КИР и ТФКП
1. Сформулировать определение двойного интеграла. Сформулировать свойства двойного
интеграла. Доказать 2 3 свойства (по выбору студента). Вычисление двойного интеграла в
декартовой прямоугольной системе координат (сведение к повторному).
Точка назыв предельной точкой мн-ва D, если любая окрестность этой точки содержит хотя бы одну
точку мн-ва, отличную от не самой
Множество D называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Множество D называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором открытом круге
или шаре конечного радиуса.
Пусть T - многоугольник,,
= ()- точная верхняя грань площади, вписанной в
многоугольник, ,
= () − точная нижняя грань площади, описанной вокруг
многоугольника. Множество D измеримо по Жордану, если
=
= S
Точка называется внутренней точкой множества, если существует её окрестность, целиком лежащая
в данном множестве.
Int D — это множество всех внутренних точек множества D.
D- ЗОИО на плоскости; Разбиением
области D называется набор измеримых,
замкнутых множеств
, удовлетворяющих условиям:
Диаметром d(D) множества D называется величина d(D) =
, где
-
евклидово расстояние между точками А и В
Диаметром разбиения назыв число d() =
Пусть
– разбиения области D, а
- набор точек,
согласованный с разбиением . Интегральной суммой для ф-ии f(x,y), соотв разбиению и выбору
точек
назыв число:
Число I называется двойным интегралом от функции f(х, y)по области D, если для любой
последовательности разбиений {
}, такой что d(
) → 0 при і → ∞,
и при любом выборе набора точек
, последовательность соответствующих интегральных сумм
сходится к І:
Свойства двойного интеграла:
1) Если обл D измерима, то
< Пусть (,)1. Составим интегральную сумму:
Тогда
>
2) Линейность. Если f(x,y) и g(x,y) инт-мы в обл D, то ф-ия f(x,y)+ g(x,y) также
будут инт-мы в D и
< Пусть
– произвольное разбиения обл D, а
- набор точек, где
. Рассм инт сумму для лин комбинации ф-ий:
=
Перейдем к пределу при d(
) → 0. Т.к. ф-ии f и g интегрируемы, сущ конеч пределы их инт
сумм:
и
. Используя св-ва линейности предела
последовательности ( lim (A+B) = lim A+ lim B ), получаем:
>
3)Аддитивность. Если
- ЗОИО, не имеющие общих внутренних точек, и ф-ия f(x, y)
интегрируема в D=
, то
4)Монотонность. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в ЗОИО D и f(x,y) g(x,y) (x, y) то
< f, g инт-мы в обл D и f(x,y)g(x,y) (x, y) =>
>
5)Т об оценке. Если f и g инт в ЗОИ D и
, то
В частности, если g(x,y) = 1, то
6)Т об оценке модуля. Если ф-ия f инт-ма в обл D, то | f | такде инт-ма в обл D и
7) Т о среднем. Если f(x,y) непр-на в D, то
,
8)Сохран инт знака подинт ф-ии. Если ф-ия f(x,y) интегрируема в ЗОИО D и 0 в D, то
Если, кроме того, f(x,y) непрерывна в D и
, то
9) Инт-то композиции инт-х ф-ий. Если f и g инт-мы в ЗОИО D, то f*g также инт-ма в D. Если,
кроме того, в D, то
– инт-ма в D&
10)Если D – мн-во меры 0, а ф-ия f(x,y) интегрируема в D, то
Вычисление:
Основной метод вычисления кратных интегралов — сведение их к повторному инте-гралу.
Виды стандартных областей:
а) Область D вида а ≤ х ≤ b,
(х) ≤ у ≤
(x), где
,
— непрерывные функции.
б) Область D вида с ≤ у ≤ d,
(у) ≤ х ≤
(у), где
— непрерывные функции.
Любую измеримую область можно разбить на конечное число стандартных областей. Далее
используется свойство аддитивности двойного интеграла.
Частный случай:
Если область интегрирования — прямоугольник D = [a,b] × [c,d], то
Если, кроме того, f (x,y) = g(х) * h(y), то
2. Сформулировать теорему о замене переменных в двойном интеграле. Вычисление
двойного интеграла в полярной системе координат (с нахождением якобиана).
3. Физические приложения двойных интегралов: вычисление масс (заряда) тонкой
пластинки, координат центра тяжести, статических моментов, моментов инерции.
4. Сформулировать определение тройного интеграла. Сформулировать свойства тройного
интеграла. Доказать 2 - 3 свойства (по выбору студента). Вычисление тройного
интеграла в декартовой прямоугольной системе координат (сведение к повторному).
5. Сформулировать теорему о замене переменных в тройном интеграле. Вычисление
тройного интеграла в цилиндрической и сферической системах координат (с нахождением
якобианов).
6. Физические приложения тройных интегралов: вычисление массы тела, координат
центра тяжести, статических моментов, моментов инерции.
7. Сформулировать определение криволинейного интеграла первого рода и его свойства.
Вычисление криволинейного интеграла первого рода.
8. Сформулировать определение криволинейного интеграла второго рода. Сформулировать
свойства криволинейного интеграла. Вычисление криволинейного интеграла второго рода.
9. Сформулировать и доказать условия независимости криволинейного интеграла второго
рода от пути. Формула Ньютона-Лейбница (с док-вом).
10. Доказать формулу Грина.
11. Сформулировать определение поверхностного интеграла первого рода. Сформулировать
свойства поверхностного интеграла. Вычисление поверхностных интегралов первого рода.
12. Сформулировать определение поверхностного интеграла второго рода. Сформулировать
свойства поверхностного интеграла. Вычисление поверхностных интегралов второго рода.
13. Сформулировать определение дивергенции векторного поля. Вычисление дивергенции в
декартовой прямоугольной системе координат. Сформулировать теорему Гаусса-
Остроградского в векторной и координатной формах. Дать физическую интерпретацию
интегралов.
14. Сформулировать определение ротора векторного поля. Вычисление ротора в декартовой
прямоугольной системе координат. Сформулировать теорему Стокса в векторной и
координатной формах. Дать физическую интерпретацию интегралов.
15. Сформулировать определения ряда, частичной суммы ряда, сходящегося ряда.
Сформулировать и доказать теорему об остатке числового ряда. Операции над рядами,
их свойства. Сформулировать и доказать необходимый признак сходимости числовых
рядов. Сформулировать определения абсолютно и условно сходящихся знакопеременных
рядов. Доказать теорему о связи абсолютной и условной сходимости.
16. Сформулировать и доказать признаки сравнения знакоположительных числовых
рядов.
17. Сформулировать и доказать признак Даламбера сходимости знакоположительных
числовых рядов.
18. Сформулировать и доказать радикальный признак Коши сходимости
знакоположительных числовых рядов.
19. Сформулировать и доказать интегральный признак Коши сходимости знакополо-
жительных числовых рядов. Исследовать на сходимость ряд Дирихле.
20. Разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена (e*, sin.z, cos I,
(1 + х)', In(1 + x)). Обосновать два разложения (на выбор студента).
21. Знакочередующиеся числовые ряды. Сформулировать и доказать признак Лейб-
ница. Следствие об оценке остатка знакочередующегося ряда.
22. Сформулировать определение действительного степенного ряда. Сформулировать
и доказать первую теорему Абеля и следствие об интервале сходимости степенного ряда.
23. Сформулировать и доказать теорему о равномерной сходимости действительного
степенного ряда на отрезке, лежащем внутри интервала сходимости. (8 баллов)
24. Сформулировать теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании сте-
пенных рядов.
25. Сформулировать определение ряда Тейлора бесконечно дифференцируемой функ-
ции. Сформулировать и доказать теорему о коэффициентах сходящегося степенного ряда,
суммой которого является бесконечно дифференцируемая функция / (х). Сформулировать
и доказать теорему о сумме ряда Тейлора бесконечно дифференцируемой функции, произ-
водные которой ограничены в совокупности.
26. Сформулировать определения абсолютно и условно сходящихся комплексных чи-
словых рядов. Теорема о связи абсолютной и условной сходимости. Сформулировать и
доказать теорему о связи сходимости комплексного числового ряда и сходимости его дей-
ствительной и мнимой частей.
27. Комплексные степенные ряды. Сформулировать и доказать теорему Абеля. Круг,
радиус и область сходимости комплексного степенного ряда.
28. Сформулировать определения функций комплексного переменного e*, sin z, cos z.
Доказать формулу Эйлера и следствия из нее. Сформулировать и доказать свойства по-
казательной функции е*.
29. Сформулировать определения тригонометрических функций комплексного пере-
менного sinz, cosz, tgz, ctgz. Сформулировать определения гиперболических функций
комплексного переменного ch z, sh z, thz, ethz. Доказать формулы, связывающие тригоно-
метрические и гиперболические функции комплексного переменного.
30. Сформулировать определения многозначной функции комплексного переменного и
ее однозначной ветви. Многозначные функции комплексного переменного Arg z,
, Ln z,
,
.
Многозначная ФКП на мн-ве задана, если каждому комплекс числу
поставлено в соответствие несколько комплексных чисел, обозначаемых w = f(z).
В области выделена однозначная ветвь многозначной функции f(z), если в каждой
точке выбрано одно из значений многозначной функции f(z), причём так, что полученная
однозначная функция является непрерывной в области
Arg z. Тригонометрическая форма записи комплексного числа
Модуль
комплексного числа
Каждому комплексному числу z поставим в соответствие бесконечное множество значений Arg
z, определяемых соотношениями:
,
Множество значений Arg z называется аргументом комплексного числа z.
Множество значений Arg z называется аргументом комплексного числа z.
Главное значение аргумента комплексного числа - arg z:
Комплексное число w называется корнем n-ой степени из комплексного числа z, если
= z:
Комплексное число w называется логарифмом комплексного числа , если
Общая показательная функция
Общая степенная функция
31. Сформулировать определения производной функции комплексного переменного и
дифференцируемой функции комплексного переменного. Сформулировать и доказать
необходимые условия дифференцируемости функции комплексного переменного.
Сформулировать и доказать достаточные условия дифференцируемости функции
комплексного переменного. Условия Коши-Римана.
Пусть функция f(z) определена в некоторой окрестности точки
. Если существует конечный
предел
то его называют производной ФКП f(z) и обозначают f' (
) или
.
ФКП f(z) называют дифференцируемой в точке
, если её приращение
в этой точке
может быть представлено в виде
где – комплекс число,
Необходимое условие дифференцируемости ФКП. Если ф-ия
имеет
конечную производную в точке
, то функции
являются
дифференцируемыми в точке (
,
) и в этой точке выполняются условия Коши-Римана:
< Пусть
. Тогда
учитывая
Пусть
, где
– б.м. более высокого порядка по сравнению с
Условие д-ти f(z) в т
.
Приравняем действительные и мнимые части:
диф-м в т (
,
). Сравнивая коэф. при
и с определением полного диф-ла ф-ии двух переменных (
), находим
частные производные:
Из первого уравнения:
Из второго уравнения:
Приравниваем выражения для A и B, получаем усл Коши-Римана:
Достаточное условие дифференцируемости ФКП. Если функции
являются
дифференцируемыми в точке (
) и в этой точке выполняются условия Коши-Римана, то
функция
имеет в точке
, производную
, которую
можно вычислить по одной из формул:
Так как функции
дифференцируемы в точке (
), их полные приращения
можно представить в виде:
, где
Составим приращение функции f(z):
Воспользуемся усл К-Р. Заменим
на -
, а
на
:
Разделим на и перейдем к пределу при → 0:
Предел существует и не зависит от пути, значит f'(z) существует.
Остальные формулы получаются прямой подстановкой условий Коши-Римана в полученное
выражение
• Заменяя и
, получаем:
• Заменяя и
, получаем:
• Заменяя и
, получаем:
32. Сформулировать определения аналитической функции комплексного переменного в
точке и в области. Изложить схему восстановления аналитической функции по ее
действительной или мнимой части. Определение гармонической функции. Уравнение
Лапласа.
Функцию f(z), определённую в окрестности точки
, называется аналитической в этой точке,
если f(z) дифференцируема в окрестности точки
.
Функция f(z) называется аналитической в области, если она является аналитической во
всех точках этой области.
Восстановление аналитической функции по её действ или мнимой части. Пусть:
1) функция
является аналитической в области ;
2) функции
имеют непрерывные частные производные до второго порядка
включительно в области
Тогда выполняются условия Коши-Римана:
Аналогично:
Функция, которая является решением уравнения Лапласа является гармонической.
Уравнение Лапласа: Уравнение + =0 (или
) называется урав Лапласа
В более общем виде: Для -мерного пространства и функции аргументов (1,2,…,),
определённой в нём, уравнение Лапласа записывается как:
33. Сформулировать определение интеграла от функции комплексного переменного.
Вычисление интеграла от функций комплексного переменного. Сформулировать свойства
интеграла от функции комплексного переменного.
Разбиение кривой зададим точками A =
,
,...,
,
,...,
= В.
Тогда разбиение есть набор дуг
:
,...,
,...,
Диаметр разбиения задан формулой d() = max {
,...,
}, где
— длина дуги
Набор точек задан формулой
Интегральная сумма для функции f(z), разбиения и набора точек
, согласованного с
разбиением , задана формулой
Число I называется интегралом от ФКП f(z) z по кривой , если для любого > 0 существует
такое
, что для любого разбиения кривой , диаметр которого d() < , и при
любом выборе точек
выполняется неравенство
Вычисление: вычисление инт-ла от ФКП f(z) сводится к вычислению двух КИ 2-го рода:
Пусть кривая задана своими параметрическими уравнениями: :
Тогда
Запишем уравнение кривой в виде : z = z(t), , где z(t) = х(t) + іу(t). Тогда
=
Свойства интеграла от ФКП
1. Линейность.
,
2. Аддитивность.
=
3. Ориентированность.
4. Оценка интеграла:
34. Интегральная формула Коши и ее следствия. Доказать интегральную формулу
Коши для односвязной области.
Если область D односвязна, — кусочно-гладкий контур, а функция f(z) аналитична в D =
, то
(1)
< Пусть
- произвольная точка, лежащая внутри контура L. Рассмотрим окружность
:
, где r выберем так, чтобы f(z)
лежала внутри L. В двусвязной области,
ограниченной контурами L и
, функция
является аналитической, следовательно, она
аналитическая и на области D\{
}. Тогда по следствию из т Коши:
не зависит от радиуса окружности
. Достаточно показать,
что
; Так как
, то
=
или
=
. Для док-ва
, нужно д-ть, что
(5) интеграл не зависит от r. Возьмем > 0 . Так как f(z) аналитическая на D,
то f(z) непрерывна в точке
.
Тогда
выполнено
Если
такая, что r, то
, выполнено
,
(6)
Так как >0 - произвольное сколь угодно малое число, а значение интеграла не зависит от r, то
(6) может быть выполнено только если, выполнено (5), а значит, выполнено (1)>
35. Сформулировать и доказать теорему Коши для односвязной области.
Теорема (Коши для односвязной области). Если область D односвязна, её граница —
кусочно-гладкий контур, а функция f(z) аналитична в D =
, то
<Пусть z = x+iy, а
. Запишем интеграл, разделив действительную и
мнимую части:
Воспользуемся ф-ой Грина для перехода от криволинейного интеграла к двойному интегралу по
области D:
Применим её к действительной и мнимой частям интеграла:
1. Для действительной части (P = u, Q = -v):
2. Для мнимой части (P = v, Q = и):
Т.к. ф-ия f(z) аналитична, для нее выполн усл К-Р:
Подставим эти усл в двойные инт-лы:
В действительной части подынт-е выражение: -
В мнимой части подынт-е выражение:
Следовательно, оба интеграла равны нулю:
36. Сформулировать и доказать теорему Коши для многосвязной области.
Теорема (Коши для многосвязной области). Если область D многосвязна, ее граница
является объединением конечного числа кусочно-гладких контуров, а функция f(z) аналитична в
D =
,
, где все контуры, составляющие границу области D проходятся в
положительном направлении по отношению к области D.
<Доказательство проводится путем сведения многосвязной области к односвязной c помощью
системы разрезов.
1) Построение разрезов. Проведем n гладких разрезов
,..,
, соединяющих внешний контур
с каждым из внутренних контуров
(k = 1,..,n), так, чтобы эти разрезы не пересекались друг с
другом.
2) Переход к односвязной области. Эти разрезы превращают многосвязную область D в новую
область D*. Так как в D* нет «дырок», эта область является односвязной.
3)Формирование новой границы. Рассмотрим границу Г полученной односвязной области D*.
При обходе границы Г в положительном направлении:
Внеш контур
и внутренние контуры
проходятся так же, как и в исход обл.
Каждый разрез
проходится дважды в противоположных направлениях: один раз «туда»
(обозначим
) и один раз «обратно» (
).
4)Применение теоремы для односвязной области. Так как f(z) аналитична в D* (она аналитична
во всем D), то по теореме Коши для односвязной области:
5)Разложение интеграла. Представим интеграл по контуру Г как сумму интегралов по его
составляющим:
6)Взаимное уничтожение интегралов по разрезам. Так как f(z) однозначна и непрерывна на
разрезах, а проходы совершаются в противоположных направлениях, интегралы по разрезам
взаимно уничтожаются:
=>
7) Вывод. Подставляя это в равенство из пункта 5, получаем:
37. Сформулировать определение ряда Тейлора аналитической функции. Теоремы о
разложении аналитической функции в ряд Тейлора. Доказать неравенства Коши для
коэффициентов ряда Тейлора аналитической функции. Сформулировать и доказать теорему
Лиувилля.
Если функция f(z) аналитична в круге
, то она представима в виде суммы степенного
ряда
, где
, 0<p<R
Ряд
, коэффициенты которого вычисляются по формулам
, 0<p<R, называется рядом Тейлора функции f(z) по степеням
Теорема. Сумма степенного ряда
является аналитической функцией в
круге его сходимости.
Теорема. Степенной ряд, имеющий положительный радиус сходимости, является рядом Тейлора
для своей суммы.
Если функция f(z) аналитична в замкнутом круге
≤ R и на границе круга модуль функции
ограничен константой M > 0, то коэффициенты ряда Тейлора функции f(z) с центром в точке
удовлетворяют неравенствам
, n =0,1,2,…
< На границе круга
= R имеем |f(z)| ≤ М. Получим
>
Теорема Лиувилля. Если функция f(z) аналитична на всей комплексной плоскости и
ограничена, то она постоянна.
< В любом замкнутом круге | z | ≤ R функция f(z) представляется рядом Тейлора
, коэффициенты которого не зависят от R. Так как функция f(z) ограничена,
I f(z) | ≤ M, , то по формулам Коши имеем
При n = 1,2,... правая часть стремится к нулю при R → ∞, а левая часть не зависит от R, поэтому
= 0 для n = 1,2,... и f(z) =
.
38. Сформулировать определение ряда Лорана. Теоремы о разложении функции комплексного
переменного в ряд Лорана.
Если функция f(z) аналитична в кольце r <
< R, то она представима в этом кольце в виде
суммы сходящегося ряда f
, где
Ряд f
, коэффициенты которого вычисляются по формулам
, называется рядом Лорана функции f(z) по степеням
в
кольце r <
< R.
Теорема. Степенной ряд
, сходящийся в кольце г < |
| < R, является
рядом Лорана для своей суммы.
39. Сформулировать определение нуля аналитической функции порядка k. Сформулировать и
доказать теорему о виде аналитической функции в окрестности ее нуля. Сформулировать и
доказать теорему о виде ряда Тейлора аналитической функции в окрестности ее нуля порядка
k.
Точка
называется нулем k-го порядка аналитической функции f(z), если
Теорема (Вид аналитической функции в окрестности её нуля порядка k).
1 Если точка
является нулем функции f(z) порядка n, то
, где функция
аналитична в точке
и
0.
2 Если функцию f(z) можно представить в виде f (z) =
), где функция ),
аналитична в точке
и
0, то точка
является нулем ф-ии f(z) порядка n.
<1. Пусть
— нуль порядка n аналитической функции f(z). По определению это означает, что
Так как функция f(z) аналитична в окрестности точки
, ее можно представить в этой
окрестности сходящимся рядом Тейлора: f
, где
Из условий на производные имеем
=
= ... =
= 0, а
. Ряд
Тейлора принимает вид:
Вынесем
за скобки: f
Обозначим ряд в скобках в квадратных скобках через
. Ф-ия
представ СР, который сходится в той же окрестности, что и ряд для
f(z), следовательно,
аналитична в т
При
имеем:
=
= ... =
.
Т.к.
, то
. Таким образом,
, где
аналитична в
и
2. Пусть
, где
аналитична в окрестности
и
. Так как
,
аналитична в
, она представляется рядом Тейлора:
, где
Подставим это в выражение для f(z):
Этот ряд является рядом Тейлора функции f(z) в точке
. Коэффициенты этого ряда равны
. Сравнивая коэффициенты, видим:
При k = 0, 1, ..., n - 1: коэф
= 0, поскольку в ряду отсутствуют степени (
) ниже n-й.
Следовательно,
При k = n: коэффициент
=
. Следовательно,
Поскольку
, то
, а значит,
. Условия
и
означают, что
является нулем ф-ии f(z) порядка n.
Теорема (Вид ряда Тейлора аналитической функции в окрестности ее нуля порядка к).
Если точка
является нулем функции а(z) порядка n, то ряд Тейлора функции f(z) по степеням
имеет вид
,
< Поскольку функция f(z) аналитична в окрестности точки
, она может быть представлена в этой
окрестности сходящимся рядом Тейлора:
где коэффициенты
вычисляются по формуле:
. По условию, точка
является
нулем функции f(z) порядка n. По определению нуля порядка n это означает, что:
и
Используя формулу для коэффициентов Тейлора, получаем:
При k = 0, 1, ..., n - 1: коэф
= 0, поскольку в ряду отсутствуют степени (
) ниже n-й.
Следовательно,
=
= ... =
= 0
При k = n: коэффициент
=
Поскольку
и
Подставим эти значения коэффициентов в ряд Тейлора:
где, как было показано,
.
Таким образом, ряд Тейлора функции f(z) в окрестности её нуля порядка n начинается с члена,
содержащего
.
40. Сформулировать определения особой точки и изолированной особой точки функции
комплексного переменного. Сформулировать определения устранимой особой точки,
полюса и существенно особой точки. Сформулировать теорему о виде ряда Лорана в
окрестности особых точек разных типов.
Точка
называется особой точкой ФКП (), если () не является аналитической в точке
.
Особая точка
функции () называется изолированной, если функция () аналитична в
некоторой проколотой окрестности точки
.
Изолированная особая точка
функции () называется устранимой, если
Изолированная особая точка
функции () называется полюсом, если
Изолированная особая точка
функции () называется существенно особой, если
Теорема о виде ряда Лорана вокрестности особых точек разных типов. Пусть точка
− ИОТ
функции () и () представима в виде ряда Лорана:
в некоторой
окрестности точки
. Тогда:
1) В УОТ ряд Лорана не содержит главной части, то есть совпадает с рядом Тейлора, и имеет
вид:
2) В полюсе порядка главная часть ряда Лорана имеет конечное число слагаемых:
-ряд Тейлора
3) В СОТ главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых:
41. Сформулировать определения полюса функции комплексного переменного и по-
рядка полюса. Сформулировать и доказать теорему о представлении функции комплексного
переменного в окрестности ее полюса порядка k.
Изолированная особая точка
функции () называется полюсом, если
Порядком полюса
функции () называется такое число , что
Теорема (о представлении функции в окрестности её полюса порядка ) Пусть точка 0 является
полюсом порядка функции (), тогда () можно представить как
, где
аналитична в точке
и
0
42. Сформулировать определение вычета функции комплексного переменного в
изолированной особой точке. Сформулировать и доказать теорему Коши о вычетах.
Применение вычетов для вычисления контурных интегралов.
Вычетом в ИОТ
функции () называется число
, где в круге
нет других особых точек, отличных от
.
Теорема Коши о вычетах. Пусть функция () аналитична в
за исключением
конечного количества точек
. Тогда
< Окружности
, с центрами в точках
соответственно, такие, что
,
− круг, ограниченный окружностью
;
По следствию теоремы Коши для многосвязной области
:
>
Применение вычетов для вычисления контурных интегралов
Дано: вычислить
1) Найти особые точки
2) Найти, какие из особых точек лежат в области
3) Вычислить вычеты
для тех точек, которые расположены в области (
)
4) Вычислить интеграл по теореме Коши о вычетах:
Теорема. Вычет ФКП () в изолированной особой точке
равен коэффициенту
ряда
Лорана функции () в окрестности точки
:
Теорема. Если
− полюс порядка ф-ии (), то:
43. Расширенная комплексная плоскость и бесконечно удаленная точка. Сфера Римана.
Бесконечно удаленная точка как особая. Классификация бесконечно удаленных особых
точек. Сформулировать теорему о виде ряда Лорана в окрестности бесконечно удаленной
особой точки.
Расширенная комплексная плоскость
определяется как объединение комплексной плоскости и
бесконечно удалённой точки (БУТ), обозначаемой символом
Точка
= рассматривается как особая точка. Классификация характера особенности функции
f(z) в БУТ определяется значением предела
Теорема (о виде ряда Лорана в окрестности БУТ). Ряд Лорана в окрестности БУТ в
зависимости от её типа имеет вид:
1) В устранимой особой точке ряд Лорана не содержит положительных степеней:
2) В полюсе порядка () правильная часть ряда Лорана содержит конеч кол-во слагаемых:
3) В существенно особой точке правильная часть ряда Лорана содержит бесконеч число слагаемых:
44. Сформулировать определение вычета в бесконечно удаленной особой точке.
Сформулировать и доказать теорему о полной сумме вычетов.
Точка
= рассматривается как особая точка. Классификация характера особенности функции
f(z) в БУТ определяется значением предела
Вычетом в БУТ
функции () называется число
, где внутри
окружности
нет конечных особых точек и окружность проходится в направлении по ч.с.
Теорема Коши о полной сумме вычетов. Пусть функция () аналитична на всей комплексной
плоскости ℂ за исключением конечного числа особых точек
.
Тогда
=0
<Рассмотрим окружность ||= такую, что все особые точки
лежат внутри этой
окружности
Замечание: Вычет в бесконечно удалённой точке равен нулю, если БУТ ∞ является нулём
порядка 2 и выше.
45. Сформулировать определения тригоном. системы функций и ряда Фурье по тригоном.
системе функций. Сформулировать теорему Дирихле о сходимости тригоном. ряда Фурье.
Разложение функций в тригоном. ряд Фурье на отрезке [-l, l]. Разложение функций в тригоном.
ряд Фурье на отрезке (а, b).
Тригонометрической системой функций на отрезке [;] (=[;]) называется система
функций:
Тригоном. рядом Фурье ф-ии () на [;] назыв ряд:
,
где коэф
и
вычисляются по формулам:
Теорема Дирихле. Пусть () кусочно-непрерывна и кусочно-монотонна на [;] (условия
Дирихле). Тогда
тригоном. ряд Фурье этой фии сходится к сумме S(x), которая
определяется следующим образом:
Разложение на симметричном отрезке [-l, l]. Пусть функция
задана на отрезке [-l, l]
длины 2l. Ряд Фурье имеет вид:
Коэффициенты
вычисляются по формулам:
Частные случаи (учет четности):
• Если
- четная функция
то
, а
удваиваются по половине отрезка:
(Ряд по косинусам).
• Если
- нечетная функция
, то
, а
удваиваются по половине
отрезка:
(Ряд по синусам).
Разложение на произвольном отрезке [a, b]. Пусть
задана на отрезке [а, b]. Обозначим длину
отрезка и половину длины
. Ряд Фурье строится аналогично, но интегрирование
ведется по отрезку [a, b]:
, где коэф
и
вычисляются по
формулам:
46. Разложение четных и нечетных функций в тригонометрический ряд Фурье. Разложение в
ряды Фурье по косинусам и синусам кратных углов.
Разложение на симметричном отрезке [-l, l]. Пусть функция
задана на отрезке [-l, l]
длины 2l. Ряд Фурье имеет вид:
Коэффициенты
вычисляются по формулам:
Частные случаи (учет четности):
• Если
- четная функция
то
, а
удваиваются по половине отрезка:
(Ряд по косинусам).
• Если
- нечетная функция
, то
, а
удваиваются по половине
отрезка:
(Ряд по синусам).
47. Сформулировать определения ортогональной системы функций и ряда Фурье по
ортогональной системе функций в ЛНП. Задача о наилучшем приближении. Сформулировать
свойства рядов Фурье (о коэффициентах ряда Фурье, неравенство Бесселя, равенство
Парсеваля). Доказать одно из свойств (по выбору).
Система элементов
евклидова пространства Е называется ортогональной системой (ОС),
если скалярное произведение любых двух различных элементов равно 0:
Рядом Фурье функции по ортогональной системе {
} называется ряд
, где
– коэф Фурье,
- n-ая частичная сумма
Теорема (О коэффициентах ряда Фурье). Частичная сумма
ряда Фурье по OC
является наилучшим приближением для функции f по этой системе. То есть величина
принимает наименьшее значение при
.
< Рассмотрим квадрат отклонения частичной суммы ряда Фурье от исходной функции.
Обозначим эту функцию переменных
как F:
=0 при i
В силу ортогональности системы (все перекрёстные произведения равны 0), выражение
упрощается:
Чтобы найти минимальное значение функции
, приравняем частные производные
этой функции к нулю:
Для проверки достаточного условия минимума составим матрицу Гессе (матрицу вторых
производных):
Так как норма вектора положительна (
> 0), матрица Гессе
положительно определена.
Следовательно, найденная точка
является точкой локального минимума.
Значит, квадрат отклонения частичной суммы
ряда Фурье является лучшим приближением
исходной функции по ОС
>
Теорема (Неравенство Бесселя). Пусть
— ортогональная система в евклидовом
пространстве E, а
— коэффициенты Фурье элемента по этой системе. Тогда
справедливо неравенство:
Теорема (Равенство Парсеваля). Система функций
называется замкнутой (или полной) в
пространстве E, если ряд Фурье сходится к ней по норме. В этом случае (и только в этом)
неравенство превращается в равенство:
