

(Êîìïëåêñíûé ñòåïåííîé ðÿä)

Êîìïëåêñíûì ñòåïåííûì ðÿäîì íàçûâàåòñÿ ðÿä âèäà

∞

n=0

(z − z

)

; z

, c

∈ C

Òåîðåìà

(Òåîðåìà Àáåëÿ)

1. Åñëè ñòåïåííîé ðÿä

∞

n=0

(z −z

)

ñõîäèòñÿ â òî÷êå

∗

∈ C

∗

= z

, òî ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî

âî âñåõ òî÷êàõ

, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó

|z − z

| < |z

∗

− z

2. Åñëè ñòåïåííîé ðÿä

∞

n=0

(z − z

)

ðàñõîäèòñÿ â òî÷êå

∗

∈ C

∗

= z

, òî ðÿä ðàñõîäèòñÿ âî

âñåõ òî÷êàõ

, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó

|z − z

| > |z

∗

− z

Äîêàçàòåëüñòâî.

Äîêàæåì ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû. Ïî óñëîâèþ ðÿä

∞

n=0

(z − z

)

ñõîäèòñÿ â

òî÷êå

∗

. Ýòî îçíà÷àåò ñõîäèìîñòü ÷èñëîâîãî ðÿäà ñ îáùèì ÷ëåíîì

∗

− z

)

. Â ñèëó ñõîäèìîñòè

ýòîãî ðÿäà

lim

n→∞

∗

− z

)

= 0

. Â ñèëó îãðàíè÷åííîñòè ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

∃M > 0 : |c

∗

− z

)

| ≤ M, n ∈ N

Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó

, óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèþ

|z − z

| < |z

∗

− z

Òîãäà



z − z

∗

− z



|z − z

∗

− z

= q < 1

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Èìååì

(z − z

)

| =



∗

− z

)



z − z

∗

− z





z − z

∗

− z



∗

− z

)

| ≤ Mq

Òàê êàê ðÿä ñ îáùèì ÷ëåíîì

ïðè

0 ≤ q < 1

ñõîäèòñÿ, òî ïî ïåðâîìó ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ

çíàêîïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâ ñõîäèòñÿ ðÿä ñ îáùèì ÷ëåíîì

(z − z

)

, çíà÷èò, ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî

ðÿä

∞

n=0

(z − z

)

âî âñåõ òî÷êàõ

, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó

|z − z

| < |z

∗

− z

Äîêàæåì âòîðîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðÿä

∞

n=0

∗

−z

)

ðàñõîäèòñÿ. Åñëè áû

â òî÷êå

, äëÿ êîòîðîé âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî

|z −z

| > |z

∗

−z

, ðÿä ñõîäèëñÿ áû, òî â ñèëó ïåðâîé

÷àñòè òåîðåìû ýòîò ðÿä ñõîäèëñÿ áû è â òî÷êå

∗

, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ òåîðåìû. Ñëåäîâàòåëüíî,

â êàæäîé òî÷êå

, óäîâëåòâîðÿþùåé

|z − z

| > |z

∗

− z

, ðÿä ðàñõîäèòñÿ.

Çàìå÷àíèå.

Ñóùåñòâóåò

R = sup{|z − z

â ò. z ÊÑÐ ñõîäèòñÿ

}

Îïðåäåëåíèå

(Êðóã ñõîäèìîñòè)

Êðóã

|z − z

| < R

íàçûâàåòñÿ êðóãîì ñõîäèìîñòè ÊÑÐ.

Îïðåäåëåíèå

(Ðàäèóñ ñõîäèìîñòè)

×èñëî

íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì ñõîäèìîñòè ÊÑÐ.

Îïðåäåëåíèå

(Îáëàñòü ñõîäèìîñòè)

Â òî÷êàõ

, äëÿ êîòîðûõ

|z − z

| < R

, ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî.

Â òî÷êàõ

, äëÿ êîòîðûõ

|z − z

| > R

, ðÿä ðàñõîäèòñÿ.

Òåìà 31.

Ñôîðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî

, sin z, cos z

. Äîêàçàòü

ôîðìóëó Ýéëåðà è ñëåäñòâèÿ èç íåå. Ñôîðìóëèðîâàòü ñâîéñòâà ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè

(8 áàëëîâ)

Îïðåäåëåíèå

(Ýëåìåíòàðíàÿ ÔÊÏ)

ÔÊÏ

sinz

cosz

ñõîäÿòñÿ íà âñåé îáëàñòè

Îïðåäåëåíèå

(Ýëåìåíòàðíûå ÔÊÏ)

∞

n=0

sin z =

∞

n=0

(−1)

2n+1

(2n + 1)!

cos z =

∞

n=0

(−1)

(2n)!

Òåîðåìà

(Ôîðìóëà Ýéëåðà)

= cos z + i sin z

Äîêàçàòåëüñòâî.

∞

n=0

(iz)

∞

n=0

(iz)

(2n)!

∞

n=0

(iz)

2n+1

(2n + 1)!

∞

n=0

(2n)!

∞

n=0

2n+1

(2n + 1)!

∞

n=0

(−1)

(2n)!

∞

n=0

(−1)

2n+1

(2n + 1)!

= cos z + i sin z

Ñëåäñòâèå.

cos z =

+ e

−iz

sin z =

− e

−iz

Äîêàçàòåëüñòâî.

Çàïèøåì ôîðìóëó Ýéëåðà äëÿ àðãóìåíòîâ

−z

(

= cos z + i sin z

−iz

= cos(−z) + i sin(−z)

Èñïîëüçóÿ ÷åòíîñòü êîñèíóñà (

cos(−z) = cos z

) è íå÷åòíîñòü ñèíóñà (

sin(−z) = −sin z

), ïåðåïèøåì

âòîðîå óðàâíåíèå:

(

= cos z + i sin z (1)

−iz

= cos z − i sin z (2)

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Âûðàçèì êîñèíóñ. Ñëîæèì óðàâíåíèÿ (1) è (2):

+ e

−iz

= (cos z + i sin z) + (cos z − i sin z)

+ e

−iz

= 2 cos z =⇒ cos z =

+ e

−iz

Âûðàçèì ñèíóñ. Âû÷òåì óðàâíåíèå (2) èç óðàâíåíèÿ (1):

− e

−iz

= (cos z + i sin z) − (cos z − i sin z)

− e

−iz

= 2i sin z =⇒ sin z =

− e

−iz

Òåîðåìà

(Ñâîéñòâà ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè)

= e

, â ÷àñòíîñòè

= e

x+iy

= e

(cos y + i sin y)

2. Ôóíêöèÿ

ïåðèîäè÷åñêàÿ ñ ïåðèîäîì

T = 2πi

3. Åñëè

- öåëîå ÷èñëî, òî

)

= e

Äîêàçàòåëüñòâî.

Äîêàçàòåëüñòâî ïåðâîãî ñâîéñòâà:

∞

k=0

∞

n=0

∞

k=0

∞

n=0

· z

k! · n!

∞

m=0

s=0

· z

m−s

s! · (m − s)!

∞

m=0











s=0

s! · (m − s)!

| {z }

· z

m−s











∞

m=0

+ z

)

= e

s = k, m = k + n; m ≥ 0; 0 ≤ s ≤ m,

ò.ê.

n ≥ 0, n = m − s.

Äîêàçàòåëüñòâî âòîðîãî ñâîéñòâà:

Íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî

z+2πi

= e

. Èñïîëüçóÿ ïåðâîå ñâîéñòâî ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè, ðàçëîæèì

âûðàæåíèå:

z+2πi

= e

· e

2πi

Âû÷èñëèì çíà÷åíèå

2πi

, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Ýéëåðà:

2πi

= cos(2π) + i sin(2π) = 1 + i · 0 = 1

Ïîäñòàâëÿåì îáðàòíî:

z+2πi

= e

· 1 = e

Ñëåäîâàòåëüíî,

2πi

ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì ôóíêöèè

Äîêàçàòåëüñòâî òðåòüåãî ñâîéñòâà:

Ðàññìîòðèì òðè ñëó÷àÿ äëÿ öåëîãî ÷èñëà

1. Ïóñòü

m = 0

)

= 1

0·z

= e

= 1

2. Ïóñòü

m > 0

(íàòóðàëüíîå ÷èñëî). Äîêàæåì ïî èíäóêöèè.



)

= e

 âåðíî.



Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàâåíñòâî âåðíî äëÿ

, òî åñòü

)

= e

. Äîêàæåì äëÿ

k + 1

)

k+1

= (e

)

· e

= e

· e

= e

kz+z

= e

(k+1)z

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

3. Ïóñòü

m < 0

. Îáîçíà÷èì

m = −n

, ãäå

n > 0

. Ñíà÷àëà çàìåòèì, ÷òî

· e

−z

= e

z−z

= e

= 1

ñëåäîâàòåëüíî

)

−1

= e

−z

. Òîãäà:

)

= (e

)

−n

)

= (e

)

−1

= e

−nz

= e

Ôîðìóëà äîêàçàíà äëÿ âñåõ öåëûõ

Òåìà 32.

Ñôîðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî

sinz

cosz

tgz

ctgz

. Ñôîðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèå ãèïåðáîè÷åñêèõ ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåí-

íîãî

chz

shz

thz

cthz

. Äîêàçàòü ôîðìóëû, ñâÿçûâàþùèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå è ãèïåðáîëè÷åñêèå

ôóíêöèè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé.

Îïðåäåëåíèå

(Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ÔÊÏ)

sin z =

− e

−iz

cos z =

+ e

−iz

tg z =

sin z

cos z

ctg z =

cos z

sin z

Îïðåäåëåíèå

(Ãèïåðáîëè÷åñêèå ÔÊÏ)

sh z =

− e

−z

ch z =

+ e

−z

th z =

sh z

ch z

cth z =

ch z

sh z

Òåîðåìà

(Ñâÿçü ìåæäó òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè è ãèïåðáîëè÷åñêèìè ÔÊÏ)

z − sh

z = 1

sin iz = i sh z

cos iz = ch z

tg iz = i th z

ctg iz = −i cth z

sh iz = i sin z

ch iz = cos z

th iz = i tg z

cth iz = −i ctg z

Äîêàçàòåëüñòâî.

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

1. Îñíîâíîå ãèïåðáîëè÷åñêîå òîæäåñòâî.

Ïîäñòàâèì îïðåäåëåíèÿ

ch z

sh z

z − sh

z =



+ e

−z



−



− e

−z



+ 2e

−z

+ e

−2z

−

− 2e

−z

+ e

−2z

+ 2 + e

−2z

) − (e

− 2 + e

−2z

)

= 1.

2. Ñâÿçü òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé îò ìíèìîãî àðãóìåíòà.



Äëÿ êîñèíóñà:

cos(iz) =

i(iz)

+ e

−i(iz)

−z

+ e

= ch z



Äëÿ ñèíóñà (ïîìíèì, ÷òî

= −i

sin(iz) =

i(iz)

− e

−i(iz)

−z

− e

= −

− e

−z

= −(−i) sh z = i sh z



Äëÿ òàíãåíñà è êîòàíãåíñà:

tg(iz) =

sin(iz)

cos(iz)

i sh z

ch z

= i th z

ctg(iz) =

cos(iz)

sin(iz)

ch z

i sh z

cth z = −i cth z

3. Ñâÿçü ãèïåðáîëè÷åñêèõ ôóíêöèé îò ìíèìîãî àðãóìåíòà.



Äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî êîñèíóñà:

ch(iz) =

+ e

−iz

= cos z



Äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî ñèíóñà:

sh(iz) =

− e

−iz

= i ·

− e

−iz

= i sin z



Äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ òàíãåíñà è êîòàíãåíñà:

th(iz) =

sh(iz)

ch(iz)

i sin z

cos z

= i tg z

cth(iz) =

ch(iz)

sh(iz)

cos z

i sin z

ctg z = −i ctg z

Òåìà 33.

Îïðåäåëåíèå ìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî è å¼ îäíîçíà÷íîé âåòâè.

Ìíîãîçíà÷íûå ôóíêöèè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé

Arg z

√

Ln z

Îïðåäåëåíèå

(Ìíîãîçíà÷íàÿ ÔÊÏ)

Ìíîãîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ íà ìíîæåñòâå

D ⊆ C

çàäàíà, åñëè êàæ-

äîìó êîìïëåêñíîìó ÷èñëó

z ∈ D ⊆ C

ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå íåñêîëüêî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë,

îáîçíà÷àåìûõ

w = f (z)

Îïðåäåëåíèå

(Îäíîçíà÷íàÿ âåòâü ìíîãîçíà÷íîé ÔÊÏ)

Â îáëàñòè

U ⊆ C

âûäåëåíà îäíîçíà÷íàÿ âåòâü

ìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèè

f(z)

, åñëè â êàæäîé òî÷êå

z ∈ U

âûáðàíî îäíî èç çíà÷åíèé ìíîãîçíà÷íîé

ôóíêöèè

f(z)

, ïðè÷¼ì òàê, ÷òî ïîëó÷åííàÿ îäíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé â îáëàñòè

U ⊆ C

Îïðåäåëåíèå

(

Arg z

)

Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà çàïèñè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà

z = r(cos φ + i sin φ)

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Ìîäóëü

|z|

êîìïëåêñíîãî ÷èñëà

|z| = r =

+ y

Êàæäîìó êîìïëåêñíîìó ÷èñëó

ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé

Arg z

îïðåäåëÿåìûõ ñîîòíîøåíèÿìè:

cos (Arg z) =

+ y

sin (Arg z) =

+ y

Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé

Arg z

íàçûâàåòñÿ àðãóìåíòîì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà

Ãëàâíîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà -

arg z

−π < arg z ≤ π

Arg z = arg z + 2πn, n ∈ Z

arg z =











arctg

, x > 0

π + arctg

, x < 0, y ≥ 0

−π + arctg

, x < 0, y < 0

, x = 0, y > 0

−

, x = 0, y < 0

Îïðåäåëåíèå

(

√

)

Êîìïëåêñíîå ÷èñëî

íàçûâàåòñÿ êîðíåì

-îé ñòåïåíè èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà

, åñëè

= z

w =

√

z ⇔ w

= z

√

z =

√



cos

arg z + 2πk

+ i sin

arg z + 2πk



k = 0, 1, . . . , n − 1

Îïðåäåëåíèå

(

Ln z

)

Êîìïëåêñíîå ÷èñëî

íàçûâàåòñÿ ëîãàðèôìîì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà

z = 0

, åñëè

= z

w = Ln z ⇔ e

= z

ln z = ln |z| + i arg z

Ln z = ln z + 2πki, k ∈ Z, z ∈ C \ {0}

Îïðåäåëåíèå

(

)

Îáùàÿ ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ

= e

zLna

, a = 0

Îïðåäåëåíèå

(

)

Îáùàÿ ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ

= e

aLnz

, z ∈ C \ {0}

Òåìà 34.

Ñôîðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî è äèôôå-

ðåíöèðóåìîé ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ

äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü äîñòàòî÷íûå

óñëîâèÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Óñëîâèÿ Êîøè-Ðèìàíà.

Îïðåäåëåíèå

(Ïðîèçâîäíàÿ ÔÊÏ)

Ïóñòü ôóíêöèÿ

f(z)

îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè

. Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë

lim

∆z→0

∆f(z

; ∆z)

∆z

= lim

∆z→0

f(z

+ ∆z) − f (z

)

∆z

òî åãî íàçûâàþò ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé

f(z)

è îáîçíà÷àþò

′

)

èëè

df(z

)

Îïðåäåëåíèå

(Äèôôåðåíöèðóåìàÿ ÔÊÏ)

Ôóíêöèþ êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé

f(z)

íàçûâàþò äèôôå-

ðåíöèðóåìîé â òî÷êå

, åñëè å¼ ïðèðàùåíèå

∆f(z

; ∆z)

â ýòîé òî÷êå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â

âèäå

∆f(z

; ∆z) = A∆z + o(∆z),

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

ãäå

A ∈ C

- êîìïëåêñíîå ÷èñëî,

o(∆z) : lim

∆z→0

o(∆z)

∆z

= 0

Òåîðåìà

(Íåîáõîäèìîå óñëîâèå äèôôåðåíöèðóåìîñòè ÔÊÏ)

Åñëè ôóíêöèÿ

f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

èìååò êîíå÷íóþ ïðîèõâîäíóþ â òî÷êå

= x

+ iy

, òî ôóíêöèè

u(x, y)

v(x, y)

ÿâëÿþòñÿ äèôôå-

ðåíöèðóåìûìè â òî÷êå

, y

)

è â ýòîé òî÷êå âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ Êîøè-Ðèìàíà:

(

= −

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü

∃f

′

) = A + iB

= x

+ iy

⇒

∆f(z

; ∆z) = f

′

)∆z + o(∆z), ∆z = ∆x + i∆y.

(67)

Òîãäà, ó÷èòûâàÿ

f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

, çàïèøåì:

∆f(z

; ∆z) = f(z

+ ∆z) − f (z

) =

= u(x

+ ∆x, y

+ ∆y) + iv(x

+ ∆x, y

+ ∆y) − u(x

, y

) − iv(x

, y

) =

= ∆u(x

, y

) + i∆v(x

, y

∆z → 0 ⇔ ∆x, ∆y → 0 ⇔ ρ = |∆z| =

(∆x)

+ (∆y)

→ 0.

Ïóñòü

o(∆z) = o

(ρ) + io

(ρ)

, ãäå

(ρ), o

(ρ)

 á.ì. áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ïî ñðàâíåíèþ ñ

ïðè

ρ → 0

Óñëîâèå äèôôåðåíöèðóåìîñòè

f(z)

â òî÷êå

∆u(x

, y

) + i∆v(x

, y

) = (A + iB)(∆x + i∆y) + o

(ρ) + io

(ρ).

Ïðèðàâíÿåì äåéñòâèòåëüíûå è ìíèìûå ÷àñòè:

(

∆u(x

, y

) = A∆x − B∆y + o

(ρ),

∆v(x

, y

) = B∆x + A∆y + o

(ρ).

(68)

⇒ u(x, y), v(x, y)

äèôôåðåíöèðóåìû â òî÷êå

, y

)

(òàê êàê èõ ïðèðàùåíèÿ ïðåäñòàâèìû â òàêîì

âèäå).

Ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè

∆x

∆y

ñ îïðåäåëåíèåì ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè äâóõ

ïåðåìåííûõ (

dz =

∂z

∂x

dx +

∂z

∂y

), íàõîäèì ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå:

Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (68):

A =

∂u

∂x

, y

), −B =

∂u

∂y

, y

Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (68):

B =

∂v

∂x

, y

), A =

∂v

∂y

, y

Ïðèðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ äëÿ

, ïîëó÷àåì èñêîìûå óñëîâèÿ Êîøè-Ðèìàíà:

∂u

∂x

∂v

∂y

(îáà ðàâíû

)

∂u

∂y

= −

∂v

∂x

(îáà ðàâíû

− B

)

Òåîðåìà

(Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå äèôôåðåíöèðóåìîñòè ÔÊÏ)

Åñëè ôóíêöèè

u(x, y)

v(x, y)

ÿâëÿþòñÿ

äèôôåðåíöèðóåìûìè â òî÷êå

, y

)

è â ýòîé òî÷êå âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ Êîøè-Ðèìàíà, òî ôóíêöèÿ

f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

èìååò â òî÷êå

= x

+ iy

ïðîèçâîäíóþ

′

)

, êîòîðóþ ìîæíî âû÷èñëèòü

ïî îäíîé èç ôîðìóë:

′

(z) =

+ i

− i

+ i

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Äîêàçàòåëüñòâî.

Òàê êàê ôóíêöèè

u(x, y)

v(x, y)

äèôôåðåíöèðóåìû â òî÷êå

, y

)

, èõ ïîëíûå

ïðèðàùåíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:

(

∆u =

∂u

∂x

∆x +

∂u

∂y

∆y + α

(ρ)ρ

∆v =

∂v

∂x

∆x +

∂v

∂y

∆y + α

(ρ)ρ

ãäå

ρ =

(∆x)

+ (∆y)

= |∆z|

, à ôóíêöèè

(ρ), α

(ρ) → 0

ïðè

ρ → 0

Ñîñòàâèì ïðèðàùåíèå ôóíêöèè

f(z)

∆f = ∆u + i∆v =



∂u

∂x

∆x +

∂u

∂y

∆y



+ i



∂v

∂x

∆x +

∂v

∂y

∆y



+ (α

+ iα

)ρ.

Âîñïîëüçóåìñÿ

óñëîâèÿìè Êîøè-Ðèìàíà



∂u

∂x

∂v

∂y

∂u

∂y

= −

∂v

∂x



, ÷òîáû âûðàçèòü âñå ÷åðåç

∂u

∂x

∂v

∂x

. Çàìåíèì

∂u

∂y

íà

−

∂v

∂x

, à

∂v

∂y

íà

∂u

∂x

∆f =



∂u

∂x

∆x −

∂v

∂x

∆y



+ i



∂v

∂x

∆x +

∂u

∂x

∆y



+ o(∆z) =

∂u

∂x

(∆x + i∆y) +

∂v

∂x

(i∆x − ∆y) + o(∆z).

Çàìåòèì, ÷òî

i∆x − ∆y = i(∆x + i∆y) = i∆z

. Òîãäà:

∆f =

∂u

∂x

∆z + i

∂v

∂x

∆z + o(∆z) =



∂u

∂x

+ i

∂v

∂x



∆z + o(∆z).

Ðàçäåëèì íà

∆z

è ïåðåéäåì ê ïðåäåëó ïðè

∆z → 0

lim

∆z→0

∆f

∆z

= lim

∆z→0



∂u

∂x

+ i

∂v

∂x

o(∆z)

∆z



∂u

∂x

+ i

∂v

∂x

Ïðåäåë ñóùåñòâóåò è íå çàâèñèò îò ïóòè, çíà÷èò

′

(z)

ñóùåñòâóåò.

Îñòàëüíûå ôîðìóëû ïîëó÷àþòñÿ ïðÿìîé ïîäñòàíîâêîé óñëîâèé Êîøè-Ðèìàíà â ïîëó÷åííîå âû-

ðàæåíèå

′

(z) = u

+ iv



Çàìåíÿÿ

= −u

, ïîëó÷àåì:

′

(z) =

∂u

∂x

− i

∂u

∂y



Çàìåíÿÿ

= v

, ïîëó÷àåì:

′

(z) =

∂v

∂y

+ i

∂v

∂x



Çàìåíÿÿ è

, è

, ïîëó÷àåì:

′

(z) =

∂v

∂y

− i

∂u

∂y

Òåîðåìà äîêàçàíà.

Òåìà 35.

Ñôîðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî â òî÷êå

è â îáëàñòè. Èçëîæèòü ñõåìó âîññòàíîâëåíèÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè ïî åå äåéñòâèòåëüíîé èëè

ìíèìîé ÷àñòè. Îïðåäåëåíèå ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè. Óðàâíåíèå Ëàïëàñà.

Îïðåäåëåíèå

(Àíàëèòè÷åñêàÿ ÔÊÏ â òî÷êå)

Ôóíêöèþ

f(z)

, îïðåäåë¼ííóþ â îêðåñòíîñòè òî÷êè

∈

, íàçûâàåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â ýòîé òî÷êå, åñëè

f(z)

äèôôåðåíöèðóåìà â îêðåñòíîñòè òî÷êè

Îïðåäåëåíèå

(Àíàëèòè÷åñêàÿ ÔÊÏ â îáëàñòè)

Ôóíêöèÿ

f(z)

íàçûâàåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â îáëàñòè

D ⊆ C

, åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé âî âñåõ òî÷êàõ ýòîé îáëàñòè.

Îïðåäåëåíèå

(Âîññòàíîâëåíèå àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè ïî å¼ äåéñòâèòåëüíîé èëè ìíèìîé ÷àñòè)

Ïóñòü:

1. ôóíêöèÿ

f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â îáëàñòè

D ⊆ C

;

2. ôóíêöèè

u(x, y)

v(x, y)

èìåþò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå äî âòîðîãî ïîðÿäêà âêëþ-

÷èòåëüíî â îáëàñòè

D ⊆ C

(íà ñàìîì äåëå ýòîãî ìîæíî íå òðåáîâàòü  äëÿ àíàëèòè÷åñêèõ

ôóíêöèé ýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ âñåãäà è äëÿ ïðîèçâîäíûõ ëþáîãî ïîðÿäêà).

Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ Êîøè-Ðèìàíà:

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë











∂u

∂x

∂v

∂y

∂u

∂y

= −

∂v

∂x

′′

+ u

′′

= v

′′

− v

′′

= 0 ⇐⇒ ∆u = 0.

Àíàëîãè÷íî:

∆v = 0

Îïðåäåëåíèå

(Ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ)

Ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà

∆f = 0,

ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé.

Òåìà 36.

Ñôîðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà îò ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Âû÷èñ-

ëåíèå èíòåãðàëà îò ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Ñôîðìóëèðîâàòü ñâîéñòâà èíòåãðàëà îò

ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî.

Îïðåäåëåíèå

(Ðàçáèåíèå)

Ðàçáèåíèå êðèâîé

çàäàäèì òî÷êàìè

= A, z

, . . . , z

i−1

, z

, . . . , z

= B

Òîãäà ðàçáèåíèå

åñòü íàáîð äóã

i−1

τ = {z

, . . . , z

i−1

, . . . , z

n−1

}

Îïðåäåëåíèå

(Äèàìåòð ðàçáèåíèÿ)

Äèàìåòð ðàçáèåíèÿ çàäàí ôîðìóëîé

d(τ) = max {l

, . . . , l

ãäå

 äëèíà äóãè

i−1

Îïðåäåëåíèå

(Íàáîð òî÷åê)

Íàáîð òî÷åê çàäàí ôîðìóëîé

= {z

∗

, . . . , z

∗

∈ z

i−1

, i = 1, . . . , n}.

Îïðåäåëåíèå

(Èíòåãðàëüíàÿ ñóììà)

Èíòåãðàëüíàÿ ñóììà äëÿ ôóíêöèè

f(z)

, ðàçáèåíèÿ

è íàáîðà

òî÷åê

, ñîãëàñîâàííîãî ñ ðàçáèåíèåì

, çàäàíà ôîðìóëîé

τ,ξ

(f) =

i=1

f(z

∗

)∆z

Îïðåäåëåíèå

(Èíòåãðàë îò ÔÊÏ)

×èñëî

íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè

f(z)

êîìïëåêñíîé

ïåðåìåííîé

ïî êðèâîé

, åñëè äëÿ ëþáîãî

ε > 0

ñóùåñòâóåò òàêîå

δ = δ(ε) > 0

, ÷òî äëÿ ëþáî-

ãî ðàçáèåíèÿ

êðèâîé

, äèàìåòð êîòîðîãî

d(τ) < δ

, è ïðè ëþáîì âûáîðå òî÷åê

âûïîëíÿåòñÿ

íåðàâåíñòâî



i=1

f(z

∗

)∆z

− I



< ε

Îïðåäåëåíèå

(Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà îò ÔÊÏ)

Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà îò ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïå-

ðåìåííîãî

f(z)

ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ äâóõ êðèâîëèíåéíûõ èíòåãðàëîâ 2-ãî ðîäà:

f(z) dz =

(u(x, y) + iv(x, y)) d(x + iy) =

(u(x, y) + iv(x, y))(dx + i dy) =

(u(x, y) dx − v(x, y) dy) + i

(v(x, y) dx + u(x, y) dy).

Ïóñòü êðèâàÿ

çàäàíà ñâîèìè ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè:

γ :

(

x = x(t),

y = y(t), t ∈ [α, β].

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Òîãäà

f(z) dz =

(u(x(t), y(t))x

′

(t) − v(x(t), y(t))y

′

(t)) dt+

+ i

(v(x(t), y(t))x

′

(t) + u(x(t), y(t))y

′

(t)) dt

Çàïèøåì óðàâíåíèå êðèâîé

â âèäå

γ : z = z(t), t ∈ [α, β]

, ãäå

z(t) = x(t) + iy(t)

. Òîãäà

f(z) dz =

f(z(t))z

′

(t) dt.

Òåîðåìà

(Ñâîéñòâà èíòåãðàëà îò ÔÊÏ)

1. Ëèíåéíîñòü:

(αf

(z) + βf

(z)) dz = α

(z) dz + β

(z) dz ∀α, β ∈ C.

2. Àääèòèâíîñòü:

f(z) dz =

f(z) dz +

f(z) dz.

3. Îðèåíòèðîâàííîñòü:

f(z) dz = −

f(z) dz.

4. Îöåíêà èíòåãðàëà:



f(z) dz



≤

|f(z)|dl (

ñïðàâà ÊÈ 1  ãî ðîäà

Òåìà 37.

Èíòåãðàëüíàÿ ôîðìóëà Êîøè è å¼ ñëåäñòâèÿ. Èíòåãðàëüíàÿ ôîðìóëà Êîøè äëÿ îäíîñâÿç-

íîé îáëàñòè.

Îïðåäåëåíèå

(Èíòåãðàëüíàÿ ôîðìóëà Êîøè)

Åñëè îáëàñòü

îäíîñâÿçíà,

∂D

 êóñî÷íî-ãëàäêèé

êîíòóð, à ôóíêöèÿ

f(z)

àíàëèòè÷íà â

D = D ∪ ∂D

, òî äëÿ

∀

ò.

∈ D

ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà:

f(z

) =

2πi

∂D

f(z)

z − z

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïî ò. Êîøè äëÿ ìíîãîñâÿçíîé îáëàñòè:

∂D

f(z)

z − z

dz =

|z−z

|=r

f(z)

z − z

åñëè

r : {z | |z − z

| ⩽ r} ⊂ D

⇒

èíòåãðàë

|z−z

|=r

f(z)

z − z

íå çàâèñèò îò

Òîãäà âûðàæåíèå

f(z

) −

2πi

f(z)

z−z

òàêæå íå çàâèñèò îò

Òîãäà:



f(z

) −

2πi

|z−z

|=r

f(z)

z − z



2πi

|z−z

|=r

f(z

) − f (z)

z − z



⩽

2π

|z−z

|=r

|f(z

) − f (z)|

|z − z

dl =

2π

|z−z

|=r

|f(z

) − f (z)|

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Ïîêàæåì, ÷òî ýòîò èíòåãðàë

= 0

f(z)

àíàëèò. â ò.

⇒ f (z)

íåïð. â ò.

⇐⇒

∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 : ∀|z − z

| < δ ⇒ |f (z) − f (z

)| < ε

Òîãäà, åñëè

r < δ

, èìååì:

2π

|z−z

|=r

|f(z) − f (z

dl ⩽

2π

dl =

2π

· 2πr = ε

Òåìà 38.

Ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü òåîðåìó Êîøè äëÿ îäíîñâÿçíîé îáëàñòè.

Òåîðåìà

(Êîøè äëÿ îäíîñâÿçíîé îáëàñòè)

Åñëè îáëàñòü

îäíîñâÿçíà, å¼ ãðàíèöà

∂D

 êóñî÷íî-

ãëàäêèé êîíòóð, à ôóíêöèÿ

f(z)

àíàëèòè÷íà â

D = D ∪ ∂D

, òî

∂D

f(z) dz = 0

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü

z = x + iy

, à

f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

Çàïèøåì èíòåãðàë, ðàçäåëèâ äåéñòâèòåëüíóþ è ìíèìóþ ÷àñòè:

∂D

f(z) dz =

∂D

(u + iv)(dx + i dy) =

∂D

(u dx − v dy) + i

∂D

(v dx + u dy).

Âîñïîëüçóåìñÿ

ôîðìóëîé Ãðèíà

äëÿ ïåðåõîäà îò êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà ê äâîéíîìó èíòå-

ãðàëó ïî îáëàñòè

∂D

P dx + Q dy =



∂Q

∂x

−

∂P

∂y



dx dy.

Ïðèìåíèì å¼ ê äåéñòâèòåëüíîé è ìíèìîé ÷àñòÿì èíòåãðàëà:

1. Äëÿ äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè (

P = u

Q = −v

∂D

(u dx − v dy) =



−

∂v

∂x

−

∂u

∂y



dx dy.

2. Äëÿ ìíèìîé ÷àñòè (

P = v

Q = u

∂D

(v dx + u dy) =



∂u

∂x

−

∂v

∂y



dx dy.

Òàê êàê ôóíêöèÿ

f(z)

àíàëèòè÷íà, äëÿ íå¼ âûïîëíÿþòñÿ

óñëîâèÿ Êîøè-Ðèìàíà

∂u

∂x

∂v

∂y

∂u

∂y

= −

∂v

∂x

Ïîäñòàâèì ýòè óñëîâèÿ â äâîéíûå èíòåãðàëû:



Â äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå:

−

∂v

∂x

−



−

∂v

∂x



= 0



Â ìíèìîé ÷àñòè ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå:

∂v

∂y

−

∂v

∂y

= 0

Ñëåäîâàòåëüíî, îáà èíòåãðàëà ðàâíû íóëþ, è

∂D

f(z) dz = 0 + i · 0 = 0.

Òåìà 39.

Ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü òåîðåìó Êîøè äëÿ ìíîãîñâÿçíîé îáëàñòè.

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Òåîðåìà

(Êîøè äëÿ ìíîãîñâÿçíîé îáëàñòè)

Åñëè îáëàñòü

ìíîãîñâÿçíà, åå ãðàíèöà

∂D

ÿâëÿåòñÿ

îáúåäèíåíèåì êîíå÷íîãî ÷èñëà êóñî÷íî-ãëàäêèõ êîíòóðîâ, à ôóíêöèÿ

f(z)

àíàëèòè÷íà â

D = D ∪∂D

òî

∂D

f(z) dz = 0,

ãäå âñå êîíòóðû, ñîñòàâëÿþùèå ãðàíèöó îáëàñòè

ïðîõîäÿòñÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè ïî

îòíîøåíèþ ê îáëàñòè

(ïðè äâèæåíèè îáëàñòü

íàõîäèòñÿ ñëåâà).

Äîêàçàòåëüñòâî.

Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ ïóòåì ñâåäåíèÿ ìíîãîñâÿçíîé îáëàñòè ê îäíîñâÿçíîé ñ

ïîìîùüþ ñèñòåìû ðàçðåçîâ.

1. Ïðîâåäåì

ãëàäêèõ ðàçðåçîâ

, . . . , γ

, ñîåäèíÿþùèõ âíåøíèé êîíòóð

ñ êàæäûì èç âíóò-

ðåííèõ êîíòóðîâ

(

k = 1, . . . , n

), òàê, ÷òîáû ýòè ðàçðåçû íå ïåðåñåêàëèñü äðóã ñ äðóãîì.

2. Ýòè ðàçðåçû ïðåâðàùàþò ìíîãîñâÿçíóþ îáëàñòü

â íîâóþ îáëàñòü

∗

. Òàê êàê â

∗

íåò

¾äûðîê¿ (ìû ñîåäèíèëè èõ ñ âíåøíèì êðàåì), ýòà îáëàñòü ÿâëÿåòñÿ

îäíîñâÿçíîé

3. Ðàññìîòðèì ãðàíèöó

ïîëó÷åííîé îäíîñâÿçíîé îáëàñòè

∗

. Ïðè îáõîäå ãðàíèöû

â ïîëîæè-

òåëüíîì íàïðàâëåíèè:



Âíåøíèé êîíòóð

è âíóòðåííèå êîíòóðû

ïðîõîäÿòñÿ òàê æå, êàê è â èñõîäíîé îáëàñòè.



Êàæäûé ðàçðåç

ïðîõîäèòñÿ äâàæäû â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ: îäèí ðàç ¾òóäà¿

(îáîçíà÷èì

) è îäèí ðàç ¾îáðàòíî¿ (

−

4. Òàê êàê

f(z)

àíàëèòè÷íà â

∗

(îíà àíàëèòè÷íà âî âñåì

), òî ïî òåîðåìå Êîøè äëÿ îäíîñâÿçíîé

îáëàñòè (ñì. òåîðåìó):

f(z) dz = 0.

5. Ïðåäñòàâèì èíòåãðàë ïî êîíòóðó

êàê ñóììó èíòåãðàëîâ ïî åãî ñîñòàâëÿþùèì:

f(z) dz =

∂D

f(z) dz +

k=1







f(z) dz +

−

f(z) dz







6. Òàê êàê

f(z)

îäíîçíà÷íà è íåïðåðûâíà íà ðàçðåçàõ, à ïðîõîäû ñîâåðøàþòñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûõ

íàïðàâëåíèÿõ, èíòåãðàëû ïî ðàçðåçàì âçàèìíî óíè÷òîæàþòñÿ:

−

f(z) dz = −

f(z) dz =⇒

f(z) dz +

−

f(z) dz = 0.

7. Ïîäñòàâëÿÿ ýòî â ðàâåíñòâî èç ïóíêòà 5, ïîëó÷àåì:

∂D

f(z) dz = 0.

Òåìà 40.

Ñôîðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèå ðÿäà Òåéëîðà àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè. Òåîðåìû î ðàçëîæå-

íèè àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè â ðÿä Òåéëîðà. Äîêàçàòü íåðàâåíñòâà Êîøè äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ðÿäà

Òåéëîðà àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè. Ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü òåîðåìó Ëèóâèëëÿ.

Îïðåäåëåíèå.

Åñëè ôóíêöèÿ

f(z)

àíàëèòè÷íà â êðóãå

|z −z

| < R

, òî îíà ïðåäñòàâèìà â âèäå ñóììû

ñòåïåííîãî ðÿäà

f(z) =

∞

n=0

(z − z

)

(135)

ãäå

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

(n)

)

2πi

|z−z

|=ρ

f(z)

(z − z

)

n+1

dz, 0 < ρ < R.

(136)

Îïðåäåëåíèå

(Ðÿä Òåéëîðà àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè)

Ðÿä (135), êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî âû÷èñëÿ-

þòñÿ ïî ôîðìóëàì (136), íàçûâàåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà ôóíêöèè

f(z)

ïî ñòåïåíÿì

z − z

(â êðóãå

|z − z

| < R

Òåîðåìà.

Ñóììà ñòåïåííîãî ðÿäà

f(z) =

∞

n=0

(z −z

)

ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé â êðóãå

åãî ñõîäèìîñòè.

Òåîðåìà.

Ñòåïåííîé ðÿä, èìåþùèé ïîëîæèòåëüíûé ðàäèóñ ñõîäèìîñòè, ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà äëÿ

ñâîåé ñóììû.

Îïðåäåëåíèå

(Íåðàâåíñòâà Êîøè)

Åñëè ôóíêöèÿ

f(z)

àíàëèòè÷íà â çàìêíóòîì êðóãå

|z − z

| ≤ R

è íà ãðàíèöå êðóãà ìîäóëü ôóíêöèè îãðàíè÷åí êîíñòàíòîé

M > 0

, òî êîýôôèöèåíòû ðÿäà Òåéëîðà

ôóíêöèè

f(z)

ñ öåíòðîì â òî÷êå

óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì

| ≤

, n = 0, 1, 2, . . .

Äîêàçàòåëüñòâî.

Íà ãðàíèöå êðóãà

|z − z

| = R

èìååì

|f(z)| ≤ M

. Ïîëó÷èì

| ≤

2π

|z−z

|=R

|f(z)|

|z − z

n+1

dl ≤

2π

n+1

· 2πR =

Òåîðåìà

(Ëèóâèëëÿ)

Åñëè ôóíêöèÿ

f(z)

àíàëèòè÷íà íà âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè è îãðàíè÷åíà,

òî îíà ïîñòîÿííà.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Â ëþáîì çàìêíóòîì êðóãå

|z| ≤ R

ôóíêöèÿ

f(z)

ïðåäñòàâëÿåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà

f(z) =

∞

n=0

, êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî íå çàâèñÿò îò

. Òàê êàê ôóíêöèÿ

f(z)

îãðàíè÷åíà,

|f(z)| ≤ M, ∀z

, òî ïî ôîðìóëàì Êîøè èìååì

| ≤

Ïðè

n = 1, 2, . . .

ïðàâàÿ ÷àñòü ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè

R → ∞

(

ìîæíî âçÿòü ñêîëü óãîäíî

áîëüøèì), à ëåâàÿ ÷àñòü íå çàâèñèò îò

, ïîýòîìó

= 0

äëÿ

n = 1, 2, . . .

f(z) = c

Òåìà 41.

Ñôîðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèå ðÿäà Ëîðàíà. Òåîðåìû î ðàçëîæåíèè ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî

ïåðåìåííîãî â ðÿä Ëîðàíà.

Îïðåäåëåíèå.

Åñëè ôóíêöèÿ

f(z)

àíàëèòè÷íà â êîëüöå

r < |z − z

| < R

, òî îíà ïðåäñòàâèìà â ýòîì

êîëüöå â âèäå ñóììû ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà

f(z) =

∞

n=−∞

(z − z

)

(140)

ãäå

(n)

)

2πi

|z−z

|=ρ

f(z)

(z − z

)

n+1

dz, r < ρ < R.

(141)

Îïðåäåëåíèå

(Ðÿä Ëîðàíà)

Ðÿä (140), êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì (141),

íàçûâàåòñÿ ðÿäîì Ëîðàíà ôóíêöèè

f(z)

ïî ñòåïåíÿì

z − z

â êîëüöå

r < |z − z

| < R

Òåîðåìà.

Ñòåïåííîé ðÿä

∞

n=−∞

(z − z

)

, ñõîäÿùèéñÿ â êîëüöå

r < |z − z

| < R

, ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì

Ëîðàíà äëÿ ñâîåé ñóììû.

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Òåìà 42.

Ñôîðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèå íóëÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè ïîðÿäêà

. Ñôîðìóëèðîâàòü è

äîêàçàòü òåîðåìó î âèäå àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè åå íóëÿ. Ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü

òåîðåìó î âèäå ðÿäà Òåéëîðà àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè åå íóëÿ ïîðÿäêà

Îïðåäåëåíèå

(Íîëü àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè ïîðÿäêà

)

Òî÷êà

íàçûâàåòñÿ íóëåì ïîðÿäêà

àíà-

ëèòè÷åñêîé ôóíêöèè

f(z)

, åñëè

f(z

) = f

′

) = ··· = f

(k−1)

) = 0, f

(k)

) = 0 (k ≥ 1).

Òåîðåìà

(Âèä àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè å¼ íóëÿ ïîðÿäêà

)

1. Åñëè òî÷êà

ÿâëÿåòñÿ íóëåì ôóíêöèè

f(z)

ïîðÿäêà

, òî

f(z) = (z − z

)

ϕ(z)

, ãäå ôóíêöèÿ

ϕ(z)

àíàëèòè÷íà â òî÷êå

ϕ(z

) = 0

2. Åñëè ôóíêöèþ

f(z)

ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

f(z) = (z −z

)

ϕ(z)

, ãäå ôóíêöèÿ

ϕ(z)

àíàëèòè÷íà

â òî÷êå

ϕ(z

) = 0

, òî òî÷êà

ÿâëÿåòñÿ íóëåì ôóíêöèè

f(z)

ïîðÿäêà

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü

 íóëü ïîðÿäêà

àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè

f(z)

. Ïî îïðåäåëåíèþ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

f(z

) = f

′

) = ··· = f

(n−1)

) = 0, f

(n)

) = 0.

Òàê êàê ôóíêöèÿ

f(z)

àíàëèòè÷íà â îêðåñòíîñòè òî÷êè

, åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ýòîé îêðåñòíîñòè

ñõîäÿùèìñÿ ðÿäîì Òåéëîðà:

f(z) =

∞

k=0

(z − z

)

ãäå

(k)

)

. Èç óñëîâèé íà ïðîèçâîäíûå èìååì

= c

= ··· = c

n−1

= 0

, à

(n)

)

= 0

. Ðÿä

Òåéëîðà ïðèíèìàåò âèä:

f(z) =

∞

k=n

(z − z

)

= c

(z − z

)

+ c

n+1

(z − z

)

n+1

+ . . .

Âûíåñåì

(z − z

)

çà ñêîáêè:

f(z) = (z − z

)



+ c

n+1

(z − z

) + c

n+2

(z − z

)

+ . . .



Îáîçíà÷èì ðÿä â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ ÷åðåç

ϕ(z)

ϕ(z) =

∞

k=n

(z − z

)

k−n

∞

j=0

j+n

(z − z

)

Ôóíêöèÿ

ϕ(z)

ïðåäñòàâëåíà ñòåïåííûì ðÿäîì, êîòîðûé ñõîäèòñÿ â òîé æå îêðåñòíîñòè, ÷òî è ðÿä

äëÿ

f(z)

, ñëåäîâàòåëüíî,

ϕ(z)

àíàëèòè÷íà â òî÷êå

. Ïðè

z = z

èìååì:

ϕ(z

) = c

+ c

n+1

(0) + c

n+2

(0)

+ ··· = c

Òàê êàê

= 0

, òî

ϕ(z

) = 0

. Òàêèì îáðàçîì,

f(z) = (z−z

)

ϕ(z)

, ãäå

ϕ(z)

àíàëèòè÷íà â

ϕ(z

) = 0

Ïóñòü

f(z) = (z − z

)

ϕ(z)

, ãäå

ϕ(z)

àíàëèòè÷íà â îêðåñòíîñòè

ϕ(z

) = 0

. Òàê êàê

ϕ(z)

àíàëèòè÷íà â

, îíà ïðåäñòàâëÿåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà:

ϕ(z) = a

+ a

(z − z

) + a

(z − z

)

+ . . . ,

ãäå

= ϕ(z

) = 0.

Ïîäñòàâèì ýòî â âûðàæåíèå äëÿ

f(z)

f(z) = (z − z

)



+ a

(z − z

) + a

(z − z

)

+ . . .



f(z) = a

(z − z

)

+ a

(z − z

)

n+1

+ a

(z − z

)

n+2

+ . . .

Ýòîò ðÿä ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà ôóíêöèè

f(z)

â òî÷êå

. Êîýôôèöèåíòû ýòîãî ðÿäà ðàâíû

(k)

)

. Ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû, âèäèì:

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë



Ïðè

k = 0, 1, . . . , n − 1

: êîýôôèöèåíò

= 0

, ïîñêîëüêó â ðÿäó îòñóòñòâóþò ñòåïåíè

(z − z

)

íèæå

-é. Ñëåäîâàòåëüíî,

f(z

) = f

′

) = ··· = f

(n−1)

) = 0



Ïðè

k = n

: êîýôôèöèåíò

= a

. Ñëåäîâàòåëüíî,

(n)

)

= a

Ïîñêîëüêó

= ϕ(z

) = 0

, òî

(n)

)

= 0

, à çíà÷èò,

(n)

) = 0

. Óñëîâèÿ

f(z

) = f

′

) = ··· =

(n−1)

) = 0

(n)

) = 0

îçíà÷àþò, ÷òî

ÿâëÿåòñÿ íóëåì ôóíêöèè

f(z)

ïîðÿäêà

Òåîðåìà

(Âèä ðÿäà Òåéëîðà àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè å¼ íóëÿ ïîðÿäêà

)

Åñëè òî÷êà

ÿâëÿåòñÿ íóëåì ôóíêöèè

f(z)

ïîðÿäêà

, òî ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè

f(z)

ïî ñòåïåíÿì

z −z

èìååò âèä

f(z) = c

(z − z

)

+ c

n+1

(z − z

)

n+1

+ . . . , c

= 0, n ≥ 1.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ

f(z)

àíàëèòè÷íà â îêðåñòíîñòè òî÷êè

, îíà ìîæåò áûòü ïðåä-

ñòàâëåíà â ýòîé îêðåñòíîñòè ñõîäÿùèìñÿ ðÿäîì Òåéëîðà:

f(z) =

∞

k=0

(z − z

)

ãäå êîýôôèöèåíòû

âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå:

(k)

)

Ïî óñëîâèþ, òî÷êà

ÿâëÿåòñÿ íóëåì ôóíêöèè

f(z)

ïîðÿäêà

. Ïî îïðåäåëåíèþ íóëÿ ïîðÿäêà

ýòî îçíà÷àåò, ÷òî:

f(z

) = 0, f

′

) = 0, . . . , f

(n−1)

) = 0, f

(n)

) = 0.

Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó äëÿ êîýôôèöèåíòîâ Òåéëîðà, ïîëó÷àåì:



Äëÿ

k = 0, 1, . . . , n − 1

(k)

)

= 0.

Òàêèì îáðàçîì, âñå êîýôôèöèåíòû äî

n−1

âêëþ÷èòåëüíî ðàâíû íóëþ:

= c

= ··· = c

n−1

= 0.



Äëÿ

k = n

(n)

)

Ïîñêîëüêó

(n)

) = 0

, òî è

= 0

Ïîäñòàâèì ýòè çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ â ðÿä Òåéëîðà:

f(z) = c

(z − z

)

+ c

(z − z

)

+ ··· + c

n−1

(z − z

)

n−1

+ c

(z − z

)

+ c

n+1

(z − z

)

n+1

+ . . .

f(z) = 0 + 0 + ··· + 0 + c

(z − z

)

+ c

n+1

(z − z

)

n+1

+ . . .

f(z) = c

(z − z

)

+ c

n+1

(z − z

)

n+1

+ . . .

ãäå, êàê áûëî ïîêàçàíî,

= 0

Òàêèì îáðàçîì, ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè

f(z)

â îêðåñòíîñòè å¼ íóëÿ ïîðÿäêà

íà÷èíàåòñÿ ñ ÷ëåíà,

ñîäåðæàùåãî

(z − z

)

Òåìà 43.

Ñôîðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèÿ îñîáîé òî÷êè è èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êè ôóíêöèè êîì-

ïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Ñôîðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèÿ óñòðàíèìîé îñîáîé òî÷êè, ïîëþñà è ñóùå-

ñòâåííîé îñîáîé òî÷êè. Ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó î âèäå ðÿäà Ëîðàíà â îêðåñòíîñòÿõ îñîáûõ òî÷åê

ðàçíûõ âèäîâ.

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Îïðåäåëåíèå

(Îñîáàÿ òî÷êà)

Òî÷êà

íàçûâàåòñÿ îñîáîé òî÷êîé ôóíêöèè

f(z)

, åñëè

f(z)

íå ÿâëÿåòñÿ

àíàëèòè÷åñêîé â òî÷êå

Îïðåäåëåíèå

(Èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êà)

Îñîáàÿ òî÷êà

ôóíêöèè

f(z)

íàçûâàåòñÿ èçîëèðîâàí-

íîé îñîáîé òî÷êîé, åñëè

f(z)

àíàëèòè÷íà â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè

Îïðåäåëåíèå

(ÓÎÒ, ïîëþñ, ÑÎÒ)

Èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êà

ôóíêöèè

f(z)

íàçûâàåòñÿ:

óñòðàíèìîé îñîáîé òî÷êîé

, åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë

lim

z→z

f(z) = a ∈ C

;

ïîëþñîì

, åñëè

lim

z→z

f(z) = ∞

;

ñóùåñòâåííî îñîáîé òî÷êîé

, åñëè

∄ lim

z→z

f(z)

Òåîðåìà

(Âèä ðÿäà Ëîðàíà â îêðåñòíîñòè ÎÒ)

Ðÿä Ëîðàíà:

1. â óñòðàíèìîé îñîáîé òî÷êå íå ñîäåðæèò ãëàâíîé ÷àñòè, ò.å.

∞

n=0

(z − z

)

;

2. â ïîëþñå ïîðÿäêà

èìååò âèä

∞

n=−k

(z − z

)

−k

(z − z

)

+ ··· +

−1

z − z

∞

n=0

(z − z

)

;

3. â ñóùåñòâåííî îñîáîé òî÷êå ãëàâíàÿ ÷àñòü ðÿäà Ëîðàíà ñîäåðæèò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ñëàãàåìûõ.

Òåìà 44.

Ñôîðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèÿ ïîëþñà ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî è ïîðÿäêà ïî-

ëþñà. Ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó î ïðåäñòàâëåíèè ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè åå ïîëþñà ïîðÿäêà

. Ðÿä

Ëîðàíà ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî â îêðåñòíîñòè ïîëþñà ïîðÿäêà

Îïðåäåëåíèå

(Ïîëþñ ôóíêöèè)

Èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êà

ôóíêöèè

f(z)

íàçûâàåòñÿ

ïîëþñîì

åñëè ïðåäåë ìîäóëÿ ôóíêöèè â ýòîé òî÷êå ðàâåí áåñêîíå÷íîñòè:

lim

z→z

f(z) = ∞.

Îïðåäåëåíèå

(Ïîðÿäîê ïîëþñà)

Ãîâîðÿò, ÷òî òî÷êà

ÿâëÿåòñÿ

ïîëþñîì ïîðÿäêà

(

k ∈ N

) ôóíê-

öèè

f(z)

, åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé è îòëè÷íûé îò íóëÿ ïðåäåë:

lim

z→z

f(z)(z − z

)

= A, A ∈ C \ {0}.

Òåîðåìà

(Ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè å¼ ïîëþñà)

Òî÷êà

ÿâëÿåòñÿ ïîëþñîì ïîðÿäêà

ôóíêöèè

f(z)

òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè ôóíêöèþ

ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:

f(z) =

φ(z)

(z − z

)

ãäå ôóíêöèÿ

φ(z)

àíàëèòè÷íà â òî÷êå

φ(z

) = 0

Òåîðåìà

(Ðÿä Ëîðàíà â îêðåñòíîñòè ïîëþñà)

Òî÷êà

ÿâëÿåòñÿ ïîëþñîì ïîðÿäêà

ôóíêöèè

f(z)

òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ãëàâíàÿ ÷àñòü ðÿäà Ëîðàíà ôóíêöèè

f(z)

â îêðåñòíîñòè

ñîäåðæèò

êîíå÷íîå ÷èñëî ñëàãàåìûõ è èìååò âèä:

f(z) =

−k

(z − z

)

−k+1

(z − z

)

k−1

+ ··· +

−1

z − z

∞

n=0

(z − z

)

ïðè÷¼ì ñòàðøèé êîýôôèöèåíò ãëàâíîé ÷àñòè îòëè÷åí îò íóëÿ:

−k

= 0

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Òåìà 45.

Ñôîðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèå âû÷åòà ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî â èçîëèðîâàí-

íîé îñîáîé òî÷êå. Ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü òåîðåìó Êîøè î âû÷åòàõ. Ïðèìåíåíèå âû÷åòîâ äëÿ

âû÷èñëåíèÿ êîíòóðíûõ èíòåãðàëîâ.

Îïðåäåëåíèå

(Âû÷åò)

Âû÷åòîì

ôóíêöèè

f(z)

â èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êå

∈ C

íàçûâàåòñÿ

÷èñëî

res

f(z) =

2πi

|z−z

|=ρ

f(z) dz

ãäå êðóã

|z − z

| ≤ ρ

ñîäåðæèò òîëüêî îäíó îñîáóþ òî÷êó

ôóíêöèè

f(z)

Òåîðåìà

(Î âû÷åòàõ)

Ïóñòü ôóíêöèÿ

f(z)

àíàëèòè÷íà â

D = D ∪ ∂D

çà èñêëþ÷åíèåì êîíå÷íîãî

÷èñëà îñîáûõ òî÷åê

, . . . , z

∈ D

∂D

 êóñî÷íî-ãëàäêèé êîíòóð. Òîãäà

f(z) dz = 2πi

k=1

res

f(z)

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïîñêîëüêó

, . . . , z

ÿâëÿþòñÿ èçîëèðîâàííûìè îñîáûìè òî÷êàìè, âûáåðåì äîñòàòî÷íî ìàëûå ïî-

ëîæèòåëüíûå ÷èñëà

> 0

òàêèå, ÷òî êðóãè

: |z − z

| = ρ

(ñ ïîëîæèòåëüíîé îðèåíòàöèåé)

ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ, ëåæàò öåëèêîì âíóòðè îáëàñòè

, è â çàìûêàíèè êàæäîãî òàêîãî êðóãà,

çà èñêëþ÷åíèåì öåíòðà

, ôóíêöèÿ

f(z)

ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé.

Ðàññìîòðèì ìíîãîñâÿçíóþ îáëàñòü

, îãðàíè÷åííóþ âíåøíèì êîíòóðîì

è âíóòðåííèìè êîí-

òóðàìè

, . . . , C

. Â ýòîé îáëàñòè ôóíêöèÿ

f(z)

àíàëèòè÷íà. Ñîãëàñíî òåîðåìå Êîøè äëÿ ìíîãî-

ñâÿçíîé îáëàñòè (èëè ïðèíöèïó äåôîðìàöèè êîíòóðà), èíòåãðàë ïî âíåøíåìó êîíòóðó ðàâåí ñóììå

èíòåãðàëîâ ïî âíóòðåííèì êîíòóðàì, åñëè âñå îíè èìåþò îäèíàêîâóþ îðèåíòàöèþ (íàïðèìåð, ïîëî-

æèòåëüíóþ):

f(z) dz =

k=1

f(z) dz

Ïî îïðåäåëåíèþ âû÷åòà ôóíêöèè

f(z)

â èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êå

(ñîãëàñíî ôîðìóëå (152)

èç èñõîäíîãî èçîáðàæåíèÿ), èìååì:

res

f(z) =

2πi

f(z) dz

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî èíòåãðàë ïî êîíòóðó

ðàâåí:

f(z) dz = 2πi · res

f(z)

Ïîäñòàâèì ýòî âûðàæåíèå äëÿ

f(z) dz

â ðàâåíñòâî èç øàãà 2:

f(z) dz =

k=1

(2πi · res

f(z))

Âûíîñÿ

2πi

çà çíàê ñóììû, ïîëó÷àåì ôîðìóëó òåîðåìû Êîøè î âû÷åòàõ:

f(z) dz = 2πi

k=1

res

f(z)

Òåìà 46.

Ðàñøèðåííàÿ êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü è áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êà. Ñôåðà Ðèìàíà. Áåñ-

êîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êà êàê îñîáàÿ. Ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó î âèäå ðÿäà Ëîðàíà â îêðåñòíîñòè

áåñêîíå÷íî óäàëåííîé îñîáîé òî÷êå.

Îïðåäåëåíèå

(Ðàñøèðåííàÿ êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü)

Ðàñøèðåííàÿ êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü

îïðåäå-

ëÿåòñÿ êàê îáúåäèíåíèå êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè è áåñêîíå÷íî óäàë¼ííîé òî÷êè (ÁÓÒ), îáîçíà÷àåìîé

ñèìâîëîì

∞

C = C ∪ {∞}

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Îïðåäåëåíèå

(Áåñêîíå÷íî óäàë¼ííàÿ òî÷êà)

Òî÷êà

= ∞

ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê îñîáàÿ òî÷êà. Êëàñ-

ñèôèêàöèÿ õàðàêòåðà îñîáåííîñòè ôóíêöèè

f(z)

â áåñêîíå÷íî óäàë¼ííîé òî÷êå îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷å-

íèåì ïðåäåëà

lim

z→∞

f(z)

lim

z→∞

f(z) =











c ∈ C =⇒ ∞

 óñòðàíèìàÿ îñîáàÿ òî÷êà,

∞ =⇒ ∞

 ïîëþñ,

∄ =⇒ ∞

 ñóùåñòâåííàÿ îñîáàÿ òî÷êà.

Îïðåäåëåíèå

(Âû÷åò â áåñêîíå÷íî óäàë¼ííîé òî÷êå)

Âû÷åòîì â áåñêîíå÷íî óäàë¼ííîé òî÷êå

∞

íà-

çûâàåòñÿ ÷èñëî

res

∞

f(z) =

2πi

|z|=R

f(z) dz,

ãäå ñíàðóæè îêðóæíîñòè

|z| = R

íåò êîíå÷íûõ îñîáûõ òî÷åê ôóíêöèè

f(z)

è îêðóæíîñòü ïðîõîäèòñÿ

â íàïðàâëåíèè ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå.

Òåîðåìà

(Î âèäå ðÿäà Ëîðàíà â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íî óäàë¼ííîé òî÷êè)

Ðÿä Ëîðàíà ôóíêöèè

f(z)

â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íî óäàë¼ííîé òî÷êè

∞

â çàâèñèìîñòè îò å¼ òèïà èìååò ñëåäóþùóþ ñòðóêòóðó:

Â óñòðàíèìîé îñîáîé òî÷êå

ðÿä Ëîðàíà íå ñîäåðæèò ïîëîæèòåëüíûõ ñòåïåíåé (

= 0

ïðè

n > 0

f(z) =

n=−∞

= c

−1

−2

+ . . .

Â ïîëþñå ïîðÿäêà

(

k ≥ 1

) ðÿä Ëîðàíà ñîäåðæèò êîíå÷íîå ÷èñëî ñëàãàåìûõ ñ ïîëîæèòåëü-

íûìè ñòåïåíÿìè (îáðûâàåòñÿ íà ñòåïåíè

f(z) =

n=−∞

ãäå

= 0

Â ñóùåñòâåííî îñîáîé òî÷êå

ðÿä Ëîðàíà ñîäåðæèò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ñëàãàåìûõ ñ ïîëîæè-

òåëüíûìè ñòåïåíÿìè:

f(z) =

+∞

n=−∞

Òåìà 47.

Ñôîðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû ôóíêöèé è ðÿäà Ôóðüå ïî òðè-

ãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìå ôóíêöèé. Ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó Äèðèõëå î ñõîäèìîñòè òðèãîíîìåòðè-

÷åñêîãî ðÿäà Ôóðüå. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé â òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå íà îòðåçêå

[−l, l]

. Ðàç-

ëîæåíèå ôóíêöèé â òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå íà îòðåçêå

[a, b]

Îïðåäåëåíèå

(Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà ôóíêöèé)

Òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìîé ôóíêöèé íà îò-

ðåçêå

[a, b]

(â ïðîñòðàíñòâå

E = R[a, b]

) íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ ñèñòåìà ôóíêöèé:

1, cos

πx

, sin

πx

, cos

2πx

, sin

2πx

, . . . , cos

nπx

, sin

nπx

, . . .

ãäå

l =

b−a

 ïîëîâèíà äëèíû îòðåçêà.

Îïðåäåëåíèå

(Ðÿä Ôóðüå ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìå ôóíêöèé)

Òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ðÿäîì Ôó-

ðüå ôóíêöèè

f(x)

íà îòðåçêå

[a, b]

íàçûâàåòñÿ ðÿä:

f(x) ∼

∞

n=1



cos

nπx

+ b

sin

nπx



Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

ãäå êîýôôèöèåíòû

(êîýôôèöèåíòû Ôóðüå) âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì:

f(x) cos

nπx

dx, n = 0, 1, 2, . . .

f(x) sin

nπx

dx, n = 1, 2, . . .

Òåîðåìà

(Äèðèõëå î ñõîäèìîñòè òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà Ôóðüå)

Ïóñòü ôóíêöèÿ

f(x)

óäîâëåòâîðÿåò

óñëîâèÿì Äèðèõëå íà îòðåçêå

[a, b]

(òî åñòü ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé è êóñî÷íî-ìîíîòîííîé).

Òîãäà äëÿ ëþáîãî

x ∈ [a, b]

òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå ýòîé ôóíêöèè ñõîäèòñÿ ê ñóììå

S(x)

êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

S(x) =

∞

n=1



cos

πnx

+ b

sin

πnx













f(x + 0) + f (x − 0)

, x ∈ (a, b),

f(a + 0) + f (b − 0)

, x = a

èëè

x = b.

Îïðåäåëåíèå

(Ðàçëîæåíèå íà ñèììåòðè÷íîì îòðåçêå

[−l, l]

)

Ïóñòü ôóíêöèÿ

f(x)

çàäàíà íà îòðåçêå

[−l, l]

äëèíû

. Ðÿä Ôóðüå èìååò âèä:

f(x) ∼

∞

n=1



cos

πnx

+ b

sin

πnx



Êîýôôèöèåíòû âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì:

−l

f(x) cos

πnx

dx, n = 0, 1, 2, . . .

−l

f(x) sin

πnx

dx, n = 1, 2, . . .

×àñòíûå ñëó÷àè (ó÷åò ÷åòíîñòè):



Åñëè

f(x)



÷åòíàÿ

ôóíêöèÿ (

f(−x) = f(x)

), òî

= 0

, à

óäâàèâàþòñÿ ïî ïîëîâèíå îòðåçêà:

f(x) ∼

∞

n=1

cos

πnx

ãäå

f(x) cos

πnx

dx.

(Ðÿä ïî êîñèíóñàì).



Åñëè

f(x)



íå÷åòíàÿ

ôóíêöèÿ (

f(−x) = −f (x)

), òî

= 0

, à

óäâàèâàþòñÿ ïî ïîëîâèíå

îòðåçêà:

f(x) ∼

∞

n=1

sin

πnx

ãäå

f(x) sin

πnx

dx.

(Ðÿä ïî ñèíóñàì).

Îïðåäåëåíèå

(Ðàçëîæåíèå íà ïðîèçâîëüíîì îòðåçêå

[a, b]

)

Ïóñòü

f(x)

çàäàíà íà îòðåçêå

[a, b]

. Îáî-

çíà÷èì äëèíó îòðåçêà

T = b − a

è ïîëîâèíó äëèíû

l =

b−a

. Ðÿä Ôóðüå ñòðîèòñÿ àíàëîãè÷íî, íî

èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî îòðåçêó

[a, b]

f(x) ∼

∞

n=1



cos

πnx

+ b

sin

πnx



ãäå êîýôôèöèåíòû:

f(x) cos

πnx

dx, n = 0, 1, 2, . . .

f(x) sin

πnx

dx, n = 1, 2, . . .

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Òåìà 48.

Ðàçëîæåíèå ÷åòíûõ è íå÷åòíûõ ôóíêöèé â òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå. Ðàçëîæåíèå â

ðÿäû Ôóðüå ïî êîñèíóñàì è ñèíóñàì êðàòíûõ óãëîâ.

Îòâåò.

Ïóñòü

f(x)

îïðåäåëåíà íà

[0; l]

×¼òíîå ïðîäîëæåíèå

×¼òíîå ïðîäîëæåíèå ôóíêöèè

f(x)

íà

[−l; l]

f(x) =

(

f(−x), x ∈ [−l; 0),

f(x), x ∈ [0; l]

Ðÿä Ôóðüå ôóíêöèè

f(x)

íà

[−l; l]

(∗)

−l

f(x) cos

πnx

dx =

f(x) cos

πnx

−l

f(x) sin

πnx

dx = 0











⇒

⇒ f (x) ∼

∞

n=1

cos

πnx

ãäå

èç

(∗)

Íå÷¼òíîå ïðîäîëæåíèå

Íå÷¼òíîå ïðîäîëæåíèå ôóíêöèè

f(x)

íà

[−l; l]

f(x) =

(

−f(x), x ∈ [−l; 0),

f(x), x ∈ [0; l]

Êîýôôèöèåíòû Ôóðüå äëÿ

f(x)

íà

[−l; l]

(∗)

−l

f(x) cos

πnx

dx = 0

−l

f(x) sin

πnx

dx =

f(x) sin

πnx











⇒

⇒ f (x) ∼

∞

n=1

sin

πnx

ãäå

èç

(∗)

Òåìà 49.

Ñôîðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèå âû÷åòà â áåñêîíå÷íî óäàë¼ííîé îñîáîé òî÷êå. Ñôîðìóëèðî-

âàòü è äîêàçàòü òåîðåìó î ïîëíîé ñóììå âû÷åòîâ.

Îïðåäåëåíèå

(Áåñêîíå÷íî óäàë¼ííàÿ òî÷êà)

Òî÷êà

= ∞

ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê îñîáàÿ òî÷êà. Êëàñ-

ñèôèêàöèÿ õàðàêòåðà îñîáåííîñòè ôóíêöèè

f(z)

â áåñêîíå÷íî óäàë¼ííîé òî÷êå îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷å-

íèåì ïðåäåëà

lim

z→∞

f(z)

lim

z→∞

f(z) =











c ∈ C =⇒ ∞

 óñòðàíèìàÿ îñîáàÿ òî÷êà,

∞ =⇒ ∞

 ïîëþñ,

∄ =⇒ ∞

 ñóùåñòâåííàÿ îñîáàÿ òî÷êà.

Îïðåäåëåíèå

(Âû÷åò â áåñêîíå÷íî óäàë¼ííîé òî÷êå)

Âû÷åòîì â áåñêîíå÷íî óäàë¼ííîé òî÷êå

∞

íà-

çûâàåòñÿ ÷èñëî

res

∞

f(z) =

2πi

|z|=R

f(z) dz,

ãäå âíóòðè îêðóæíîñòè

|z| = R

íåò êîíå÷íûõ îñîáûõ òî÷åê ôóíêöèè

f(z)

è îêðóæíîñòü ïðîõîäèòñÿ

â íàïðàâëåíèè ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå.

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

Òåîðåìà

(Êîøè î ïîëíîé ñóììå âû÷åòîâ)

Ïóñòü ôóíêöèÿ

f(z)

àíàëèòè÷íà íà âñåé êîìïëåêñíîé

ïëîñêîñòè

, çà èñêëþ÷åíèåì êîíå÷íîãî ÷èñëà îñîáûõ òî÷åê

, . . . , z

. Òîãäà ñóììà âû÷åòîâ âî âñåõ

êîíå÷íûõ îñîáûõ òî÷êàõ è âû÷åòà â áåñêîíå÷íîñòè ðàâíà íóëþ:

j=1

res

f(z) + res

∞

f(z) = 0

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ðàññìîòðèì îêðóæíîñòü

|z| = R

äîñòàòî÷íî áîëüøîãî ðàäèóñà, òàêóþ, ÷òî âñå

êîíå÷íûå îñîáûå òî÷êè

, . . . , z

ëåæàò âíóòðè ýòîé îêðóæíîñòè.

Çàïèøåì íîëü êàê ñóììó èíòåãðàëîâ ïî ýòîé îêðóæíîñòè â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ (ïî

÷àñîâîé ñòðåëêå è ïðîòèâ íå¼):

0 =

|z|=R

f(z) dz

| {z }

ïî ÷. ñòðåëêå

|z|=R

f(z) dz

| {z }

ïðîòèâ ÷. ñòðåëêè

Ê èíòåãðàëó, ïðîõîäèìîìó ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ñòàíäàðòíîå íàïðàâëåíèå), ïðèìåíèì îñíîâ-

íóþ òåîðåìó Êîøè î âû÷åòàõ:

|z|=R

f(z) dz (

ïðîòèâ ÷. ñ.

) = 2πi

j=1

res

f(z).

Ïîäñòàâèì ýòî âûðàæåíèå îáðàòíî â óðàâíåíèå:

0 =

|z|=R

f(z) dz (

ïî ÷. ñ.

) + 2πi

j=1

res

f(z).

Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà íà

2πi

j=1

res

f(z) +

2πi

|z|=R

f(z) dz

| {z }

ïî ÷. ñòðåëêå

= 0.

Ïî îïðåäåëåíèþ, âòîðîå ñëàãàåìîå ÿâëÿåòñÿ âû÷åòîì â áåñêîíå÷íî óäàë¼ííîé òî÷êå:

2πi

|z|=R

f(z) dz (

ïî ÷. ñ.

) = res

∞

f(z).

Ñëåäîâàòåëüíî:

j=1

res

f(z) + res

∞

f(z) = 0.

Òåìà 50.

Ñôîðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèÿ îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìû ôóíêöèé è ðÿäà Ôóðüå ïî îðòîãî-

íàëüíîé ñèñòåìå ôóíêöèé â ËÍÏ. Ñôîðìóëèðîâàòü ñâîéñòâà ðÿäîâ Ôóðüå (î êîýôôèöèåíòàõ ðÿäà

Ôóðüå, íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ, ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ). Äîêàçàòü îäíî èç ñâîéñòâ (ïî âûáîðó). Ïîëíûå

è çàìêíóòûå ÎÑ.

Îïðåäåëåíèå

(Îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà ôóíêöèé)

Ñèñòåìà ýëåìåíòîâ

, . . . , f

åâêëèäîâà ïðîñòðàí-

ñòâà

íàçûâàåòñÿ

îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìîé

(ÎÑ), åñëè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ëþáûõ äâóõ ðàç-

ëè÷íûõ ýëåìåíòîâ ðàâíî íóëþ:

, f

) = 0 ∀i = j.

Îïðåäåëåíèå

(Ðÿä Ôóðüå ïî îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå ôóíêöèé)

Ðÿäîì Ôóðüå ôóíêöèè

f ∈ E

ïî îð-

òîãîíàëüíîé ñèñòåìå

}

íàçûâàåòñÿ ðÿä

∞

n=1

ãäå

(f, f

)

∥f

∥

×èñëà

íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè Ôóðüå.

Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë

-àÿ ÷àñòè÷íàÿ ñóììà ýòîãî ðÿäà îáîçíà÷àåòñÿ

(f)

(f) =

k=1

Òåîðåìà

(Î êîýôôèöèåíòàõ ðÿäà Ôóðüå)

×àñòè÷íàÿ ñóììà

(f)

ðÿäà Ôóðüå ïî îðòîãîíàëüíîé ñèñòå-

ìå (ÎÑ)

}

ÿâëÿåòñÿ íàèëó÷øèì ïðèáëèæåíèåì äëÿ ôóíêöèè

ïî ýòîé ñèñòåìå. Òî åñòü âåëè÷èíà



f −

k=1



ïðèíèìàåò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ïðè

= c

, ãäå

 êîýôôèöèåíòû Ôóðüå.

Òåîðåìà

(Íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ)

Ïóñòü

}

 îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå

 êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ýëåìåíòà

f ∈ E

ïî ýòîé ñèñòåìå. Òîãäà ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî:

∞

n=1

∥f

∥

≤ ∥f ∥

Òåîðåìà

(Ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ)

Ñèñòåìà ôóíêöèé

}

íàçûâàåòñÿ

çàìêíóòîé

(èëè ïîëíîé) â ïðî-

ñòðàíñòâå

, åñëè äëÿ ëþáîé ôóíêöèè

f ∈ E

ðÿä Ôóðüå ñõîäèòñÿ ê íåé ïî íîðìå (â ñðåäíåì êâàäðà-

òè÷íîì). Â ýòîì ñëó÷àå (è òîëüêî â ýòîì) íåðàâåíñòâî ïðåâðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî:

∞

n=1

∥f

∥

= ∥f∥

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ðàññìîòðèì êâàäðàò îòêëîíåíèÿ ÷àñòè÷íîé ñóììû ðÿäà Ôóðüå îò èñõîäíîé ôóíê-

öèè. Îáîçíà÷èì ýòó ôóíêöèþ ïåðåìåííûõ

, . . . , a

êàê



f −

k=1



= ∥f∥

− 2

k=1

(f, f

) +

i,k=1

, f

)

| {z }

ïðè

i=k

Â ñèëó îðòîãîíàëüíîñòè ñèñòåìû (âñå ïåðåêð¼ñòíûå ïðîèçâåäåíèÿ ðàâíû 0), âûðàæåíèå óïðîùàåòñÿ:

= ∥f∥

− 2

k=1

(f, f

) +

k=1

∥f

∥

= F (a

, . . . , a

×òîáû íàéòè ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèè

F (a

, . . . , a

)

, ïðèðàâíÿåì ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ýòîé

ôóíêöèè ê íóëþ:

∂F

∂a

= −2(f, f

) + 2a

∥f

∥

= 0 =⇒ a

(f, f

)

∥f

∥

= c

Äëÿ ïðîâåðêè äîñòàòî÷íîãî óñëîâèÿ ìèíèìóìà ñîñòàâèì ìàòðèöó Ãåññå (ìàòðèöó âòîðûõ ïðîèçâîä-

íûõ):







∂

∂a

···

∂

∂a

∂

∂a

···

∂

∂a







= 2 ·







∥f

∥

0 0

0 0 ∥f

∥







Òàê êàê íîðìà âåêòîðà ïîëîæèòåëüíà (

∥f

∥

> 0

), ìàòðèöà Ãåññå

ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà.

Ñëåäîâàòåëüíî, íàéäåííàÿ òî÷êà

= c

ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà.

Çíà÷èò, êâàäðàò îòêëîíåíèÿ ÷àñòè÷íîé ñóììû

(f)

ðÿäà Ôóðüå ÿâëÿåòñÿ ëó÷øèì ïðèáëèæåíèåì

èñõîäíîé ôóíêöèè

ïî ÎÑ

}