Ëåêöèè ïî äèñöèïëèíå:

Ïðèêëàäíàÿ ìåõàíèêà è îñíîâû êîíñòðóèðîâàíèÿ ïðèáîðîâ

Ïðåïîäàâàòåëü:

Øåâöîâà Åêàòåðèíà Âèêòîðîâíà

Ñîïðîòèâëåíèå ìàòåðèàëîâ

1 Ââåäåíèå è îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

Äàííûé êóðñ ïîñâÿùåí ðàñ÷åòó êîíñòðóêöèé íà ïðî÷íîñòü è æ¼ñòêîñòü, ÿâëÿÿñü ââå-

äåíèåì â íàóêó î ïðî÷íîñòè è æ¼ñòêîñòè ìàòåðèàëîâ è ïðèáîðíûõ êîíñòðóêöèé.

Ïðîöåññ èíæåíåðíîãî àíàëèçà ñòðîèòñÿ ïî ñëåäóþùåé ëîãè÷åñêîé öåïî÷êå:

Ðåàëüíûé îáúåêò

↓

Ðàñ÷¼òíàÿ ñõåìà

(îñâîáîæäåíèå îò íåñóùåñòâåííûõ îñîáåííîñòåé)

↓

Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü

(ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé)

↓

Èññëåäîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè

↓

Àíàëèç ðåçóëüòàòîâ è âûðàáîòêà êîíêðåòíûõ ðåêîìåíäàöèé

Ïåðåõîä îò ðåàëüíîãî îáúåêòà ê ðàñ÷¼òíîé ñõåìå âêëþ÷àåò â ñåáÿ, êàê ïðàâèëî, äâà

îñíîâíûõ ýòàïà: ñõåìàòèçàöèþ ìàòåðèàëà è óïðîùåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé ôîðìû îáúåêòà.

2 Ñõåìàòèçàöèÿ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà

Îáùåïðèíÿòî ðàññìàòðèâàòü âñå ìàòåðèàëû êàê ñïëîøíóþ ñðåäó. **Ñïëîøíîñòü**

(òåîðèÿ ñïëîøíîñòè)  ýòî ñâîéñòâî ìàòåðèàëà çàïîëíÿòü âåñü çàíèìàåìûé îáúåì áåç

ïóñòîò. Äàííîå äîïóùåíèå ñïðàâåäëèâî, òàê êàê ãåîìåòðè÷åñêèé ðàçìåð òåëà ìíîãî áîëü-

øå, ÷åì ðàññòîÿíèå ìåæäó àòîìàìè.

Ïðè ðàñ÷åòàõ ïðèíèìàþòñÿ ñëåäóþùèå ôóíäàìåíòàëüíûå ãèïîòåçû:

1. Ãèïîòåçà îäíîðîäíîñòè.

Ñâîéñòâà ìàòåðèàëà íå çàâèñÿò îò ðàçìåðà âûäåëåííîãî

îáðàçöà (îäèíàêîâû âî âñåõ òî÷êàõ).

2. Ãèïîòåçà îá èçîòðîïèè.

Ñâîéñòâà ìàòåðèàëà îäèíàêîâû ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì

è íå çàâèñÿò îò óãëîâîé îðèåíòàöèè îáðàçöà. Õîòÿ ñóùåñòâóþò àíèçîòðîïíûå ìàòåðèàëû,

ìíîæåñòâî õàîòè÷íî îðèåíòèðîâàííûõ àíèçîòðîïíûõ êðèñòàëëîâ (ìåëêîêðèñòàëëè÷åñêàÿ

ñòðóêòóðà) â ìàêðîîáúåìå âåäóò ñåáÿ êàê èçîòðîïíîå òåëî.

3. Óïðóãîñòü.

Ýòî ñâîéñòâî êîíñòðóêöèè âîññòàíàâëèâàòü ðàçìåðû è ôîðìó ïîñëå

ñíÿòèÿ âíåøíåé íàãðóçêè. Ïðè íåáîëüøèõ íàãðóçêàõ ýòî ñâîéñòâî ñîõðàíÿåòñÿ ñ âûñîêîé

òî÷íîñòüþ.

3 Ãåîìåòðè÷åñêàÿ ñõåìàòèçàöèÿ îáúåêòà

Äëÿ óïðîùåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ôîðìû âûäåëÿþò òðè îñíîâíûõ ýëåìåíòà:

Ñòåðæåíü

 òåëî, îäíî èç èçìåðåíèé êîòîðîãî (äëèíà îñåâîé ëèíèè

) ìíîãî áîëüøå

äâóõ äðóãèõ ðàçìåðîâ (

a, b

), õàðàêòåðèçóþùèõ ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ñòåðæíÿ:

l ≫ a, b

Ïëàñòèíà (îáîëî÷êà)

 òåëî, îäíî èç èçìåðåíèé êîòîðîãî (òîëùèíà

) ìíîãî ìåíü-

øå äâóõ äðóãèõ ðàçìåðîâ (

a, b

δ ≪ a, b

Ìàññèâíîå òåëî

 òåëî, òðè èçìåðåíèÿ êîòîðîãî ïðèìåðíî îäèíàêîâû.

4 Ñõåìàòèçàöèÿ îïîð (ñâÿçåé)

1. Øàðíèðíî-ïîäâèæíàÿ îïîðà

Â òàêîé ñâÿçè çàïðåùåíî ïåðåìåùåíèå ïî îäíîé èç îñåé. Ïðè çàïðåùåííîì äâèæåíèè

âîçíèêàåò ñîïðîòèâëåíèå, êîòîðîå âûðàæàåòñÿ êàê

ðåàêöèÿ îïîðû

(âíåøíÿÿ ñèëà).

2. Øàðíèðíî-íåïîäâèæíàÿ îïîðà

Â äàííîì ñëó÷àå çàïðåùåíû îáà ëèíåéíûõ ïåðåìåùåíèÿ, ÷òî âûçûâàåò ñîîòâåòñòâóþ-

ùèå ðåàêöèè.

3. Ãëóõàÿ çàäåëêà

Çäåñü çàïðåùåíî ëþáîå ëèíåéíîå ïåðåäâèæåíèå è óãëîâîå ïåðåìåùåíèå (ïîâîðîò).

(c)

→

ðåàêòèâíûé ìîìåíò

Ðèñ. 1: Ñõåìà ðåàêöèé â ãëóõîé çàäåëêå

5 Ñõåìàòèçàöèÿ ñèë

Ñèëà

Ñèëû ðåàêöèè îïîðû

âíåøíèå:

âíóòðåííèå:

∗

 ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ ðàññìàò-

ðèâàåìîãî îáúåêòà ñ òåëàìè, íå

âêëþ÷åííûìè â ðàñ÷¼òíóþ ñõåìó.

ïîâåðõíîñòíûå:

îáúåìíûå:

 ïðèëîæåíû ê íåêî-

òîðûì ó÷àñòêàì

ïîâåðõíîñòè òåëà.

→

Ñîñðåäîòî÷åííûå

→

Ðàñïðåäåëåííûå

(ãðàâèòàöèîííûå, ìàã-

íèòíûå, èíåðöèîííûå)

Âíåøíèå ñèëû

áûâàþò ñîñðåäîòî÷åííûìè è ðàñïðåäåëåííûìè. Ðàñïðåäåëåííàÿ íà-

ãðóçêà õàðàêòåðèçóåòñÿ èíòåíñèâíîñòüþ

è ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê ðàâíîäåéñòâóþùåé

[q] =

ìì

; [P ] =

Âíóòðåííèå ñèëû (

∗

)

 ýòî ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ÷àñòÿìè ðàññìàòðèâàå-

ìîãî îáúåêòà. Ñóùåñòâóåò çàâèñèìîñòü: ÷åì áîëüøå ñèñòåìà âíåøíèõ ñèë, òåì áîëüøå

âçàèìîäåéñòâèå ñèë âíóòðè. Îò âíóòðåííèõ óñèëèé çàâèñÿò ïðî÷íîñòíûå è æåñòêîñòíûå

õàðàêòåðèñòèêè.

Íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå î âíóòðåííèõ ñèëàõ äàþò

ýïþðû

 ãðàôè÷åñêîå ïðåäñòàâ-

ëåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ ñèë â ñòåðæíå.

6 Ìåòîä ñå÷åíèé

Âíóòðåííèå óñèëèÿ âûÿâëÿþò ìåòîäîì ñå÷åíèé. Îí îñíîâàí íà ïðèíöèïå: åñëè êîí-

ñòðóêöèÿ ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ñèñòåìû ñèë (

. . . P

) íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè, òî è

ëþáàÿ å¼ ÷àñòü òîæå íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè.

Óñëîâèÿ ñòàòè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ:



ñóììà âíåøíèõ ñèë

= 0

;



ñóììà ìîìåíòîâ

= 0

Îñü ñòåðæíÿ

 ëèíèÿ, ñîåäèíÿþùàÿ öåíòðû òÿæåñòè ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé. Åñëè

âíåøíÿÿ íàãðóçêà íà êàæäóþ èç îòñå÷åííûõ ÷àñòåé íå îáåñïå÷èâàåò å¼ ñòàòè÷åñêîå ðàâ-

íîâåñèå, òî ìåæäó ìàòåðèàëîì ïî îáå ñòîðîíû ñå÷åíèÿ âîçíèêàþò âíóòðåííèå óñèëèÿ, ïðè

ïîìîùè êîòîðûõ îäíà ÷àñòü ñòåðæíÿ óäåðæèâàåò â ðàâíîâåñèè äðóãóþ.

Ýòè âíóòðåííèå óñèëèÿ õàðàêòåðèçóþòñÿ:

Ãëàâíûì âåêòîðîì âíóòðåííèõ ñèë

(ïðèëîæåí â öåíòð ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ);

Ãëàâíûì ìîìåíòîì âíóòðåííèõ ñèë

Âìåñòî âåêòîðîâ èñïîëüçóþò èõ ïðîåêöèè íà îñè âûáðàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò (îáû÷-

íî èñïîëüçóþòñÿ ïðàâûå òðîéêè). Â îáùåì ñëó÷àå íàãðóæåíèÿ â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè

ñòåðæíÿ âîçíèêàþò 6 ñèëîâûõ ôàêòîðîâ:



 íîðìàëüíàÿ (ïðîäîëüíàÿ) ñèëà;



, Q

 ïîïåðå÷íûå ñèëû;



 êðóòÿùèé ìîìåíò (çàêðó÷èâàåò îòíîñèòåëüíî îñè);



, M

 èçãèáàþùèå ìîìåíòû (èçãèáàþò îòíîñèòåëüíî îñåé

x, y

Ñëó÷àé, êîãäà ïðèñóòñòâóþò âñå 6 ôàêòîðîâ, âñòðå÷àåòñÿ êðàéíå ðåäêî.

7 ×àñòíûå ñëó÷àè íàãðóæåíèÿ è ïðàâèëà çíàêîâ

1. Ðàñòÿæåíèå èëè ñæàòèå.

Âîçíèêàåò, êîãäà

N = 0

, à

= Q

= M = M

= M

= 0

Ïðàâèëî çíàêîâ:

Ðàñòÿãèâàþùóþ íîðìàëüíóþ ñèëó ïðèíÿòî ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëüíîé, à

ñæèìàþùóþ  îòðèöàòåëüíîé.

2. Êðó÷åíèå.

Âîçíèêàåò, êîãäà

M = 0

, à îñòàëüíûå ôàêòîðû ðàâíû íóëþ.

Ïðàâè-

ëî çíàêîâ:

Êðóòÿùèé ìîìåíò ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, åñëè îí íàïðàâëåí ïðîòèâ õîäà

÷àñîâîé ñòðåëêè ïðè âçãëÿäå íà ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ñî ñòîðîíû âíåøíåé íîðìàëè.

3. ×èñòûé èçãèá.

Âîçíèêàåò, êîãäà

= 0

è/èëè

= 0

, à

= Q

= N = M = 0

Â ÷èñòîì âèäå âñòðå÷àåòñÿ êðàéíå ðåäêî.

4. Ïîïåðå÷íûé èçãèá.

Âîçíèêàåò ïðè

= 0, M

= 0

è íàëè÷èè ïîïåðå÷íûõ ñèë

= 0, Q

= 0

(ïðè

M = 0, N = 0

Ïðàâèëî çíàêîâ:

Ïîëîæèòåëüíûé çíàê ïðèñâàèâàåòñÿ

ïîïåðå÷íîé ñèëå, äåéñòâóþùåé íà ïðàâîé ñòîðîíå ñå÷åíèÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè

îñè (èëè ñòðåìÿùåéñÿ âðàùàòü ýëåìåíò ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå), ÷òîáû îáåñïå÷èòü ðàâíîâåñèå.

5. Ñëîæíîå ñîïðîòèâëåíèå (âñå ñëó÷àè).

Ýïþðû ñòðîÿò íà ñæàòîì âîëîêíå. Íåîá-

õîäèìî ðàçëè÷àòü ðàñòÿíóòûå è ñæàòûå âîëîêíà êîíñòðóêöèè.

8 Îñíîâíûå ïðèíöèïû ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëîâ

1. Ïðèíöèï íà÷àëüíûõ ðàçìåðîâ.

Ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé ñòàòèêè òåëî ðàñ-

ñìàòðèâàþò êàê íåäåôîðìèðîâàííîå, òî åñòü èìåþùåå òå æå ãåîìåòðè÷åñêèå ðàçìåðû,

êîòîðûå îíî èìåëî äî íàãðóæåíèÿ. Äàííûé ïðèíöèï íå ïðèìåíèì ê ¾ìãíîâåííûì ìåõà-

íèçìàì¿.

2. Ïðèíöèï íåçàâèñèìîñòè äåéñòâèÿ ñèë (ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè).

Ñïðàâåä-

ëèâ òîëüêî äëÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì, îïèñûâàåìûõ ëèíåéíûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâ-

íåíèÿìè. Åñëè íà ëèíåéíóþ ñèñòåìó äåéñòâóåò ñîâîêóïíîñòü âíåøíèõ ñèë, òî ñîñòîÿíèå

ñèñòåìû íå çàâèñèò îò ïîðÿäêà ïðèëîæåíèÿ ñèë. Ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ ñîâîêóïíîñòè ñèë

ðàâåí ñóììå ýôôåêòîâ, ïðîèçâîäèìûõ êàæäîé ñèëîé â îòäåëüíîñòè.

3. Ïðèíöèï Ñåí-Âåíàíà.

Îñîáåííîñòè ïðèëîæåíèÿ âíåøíåé íàãðóçêè ïðîÿâëÿþò-

ñÿ, êàê ïðàâèëî, íà ðàññòîÿíèÿõ, íå ïðåâûøàþùèõ õàðàêòåðíûõ ðàçìåðîâ ïîïåðå÷íîãî

ñå÷åíèÿ.

Åäèíèöû èçìåðåíèÿ íàïðÿæåíèé (P):

[P ] =

Ïà (Ïàñêàëü)  â ñèñòåìå ÑÈ

[P ] =

ìì

ÌÏà (Ìåãàïàñêàëü)

Íàïðÿæåíèå. Ïåðåìåùåíèå. Äåôîðìàöèè.

9 Íàïðÿæåíèå

Ðàññìîòðèì òåëî ïîä äåéñòâèåì ñèë

. . . P

. Äëÿ òîãî, ÷òîáû îõàðàêòåðèçîâàòü ðàñ-

ïðåäåëåíèå âíóòðåííèõ ñèë ïî ïîïåðå÷íîìó ñå÷åíèþ, íåîáõîäèìî ââåñòè äëÿ íèõ ÷èñëîâóþ

ìåðó. Çà òàêóþ ìåðó ïðèíèìàþò íàïðÿæåíèå.

Ïóñòü

∆S

 ýëåìåíòàðíàÿ ïëîùàäêà, à

∆R

 âíóòðåííÿÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà íåå.

Òîãäà ñðåäíåå íàïðÿæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ êàê:

∆R

∆S

Òàê êàê ñðåäà ñ÷èòàåòñÿ ñïëîøíîé è îäíîðîäíîé, ñóùåñòâóåò ïðåäåëüíûé ïåðåõîä:

lim

∆S→0

∆R

∆S

= P

Âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà

 ýòî íàïðÿæåíèå â äàííîé òî÷êå äëÿ äàííîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ

(ïîëíîå íàïðÿæåíèå).

Äðóãàÿ âíóòðåííÿÿ ñèëà âûçûâàåò äðóãîå íàïðÿæåíèå. Äëÿ òîãî ÷òîáû îõàðàêòåðèçî-

âàòü íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå â òî÷êå

, ââåäåì â ýòó òî÷êó ñèñòåìó êîîðäèíàò

x, y, z

òàê,

÷òîáû îñü

áûëà íîðìàëüþ ê ïîïåðå÷íîìó ñå÷åíèþ, à îñè

x, y

ïðèíàäëåæàëè ïëîñêîñòè

ñå÷åíèÿ è îáðàçîâûâàëè ïðàâóþ òðîéêó.

Ïîëíîå íàïðÿæåíèå â òî÷êå

ëîãè÷íî ðàçëàãàåòñÿ íà 3 ñîñòàâëÿþùèõ: îäíà èç íèõ

ïåðïåíäèêóëÿðíà ñå÷åíèþ, à äðóãèå ïàðàëëåëüíû îñÿì.



 íîðìàëüíîå íàïðÿæåíèå (õàðàêòåðèçóåò îòðûâ ÷àñòèö äðóã îò äðóãà).



 êàñàòåëüíîå íàïðÿæåíèå (õàðàêòåðèçóåò ñäâèã).

Íà íåâèäèìûõ ãðàíÿõ âûäåëåííîãî ýëåìåíòàðíîãî îáúåìà íàïðÿæåíèÿ áóäóò òàêèìè

æå, íî íàïðàâëåíû â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû. Â îáùåì ñëó÷àå âîçíèêàåò 9 ñîñòàâëÿþ-

ùèõ íàïðÿæåíèÿ.

Òåíçîð íàïðÿæåíèé:



*Ñâÿçàí ñ ìàòðèöåé íàïðàâëÿþùèõ êîñèíóñîâ.

Çíàÿ òåíçîð, ìîæíî îïðåäåëèòü íàïðÿæåíèå â ëþáîé íàêëîííîé ïëîùàäêå, íàêëîíåí-

íîé ê äàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ñîãëàñíî çàêîíó ïàðíîñòè êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé,

íàïðÿæåíèÿ, íàïðàâëåííûå ê îáùåìó ðåáðó (óãëó), èìåþò îäèíàêîâûå çíà÷åíèÿ:

= τ

, τ

= τ

, τ

= τ

10 Ïåðåìåùåíèå è äåôîðìàöèÿ

Âåêòîð, èìåþùèé íà÷àëî â íåêîòîðîé òî÷êå íåäåôîðìèðîâàííîãî òåëà, à êîíåö â ñîîò-

âåòñòâóþùåé òî÷êå äåôîðìèðîâàííîãî òåëà, íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì ïîëíîãî ïåðåìåùåíèÿ

òî÷êè (

u

u = u ·



i + v ·



j + w ·



Èíòåíñèâíîñòü èçìåíåíèÿ ôîðìû è ðàçìåðîâ òâ¼ðäîãî òåëà õàðàêòåðèçóåòñÿ äåôîðìà-

öèåé. Îòíîøåíèå èçìåíåíèÿ äëèíû îòðåçêà ê íà÷àëüíîé äëèíå íàçûâàþò ñðåäíèì óäëè-

íåíèåì (

∆S

Ñóùåñòâóåò ïðåäåëüíûé ïåðåõîä, îïðåäåëÿþùèé ëèíåéíóþ äåôîðìàöèþ â íàïðàâëåíèè

(ïðîñòî äåôîðìàöèÿ):

lim

S→0

∆S

= ε

[Ñõåìàòè÷íî: Òåëî ïîä íàãðóçêîé, óãëîâàÿ äåôîðìàöèÿ]

Ñðåäíÿÿ óãëîâàÿ äåôîðìàöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê èçìåíåíèå óãëà ìåæäó âîëîêíàìè:

= ∠ACB − ∠A

′

Â ïðåäåëå ïîëó÷àåì óãëîâóþ äåôîðìàöèþ (èçìåðÿåòñÿ â ðàäèàíàõ):

γ = lim

AC→0

BC→0

(∠ACB − ∠A

′

)

Ñîâîêóïíîñòü ëèíåéíûõ è óãëîâûõ äåôîðìàöèé îáðàçóåò òåíçîð äåôîðìàöèè.

11 Ðàñ÷¼ò íà ïðî÷íîñòü ïðè ðàñòÿæåíèè-ñæàòèè

11.1 Ðàñòÿæåíèå èëè ñæàòèå ïðÿìîãî ñòåðæíÿ

Ðàñòÿæåíèå è ñæàòèå  âèä íàãðóæåíèÿ, ïðè êîòîðîì â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè ñòåðæíÿ

âîçíèêàþò òîëüêî íîðìàëüíûå ñèëû, à âñå îñòàëüíûå âíóòðåííèå ñèëîâûå ôàêòîðû ðàâíû

íóëþ (ñèëû ïðèëîæåíû ê êîíöàì ñòåðæíÿ).

Íîðìàëüíàÿ ñèëà, íàïðàâëåííàÿ îò ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ, ñ÷èòàåòñÿ ðàñòÿãèâàþùåé

(ïîëîæèòåëüíîé), à ê ïîïåðå÷íîìó ñå÷åíèþ  ñæèìàþùåé (îòðèöàòåëüíîé).

Èç óðàâíåíèÿ ñòàòèêè:

N = P

11.2 Äîïóùåíèÿ ïðè ðàñòÿæåíèè

1. Ãèïîòåçà ïëîñêèõ ñå÷åíèé (Áåðíóëëè): ñå÷åíèÿ, ïëîñêèå è íîðìàëüíûå ê îñè ñòåðæíÿ

äî äåôîðìàöèè, îñòàþòñÿ ïëîñêèìè è íîðìàëüíûìè ê íåé ïîñëå äåôîðìàöèè.

2. Âñå ïðîäîëüíûå âîëîêíà äåôîðìèðóþòñÿ îäèíàêîâî.

3. Íåíàãðóæåííûå ïðîäîëüíûå ñëîè íå äàâèò äðóã íà äðóãà (

= σ

= 0

Ñâÿçü ìåæäó íîðìàëüíîé ñèëîé è íàïðÿæåíèåì:

N =

σ dS = σ · S

11.3 Çàêîí Ãóêà

Ïóñòü

∆l

 óäëèíåíèå,

 íà÷àëüíàÿ äëèíà. Ëèíåéíîå îòíîñèòåëüíîå óäëèíåíèå ñòåðæ-

íÿ:

ε =

∆l

Äëÿ áîëüøèíñòâà êîíñòðóêöèîííûõ ìàòåðèàëîâ â ïðåäåëàõ ìàëûõ óäëèíåíèé ñïðàâåäëèâ

çàêîí Ãóêà, êîòîðûé óñòàíàâëèâàåò ïðÿìóþ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü ìåæäó äåôîðìàöèåé è

íàïðÿæåíèåì:

σ = E · ε

ãäå

 ìîäóëü Þíãà (ìîäóëü óïðóãîñòè ïåðâîãî ðîäà), êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíî-

ñòè.

Íàáëþäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî óäëèíåíèå ñòåðæíÿ â îñåâîì íàïðàâëåíèè ñîïðîâîæäà-

åòñÿ óìåíüøåíèåì åãî ïîïåðå÷íûõ ðàçìåðîâ. Ïîïåðå÷íàÿ äåôîðìàöèÿ:

ïîïåð

∆a

Ñóùåñòâóåò ñâÿçü ìåæäó ïîïåðå÷íîé è ïðîäîëüíîé äåôîðìàöèÿìè ÷åðåç êîýôôèöèåíò

Ïóàññîíà (

ïîïåð

= −µε

Çíà÷åíèÿ

âàðüèðóþòñÿ â ïðåäåëàõ

0 . . . 0, 5



Ðåçèíà, êàó÷óê:

µ ≈ 0, 46 . . . 0, 49



Êîíñòðóêöèîííûå ìàòåðèàëû (ñòàëè):

µ ≈ 0, 23 . . . 0, 35

12 Èñïûòàíèå ìàòåðèàëîâ íà ðàñòÿæåíèå è ñæàòèå

Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íà ïðî÷íîñòü è æåñòêîñòü (ïðÿìàÿ çàäà÷à èëè ïðîåêòíûé ðàñ÷¼ò)

íåîáõîäèìî èìåòü èíôîðìàöèþ î õàðàêòåðèñòèêàõ ìàòåðèàëà, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ íà îñ-

íîâàíèè èñïûòàíèé. Âíåøíÿÿ ñèñòåìà ñèë ñâÿçûâàåòñÿ ñ ãàáàðèòíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè.

Ïðè èñïûòàíèÿõ íà ðàñòÿæåíèå èñïîëüçóþò êðóãëûå çàãîòîâêè (îáðàçöû). Èõ îñîáåí-

íîñòüþ ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå óøèðåííûõ ìåñò çàõâàòà è ïëàâíîãî ïåðåõîäà ê îòíîñèòåëüíî

îñëàáëåííîé ðàáî÷åé ÷àñòè.

Ïàðàìåòðû ñòàíäàðòíîãî îáðàçöà:

ðàá

≈ 15 · d,

≈ 10

Îáðàçåö ðàçðûâàþò ñèëàìè

âäîëü îñè ñòåðæíÿ. Òåíçî-äàò÷èêè è òåíçî-ðåçèñòîðû èç-

ìåðÿþò äåôîðìàöèþ è íàïðÿæåíèå.

Ïðè ñæàòèè èñïîëüçóþò êîðîòêèå òîëñòûå îáðàçöû, âûñîòà êîòîðûõ ñîñòàâëÿåò

h ≈

(1, 5 . . . 2)d

12.1 Äèàãðàììà ðàñòÿæåíèÿ

Íèæå ïðåäñòàâëåíà òèïè÷íàÿ äèàãðàììà çàâèñèìîñòè ñèëû

îò óäëèíåíèÿ

∆l

äëÿ

ïëàñòè÷íîãî ìàòåðèàëà (íàïðèìåð, ìàëîóãëåðîäèñòîé ñòàëè).

∆l

max

ðàçð

Óïðóãàÿ çîíà

Ïëîùàäêà òåêó÷åñòè*

* Ïëîùàäêà òåêó÷åñòè (óäëèíåíèå ïðè íåèçìåííîì óñèëèè) õàðàêòåðíà íå äëÿ âñåõ

ìàòåðèàëîâ.

Ïîñëå ïëîùàäêè òåêó÷åñòè ñëåäóåò

çîíà óïðî÷íåíèÿ

. Â ýòîé çîíå ïîÿâëÿåòñÿ

øåéêà

 ëîêàëüíîå ñóæåíèå, ïî êîòîðîìó â èòîãå ðàçðóøàåòñÿ îáðàçåö.



max

 ìàêñèìàëüíàÿ ñèëà, êîòîðóþ âûäåðæàë îáðàçåö.



ðàçð

 ñèëà â ìîìåíò ðàçðóøåíèÿ.

Ïåðåõîäÿ îò ñèë ê íàïðÿæåíèÿì (äåëèì íà íà÷àëüíóþ ïëîùàäü

), ïîëó÷àåì äèà-

ãðàììó

σ − ε

12.2 Îñíîâíûå ìåõàíè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè

17.09.25

(èëè

ïö

) 

ïðåäåë ïðîïîðöèîíàëüíîñòè / óïðóãîñòè

: íàèáîëüøåå íàïðÿæå-

íèå, âïëîòü äî êîòîðîãî äåôîðìàöèè îñòàþòñÿ óïðóãèìè (ñîáëþäàåòñÿ çàêîí Ãóêà).



ïðåäåë òåêó÷åñòè

: íàïðÿæåíèå, ïðè êîòîðîì ïðîèñõîäèò çíà÷èòåëüíîå óâå-

ëè÷åíèå ïëàñòè÷åñêîé äåôîðìàöèè ïðè íåèçìåííîé íàãðóçêå.



ïðåäåë ïðî÷íîñòè (âðåìåííîå ñîïðîòèâëåíèå)

: îòíîøåíèå ìàêñèìàëüíîé

íàãðóçêè, âûäåðæèâàåìîé îáðàçöîì, ê íà÷àëüíîé ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ:

max

ðàçð

 äåéñòâèòåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ðàçðûâó (íàïðÿæåíèå ðàçðóøåíèÿ):

ðàçðóø

ðàçð

øåéêè

(îáû÷íî â ðàñ÷åòàõ èñïîëüçóþò óñëîâíîå íàïðÿæåíèå ïî

)

Äëÿ ïëàñòè÷íûõ ìàòåðèàëîâ õàðàêòåðíî ñîîòíîøåíèå

> σ

. Âñå õàðàêòåðèñòèêè ñòàí-

äàðòèçèðîâàíû (ÃÎÑÒ).

13 Êëàññèôèêàöèÿ ìàòåðèàëîâ: õðóïêîñòü è ïëàñòè÷-

íîñòü

Ïî âèäó äèàãðàìì ðàñòÿæåíèÿ/ñæàòèÿ âñå ìàòåðèàëû äåëÿò íà õðóïêèå è ïëàñòè÷íûå.

Ïëàñòè÷íîñòü

 ñïîñîáíîñòü ìàòåðèàëà ïîëó÷àòü áîëüøèå îñòàòî÷íûå äåôîðìàöèè

áåç ðàçðóøåíèÿ. Ìåðîé ïëàñòè÷íîñòè ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíîå óäëèíåíèå ïðè ðàçðûâå:

δ =

∆l

· 100% =

ðàçð

− l

· 100%

×åì áîëüøå

, òåì áîëåå ïëàñòè÷íûì ÿâëÿåòñÿ ìàòåðèàë. Ïðèìåðû: îòîææåííàÿ ìåäü,

àëþìèíèé, ìàëîóãëåðîäèñòàÿ ñòàëü, ëàòóíü.

Õðóïêîñòü

 ñâîéñòâî, ïðîòèâîïîëîæíîå ïëàñòè÷íîñòè, òî åñòü ñïîñîáíîñòü ìàòåðè-

àëà ðàçðóøàòüñÿ áåç çàìåòíûõ îñòàòî÷íûõ äåôîðìàöèé. Äëÿ õðóïêèõ ìàòåðèàëîâ (âûñî-

êîóãëåðîäèñòûå ëåãèðîâàííûå ñòàëè, ÷óãóí, ñòåêëî):

δ ≈ 2 . . . 5%

Ñðàâíåíèå äèàãðàìì:

Õðóïêîå ðàçðóøåíèå

Ïëàñòè÷íîå ðàçðóøåíèå

Õðóïêèå è ïëàñòè÷íûå ìàòåðèàëû òàêæå âåäóò ñåáÿ ïî-ðàçíîìó ïðè ñæàòèè.

14 Ìåõàíè÷åñêèå ñâîéñòâà ìàòåðèàëîâ

14.1 Ñðàâíåíèå õðóïêèõ è ïëàñòè÷íûõ ìàòåðèàëîâ

Ñîïîñòàâëåíèå ïðåäåëà ïðî÷íîñòè õðóïêèõ ìàòåðèàëîâ ïðè ðàñòÿæåíèè è ïðè ñæàòèè

ïîêàçûâàåò, ÷òî ýòè ìàòåðèàëû îáëàäàþò áîëåå âûñîêèìè ïðî÷íîñòíûìè ñâîéñòâàìè ïðè

ñæàòèè, ÷åì ïðè ðàñòÿæåíèè. Êîýôôèöèåíò ñîîòíîøåíèÿ ïðåäåëîâ ïðî÷íîñòè îïðåäåëÿ-

åòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

k =

ðàñò.

ñæ.

Äëÿ ÷óãóíà ýòî çíà÷åíèå ñîñòàâëÿåò:

÷óãóíà

= 0, 2 . . . 0, 4

Ó ïëàñòè÷íûõ ìàòåðèàëîâ ïðî÷íîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè îêàçûâàþòñÿ ñîïîñòàâèìûìè

ïî ïðåäåëó òåêó÷åñòè:

ðàñò.

≈ σ

ñæ.

Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî äåëåíèå ìàòåðèàëîâ íà õðóïêèå è ïëàñòè÷íûå âåñüìà óñëîâíî,

òàê êàê íå ñóùåñòâóåò ðåçêîãî ïåðåõîäà â çíà÷åíèÿõ îòíîñèòåëüíîãî óäëèíåíèÿ

. Ìíîãîå

îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèÿìè, ïðè êîòîðûõ ïðîâîäèòñÿ èñïûòàíèå.

14.2 Òâ¼ðäîñòü ìàòåðèàëîâ

Ïîä òâ¼ðäîñòüþ ïîíèìàåòñÿ ñïîñîáíîñòü ìàòåðèàëà ïðîòèâîäåéñòâîâàòü ïðîíèêíîâå-

íèþ â íåãî äðóãèõ, áîëåå òâ¼ðäûõ òåë. Íà ïðàêòèêå ÷àñòî ïðèìåíÿåòñÿ ñðàâíèòåëüíàÿ

õàðàêòåðèñòèêà òâ¼ðäîñòè  ïðîáû íà òâ¼ðäîñòü. Íàèáîëüøåå ðàñïðîñòðàíåíèå ïîëó÷èëè

äâà ñïîñîáà: ïî Áðèííåëþ (HB) è ïî Ðîêâåëþ (HRC).

Â ïåðâîì ñëó÷àå â ïîâåðõíîñòü èññëåäóåìîé äåòàëè âäàâëèâàåòñÿ ñòàëüíîé øàðèê, à

âî âòîðîì  àëìàçíûé îñòðûé íàêîíå÷íèê. Ïî îáìåðó ïîëó÷åííîãî îòïå÷àòêà ñóäÿò î

òâ¼ðäîñòè ìàòåðèàëà.

15 Ðàñ÷¼òû íà ïðî÷íîñòü ïðè ðàñòÿæåíèè è ñæàòèè

Ðàññìîòðèì ñòåðæåíü, íàãðóæåííûé ïðîäîëüíîé ñèëîé.

Ïåðâûì ýòàïîì ðàñ÷¼òà ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå ýïþð âíóòðåííèõ ñèëîâûõ ôàêòîðîâ. Îñ-

íîâíûì è íàèáîëåå ðàñïðîñòðàí¼ííûì ìåòîäîì ðàñ÷¼òà íà ïðî÷íîñòü ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ðàñ-

÷¼òà ïî íàïðÿæåíèÿì. Ðàñ÷¼ò âñåãäà âåäóò ïî ìàêñèìàëüíîìó ðàáî÷åìó íàïðÿæåíèþ

max

êîòîðîå âîçíèêàåò â êîíñòðóêöèè. Ýòî íàïðÿæåíèå íå äîëæíî ïðåâûøàòü íåêîòîðîãî õà-

ðàêòåðíîãî íàïðÿæåíèÿ, ñâîéñòâåííîãî äàííîìó ìàòåðèàëó è óñëîâèÿì ðàáîòû êîíñòðóê-

öèè (äîïóñêàåìîãî íàïðÿæåíèÿ):

max

≤ [σ]

Èñïîëüçóÿ ìåòîä ñå÷åíèé, îïðåäåëèì âíóòðåííèå óñèëèÿ. Èç óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ äëÿ

îòñå÷¼ííîé ÷àñòè (ñóììà ïðîåêöèé ñèë íà îñü ñòåðæíÿ):

N − P = 0 =⇒ N = P

Íîðìàëüíîå íàïðÿæåíèå â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:

σ =

Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ó÷àñòêîâ ñòåðæíÿ íàïðÿæåíèÿ áóäóò ðàâíû

. Ìàêñèìàëüíîå

íàïðÿæåíèå:

max

Äîïóñêàåìîå íàïðÿæåíèå

[σ]

îïðåäåëÿåòñÿ êàê îòíîøåíèå íåêîòîðîãî ïðåäåëüíîãî èëè

õàðàêòåðíîãî äëÿ äàííîãî ìàòåðèàëà íàïðÿæåíèÿ

(ïðåäåëà ïðî÷íîñòè èëè ïðåäåëà òå-

êó÷åñòè) ê êîýôôèöèåíòó çàïàñà

[σ] =

Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå ïðî÷íîñòè ïðèíèìàåò âèä:

≤

Çäåñü

 ÷èñëî áîëüøå åäèíèöû, íàçûâàåìîå êîýôôèöèåíòîì çàïàñà. Äëÿ âûáîðà õàðàê-

òåðíîãî íàïðÿæåíèÿ íåîáõîäèìî îáðàòèòüñÿ ê ñïðàâî÷íèêó ìàòåðèàëîâ.

16 Ïåðåìåùåíèå òî÷åê êîíñòðóêöèè

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïåðåìåùåíèé èñïîëüçóåòñÿ çàêîí Ãóêà:

σ = E · ε

Îòíîñèòåëüíàÿ äåôîðìàöèÿ

ñâÿçàíà ñ ïåðåìåùåíèåì

ñîîòíîøåíèåì:

ε =

Îòñþäà ïåðåìåùåíèå ñå÷åíèÿ ñ êîîðäèíàòîé

ðàâíî:

W (z) = W (0) +

ℓ

Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ñòåðæíÿ ïåðåìåùåíèÿ íà ó÷àñòêàõ ñîñòàâÿò:

= 0 +

ℓ

P/S

dz =

P ℓ

ℓ

2SE

dz =

P ℓ

2SE

P ℓ

Îáùåå óäëèíåíèå ñòåðæíÿ:

∆l =

P l

17 Âèäû èíæåíåðíûõ ðàñ÷¼òîâ

Âñå èíæåíåðíûå çàäà÷è äåëÿòñÿ íà ïðÿìóþ çàäà÷ó (ïðîåêòíûé ðàñ÷¼ò) è îáðàòíóþ

çàäà÷ó (ïðîâåðî÷íûé ðàñ÷¼ò). Ïðè ïðîåêòíîì ðàñ÷¼òå èçâåñòíû òîëüêî ðàñ÷¼òíàÿ ñõåìà è

ñèñòåìà âíåøíèõ ñèë. Â ðåçóëüòàòå äàííîãî ðàñ÷¼òà îïðåäåëÿþòñÿ ðàçìåðû ïîïåðå÷íûõ

ñå÷åíèé êîíñòðóêöèè.

Ïðèìåð ðàñ÷¼òà

Äàíî:



Ïðåäåë ïðî÷íîñòè

= 1000

ÌÏà



Êîýôôèöèåíò çàïàñà

n = 2



Íàãðóçêà

P = 2

Íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü ïëîùàäü ñå÷åíèÿ

è äèàìåòð

Ðåøåíèå:

ÌÏà

= 1

ìì

Ïëîùàäü êðóãëîãî ñå÷åíèÿ

S =

πd

. Èñõîäÿ èç óñëîâèÿ ïðî÷íîñòè:

S =

P · n

2 · 2

1000

= 0, 004

ìì

Âû÷èñëÿåì äèàìåòð:

d =

4 · 0, 004

≈ 0, 07

ìì

Ïî ÃÎÑÒó ñòàíäàðòîì ïðåäóñìîòðåíî, ÷òî ñóùåñòâóþò ïðåäïî÷òèòåëüíûå ðÿäû ÷è-

ñåë, îáû÷íî ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ. Õàðàêòåðíûå çíà÷åíèÿ

ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ (èëè ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ):

1; 1, 25; 1, 6; 2, 0; 2, 5; 3, 2; 4, 5; 6, 3; 8; 10.

Ìèíèìàëüíûé äèàìåòð, êîòîðûé ìîæíî íîðìàëüíî èçãîòîâèòü (âàë), ñîñòàâëÿåò

d ∼ 3

ìì

(ðÿä 3,2). Åñëè

d ≥ 0, 07

, ïðèíèìàåì êîíñòðóêòèâíîå ðåøåíèå, íàïðèìåð

d = 3

ìì.

Äîìàøíåå çàäàíèå:

Ðåøèòü îáðàòíóþ çàäà÷ó (íàéòè

18 Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ äåôîðìàöèè

Âíåøíÿÿ ñèñòåìà ïðèëîæåííûõ ñèë ñîâåðøàåò ðàáîòó ïî ïåðåìåùåíèþ òî÷åê êîí-

ñòðóêöèè.

A = U + K

ãäå

 ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ,

 êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ (çàâèñèò îò ñêîðîñòè ïåðå-

ìåùåíèÿ òî÷åê). Ïðè ñòàòè÷åñêîì íàãðóæåíèè êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ðàâíà íóëþ, è âñÿ

ðàáîòà ïåðåõîäèò â ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ äåôîðìàöèè (

A = U

Ðàññìîòðèì ðàñòÿæåíèå ñòåðæíÿ. Ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ:

U =

P ∆ℓ

Â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå äëÿ ýëåìåíòà äëèíû

dU =

Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ äåôîðìàöèè äëÿ âñåãî ñòåðæíÿ îïðåäåëÿåòñÿ èíòåãðàëîì ïî äëèíå:

U =

ℓ

ãäå

 âíóòðåííèé ñèëîâîé ôàêòîð.

19 Ãåîìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé

Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ñå÷åíèå ñ ïëîùàäüþ

. Ñòàòè÷åñêèå ìîìåíòû ïîïåðå÷íîãî

ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî îñåé

, y

dF ; S

Åäèíèöû èçìåðåíèÿ:

[

ñì

]

èëè

[

ìì

]

. Ñòàòè÷åñêèå ìîìåíòû ìîãóò áûòü ïîëîæèòåëüíûìè,

îòðèöàòåëüíûìè èëè ðàâíûìè íóëþ. Îñü, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé ñòàòè÷åñêèé ìîìåíò ðà-

âåí íóëþ, íàçûâàåòñÿ

öåíòðàëüíîé îñüþ

. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ öåíòðàëüíûõ îñåé  öåíòð

òÿæåñòè ôèãóðû. Êîîðäèíàòû öåíòðà òÿæåñòè:

; y

Îñåâûå ìîìåíòû èíåðöèè îïðåäåëÿþòñÿ êàê:

dF ; I

Åäèíèöû èçìåðåíèÿ:

[

]

[

ìì

]

Öåíòðîáåæíûé ìîìåíò èíåðöèè:

Îí ðàâåí íóëþ îòíîñèòåëüíî ãëàâíûõ öåíòðàëüíûõ îñåé.

Ïîëÿðíûé ìîìåíò èíåðöèè:

dF = I

+ I

19.1 Èçìåíåíèå ìîìåíòîâ èíåðöèè ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå

îñåé

Ïóñòü

, S

èçâåñòíû. Ïåðåíåñåì îñè íà ðàññòîÿíèÿ

= x

− a

= y

− b

Ñòàòè÷åñêèé ìîìåíò îòíîñèòåëüíî íîâîé îñè:

dF =

− b)dF =

dF − b

dF = S

− bF

Àíàëîãè÷íî:

= S

− aF

Ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå îñåé ñòàòè÷åñêèé ìîìåíò èçìåíÿåòñÿ íà âåëè÷èíó, ðàâíóþ

ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ íà ðàññòîÿíèå ìåæäó îñÿìè.

Îñåâîé ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî íîâîé îñè

− b)

dF =

− 2y

b + b

)dF

= I

− 2bS

+ b

Åñëè îñè

 öåíòðàëüíûå, òî

= 0

, è ìû ïîëó÷àåì

òåîðåìó Øòåéíåðà

= I

+ b

Ïðè ïåðåõîäå îò öåíòðàëüíîé îñè ê ïàðàëëåëüíîé åé íå öåíòðàëüíîé îñè ìîìåíò èíåðöèè

óâåëè÷èâàåòñÿ íà âåëè÷èíó, ðàâíóþ ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè ôèãóðû íà êâàäðàò ðàññòîÿ-

íèÿ ìåæäó îñÿìè.

Àíàëîãè÷íî äëÿ îñè

(ãäå

 öåíòðàëüíàÿ îñü):

= I

+ a

Äëÿ öåíòðîáåæíîãî ìîìåíòà èíåðöèè òåîðåìà âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:

− a)(y

− b) dF = I

+ abF

(ïðè óñëîâèè, ÷òî èñõîäíûå îñè öåíòðàëüíûå).

19.2 Ïðèìåð: Ïðÿìîóãîëüíîå ñå÷åíèå

Ïóñòü ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå  ïðÿìîóãîëüíèê ñ îñíîâàíèåì

è âûñîòîé

. Íàéä¼ì ìî-

ìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñíîâàíèÿ (îñü

). Âûäåëèì ýëåìåíòàðíóþ ïëîùàäêó

dF =

b · dy

dF =

b dy

= b





Äîìàøíåå çàäàíèå:

Íàéòè ñòàòè÷åñêèé ìîìåíò îòíîñèòåëüíî âûñîòû (

), à òàêæå

ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî öåíòðàëüíîé îñè (

20 Ãåîìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè (ïðîäîëæåíèå)

Ðàññìîòðèì âû÷èñëåíèå ìîìåíòà èíåðöèè

. Èñïîëüçóÿ òåîðåìó î ïàðàëëåëüíîì ïå-

ðåíîñå îñåé, çàïèøåì çàâèñèìîñòü:

= I





· bh

Îòñþäà âûðàçèì èñêîìûé ìîìåíò èíåðöèè öåíòðàëüíîãî ñå÷åíèÿ:

= I

− b

= b

Äëÿ äàëüíåéøèõ ðàñ÷åòîâ, ñîãëàñíî ñõåìàì ñå÷åíèé, íàì òàêæå ïîòðåáóþòñÿ ìîìåíòû

ñîïðîòèâëåíèÿ.

21 Êðó÷åíèå

Ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ äåôîðìàöèè êðó÷åíèÿ. Óñòàíîâëåíî, ÷òî óãîë ñäâèãà

max

âîçðàñòàåò ïî ìåðå óäàëåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ñå÷åíèÿ îò çàäåëêè.

Äëÿ ïîñòðîåíèÿ òåîðèè êðó÷åíèÿ ìû ïðèíèìàåì ðÿä âàæíûõ äîïóùåíèé. Âî-ïåðâûõ,

ðàññìàòðèâàåòñÿ ñòåðæåíü êðóãëîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ. Âî-âòîðûõ, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî

îñü ñòåðæíÿ â ïðîöåññå íàãðóæåíèÿ îñòàåòñÿ ïðÿìîé.

Îäíèì èç êëþ÷åâûõ ïîëîæåíèé ÿâëÿåòñÿ

ãèïîòåçà Áåðíóëëè

(ãèïîòåçà ïëîñêèõ ñå-

÷åíèé). Ñîãëàñíî åé, ïîïåðå÷íûå ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ îñòàþòñÿ ïëîñêèìè è íîðìàëüíûìè

(ïåðïåíäèêóëÿðíûìè) ê îñè ñòåðæíÿ äàæå ïîñëå äåôîðìàöèè. Ïðè ýòîì ðàäèóñû ïîïå-

ðå÷íûõ ñå÷åíèé íå èñêðèâëÿþòñÿ. Òàêæå ìû ïîëàãàåì, ÷òî ìàòåðèàë ñòåðæíÿ ïîä÷èíÿåòñÿ

çàêîíó Ãóêà.

Ðèñ. 2: Ñõåìà íàïðÿæåíèé â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè ïðè êðó÷åíèè

Ôàêòè÷åñêè ïðîèñõîäèò òîëüêî ñäâèã ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî îñè ñòåðæíÿ,

÷òî ïðèâîäèò ê âîçíèêíîâåíèþ êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé. Êàñàòåëüíîå íàïðÿæåíèå

ëþáîé òî÷êå ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ íàïðàâëåíî ïåðïåíäèêóëÿðíî ðàäèóñó

, ïðîâåäåííîìó

â ýòó òî÷êó.

Ýëåìåíòàðíàÿ êàñàòåëüíàÿ ñèëà íà ïëîùàäêå

ðàâíà

df = τ · dF

. Ýòà ñèëà ñîçäàåò

ýëåìåíòàðíûé êðóòÿùèé ìîìåíò:

dM = (τdF)ρ

Ïîëíûé êðóòÿùèé ìîìåíò

â ñå÷åíèè îïðåäåëÿåòñÿ èíòåãðàëîì ïî âñåé ïëîùàäè

M =

τρ dF

(1)

Ñîãëàñíî çàêîíó Ãóêà äëÿ ñäâèãà,

τ = Gγ

, ãäå

 ìîäóëü óïðóãîñòè âòîðîãî ðîäà (ìî-

äóëü ñäâèãà). Ó÷èòûâàÿ ãåîìåòðè÷åñêóþ ñâÿçü äåôîðìàöèé

γ = ρ

dφ

, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå

äëÿ íàïðÿæåíèé:

τ = Gρ

dφ

(2)

Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå (2) â ôîðìóëó (1):

M =



Gρ

dφ



ρ dF = G

dφ

| {z }

Èíòåãðàë

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëÿðíûé ìîìåíò èíåðöèè

êðóãëîãî ïîïåðå÷íîãî

ñå÷åíèÿ. Òàêèì îáðàçîì:

M = G

dφ

⇒

dφ

Âîçâðàùàÿñü ê ôîðìóëå (2), ïîëó÷àåì èòîãîâóþ ôîðìóëó äëÿ ðàñ÷åòà êàñàòåëüíûõ

íàïðÿæåíèé â ëþáîé òî÷êå ñå÷åíèÿ:

τ =

êð

(3)

Ýòî îñíîâíàÿ ôîðìóëà ðàñ÷åòà íà ïðî÷íîñòü ïðè êðó÷åíèè.

21.1 Àíàëèç íàïðÿæåíèé è ãåîìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè

Ýïþðà êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé ïîêàçûâàåò, ÷òî îíè èçìåíÿþòñÿ ïî ëèíåéíîìó çàêîíó

âäîëü ðàäèóñà.



Â öåíòðå ñå÷åíèÿ (òî÷êà

ρ = 0

) íàïðÿæåíèÿ ðàâíû íóëþ:

τ = 0



Ìàêñèìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ âîçíèêàþò íà ïîâåðõíîñòè ñòåðæíÿ:

max

· r

max

Äëÿ ðàñ÷åòîâ èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå ôîðìóëû ïîëÿðíîãî ìîìåíòà èíåðöèè

πd

 äëÿ ñïëîøíîãî ñå÷åíèÿ



− d



 äëÿ êîëüöà (òðóáû)

ãäå

 íàðóæíûé äèàìåòð, à

 âíóòðåííèé.

21.2 Ðàñ÷åò íà ïðî÷íîñòü

Óñëîâèå ïðî÷íîñòè òðåáóåò, ÷òîáû ìàêñèìàëüíîå êàñàòåëüíîå íàïðÿæåíèå íå ïðåâû-

øàëî äîïóñêàåìîãî:

max

≤ [τ]

Äëÿ óäîáñòâà ââîäèòñÿ ïîíÿòèå

ïîëÿðíîãî ìîìåíòà ñîïðîòèâëåíèÿ

max

. Òîãäà

îñíîâíàÿ ðàñ÷åòíàÿ ôîðìóëà ïðèíèìàåò âèä:

max

≤ [τ]

Ïðèáëèæåííûå ôîðìóëû äëÿ

≈ 0, 2d

(ñïëîøíîå ñå÷åíèå)

≈ 0, 2(D

− d

)

(êîëüöåâîå ñå÷åíèå)

Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íà ïðî÷íîñòü àëãîðèòì àíàëîãè÷åí ðàñ÷åòàì íà ðàñòÿæåíèå-ñæàòèå:

îïðåäåëÿåòñÿ êðóòÿùèé ìîìåíò

, âûáèðàåòñÿ ìàòåðèàë è íàõîäèòñÿ òðåáóåìûé äèà-

ìåòð ñå÷åíèÿ.

22 Ðàñ÷åò íà æåñòêîñòü

Ïðè íàëè÷èè êðóòÿùåãî ìîìåíòà ñòåðæíè îáû÷íî ðàññ÷èòûâàþò íå òîëüêî íà ïðî÷-

íîñòü, íî è íà æåñòêîñòü. Îñíîâíûì óñëîâèåì ðàñ÷åòà íà æåñòêîñòü ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åíèå

îòíîñèòåëüíîãî óãëà çàêðó÷èâàíèÿ:

θ =

dφ

≤ [θ]

Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ óãëà çàêðó÷èâàíèÿ, ïîëó÷àåì:

≤ [θ]

Ïîëíûé óãîë çàêðó÷èâàíèÿ

íà äëèíå ñòåðæíÿ

ℓ

âû÷èñëÿåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì:

φ =

ℓ

23 Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ äåôîðìàöèè

Ðàáîòà âíåøíèõ ñèë ïåðåõîäèò â ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ äåôîðìàöèè. Ýëåìåíòàðíàÿ

ðàáîòà îïðåäåëÿåòñÿ êàê

dU =

dφ

. Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî

dφ =

, ïîëó÷àåì:

dU =

Ïîëíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ äåôîðìàöèè ïðè êðó÷åíèè ðàâíà:

U =

2GI

24 Êðó÷åíèå ñòåðæíÿ íåêðóãëîãî ñå÷åíèÿ

Â ñëó÷àå ñòåðæíÿ ñ íåêðóãëûì ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì ãèïîòåçà Áåðíóëëè ïåðåñòàåò ðà-

áîòàòü (ñå÷åíèÿ äåïëàíèðóþò). Çàäà÷à ïåðåñòàåò áûòü ýëåìåíòàðíîé. Îáùåé êâàäðàòóðû

äëÿ ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷ íå ñóùåñòâóåò, ïîýòîìó äëÿ íèõ áûëè ðàçðàáîòàíû ñïåöèàëüíûå

ìåòîäû òåîðèè óïðóãîñòè.

25 Ñïðàâî÷íûå äàííûå: Êðó÷åíèå ïðÿìîóãîëüíîãî ñòåðæ-

íÿ

Â ñëó÷àå êðó÷åíèÿ ñòåðæíÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ, ýïþðû êàñàòåëüíûõ

íàïðÿæåíèé è èõ ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ ðàññ÷èòûâàþòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ñïåöèàëüíûõ

êîýôôèöèåíòîâ. Ìàêñèìàëüíîå êàñàòåëüíîå íàïðÿæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:

max

αhb

ãäå òåêóùåå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ ñâÿçàíî ñ ìàêñèìàëüíûì ÷åðåç êîýôôèöèåíò

τ = ητ

max

Çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ

çàâèñÿò îò ãåîìåòðè÷åñêîãî ñîîòíîøåíèÿ ñòîðîí ñå÷å-

íèÿ

h/b

è ïðèâåäåíû â òàáëèöå:

Òàáëèöà 1: Êîýôôèöèåíòû äëÿ ðàñ÷åòà ïðÿìîóãîëüíîãî ñå÷åíèÿ ïðè êðó÷åíèè

h/b α η h/b α η

1 0,208 1,0 3 0,267 0,753

1,5 0,231 0,859 4 0,282 0,745

1,75 0,239 0,82 6 0,299 0,743

2 0,246 0,795 8 0,307 0,742

2,5 0,258 0,766 10 0,313 0,742

26 Èçãèá ñòåðæíåé

Ïîä èçãèáîì ïîíèìàåòñÿ òàêîé âèä íàãðóæåíèÿ, ïðè êîòîðîì â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè

ñòåðæíÿ âîçíèêàþò èçãèáàþùèå ìîìåíòû. Åñëè èçãèáàþùèé ìîìåíò â ñå÷åíèè ÿâëÿåò-

ñÿ åäèíñòâåííûì âíóòðåííèì ñèëîâûì ôàêòîðîì, òî òàêîé âèä íàãðóæåíèÿ íàçûâàåòñÿ

÷èñòûì èçãèáîì.

Ó ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ìîæíî âûäåëèòü äâå ãëàâíûå ïëîñêîñòè:

. Åñëè ñóùå-

ñòâóåò òîëüêî îäèí èçãèáàþùèé ìîìåíò (

èëè

), òî èìååò ìåñòî ïðÿìîé èçãèá. Â

ñëó÷àå, êîãäà äåéñòâóþò îáà ìîìåíòà (

+ M

), èçãèá íàçûâàåòñÿ êîñûì. Ðàññìîòðèì

äàëåå ïðÿìîé, ïëîñêèé ÷èñòûé èçãèá.

Ïðè äåôîðìàöèè îñü áðóñà èñêðèâëÿåòñÿ. Äëÿ îïèñàíèÿ íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ ïðè-

íèìàåòñÿ ãèïîòåçà ïëîñêèõ ñå÷åíèé (ãèïîòåçà Áåðíóëëè): ïîïåðå÷íûå ñå÷åíèÿ ïîñëå èçãèáà

Ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå

Ðèñ. 3: Ñõåìà ñòåðæíÿ è ñèñòåìà êîîðäèíàò

Ïîïåðå÷íàÿ ñèëà

Q = 0

(×èñòûé èçãèá)

Ðèñ. 4: Ñõåìà íàãðóæåíèÿ ïðè ÷èñòîì èçãèáå

îñòàþòñÿ ïëîñêèìè è ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ê èçîãíóòîé îñè, ïîâîðà÷èâàÿñü âîêðóã îñè

Ýëåìåíòû âåðõíåé ÷àñòè ñå÷åíèÿ (çîíà I) ðàñòÿãèâàþòñÿ, à íèæíåé (çîíà II)  ñæèìàþòñÿ

(èëè íàîáîðîò, â çàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ ìîìåíòà). Ïðè ýòîì ýëåìåíòû ñåòêè îñòà-

þòñÿ îðòîãîíàëüíûìè, è ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïðîäîëüíûå âîëîêíà íå îêàçûâàþò äðóã íà äðóãà

áîêîâîãî äàâëåíèÿ.

Â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè âîçíèêàþò íîðìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ: â çîíå I  ðàñòÿãèâàþùèå,

â çîíå II  ñæèìàþùèå. Êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ â ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèÿõ ïðè ÷èñòîì

èçãèáå îòñóòñòâóþò. Ãðàíèöà ìåæäó ðàñòÿíóòûìè è ñæàòûìè ÷àñòÿìè íàçûâàåòñÿ íåé-

òðàëüíûì ñëîåì, êîòîðûé äîëæåí ñîâïàäàòü ñ ãëàâíûìè öåíòðàëüíûìè îñÿìè ñå÷åíèÿ.

Îáîçíà÷èì ðàäèóñ êðèâèçíû íåéòðàëüíîãî ñëîÿ ÷åðåç

. Ñâÿçü ìåæäó êðèâèçíîé è

óãëîì ïîâîðîòà ñå÷åíèé çàïèñûâàåòñÿ êàê:

dθ

(1)

Ðàññìîòðèì äåôîðìàöèþ âîëîêíà, îòñòîÿùåãî íà ðàññòîÿíèå

îò íåéòðàëüíîãî ñëîÿ.

Àáñîëþòíîå óäëèíåíèå âîëîêíà ñîñòàâëÿåò:

DC − D

′

= dθρ − (ρ + y)dθ = −ydθ.

Òîãäà îòíîñèòåëüíîå óäëèíåíèå:

ε =

−ydθ

= −

Ñîãëàñíî çàêîíó Ãóêà (

σ = Eε

), íîðìàëüíîå íàïðÿæåíèå ðàâíî:

σ = E

(2)

Ýòà ôîðìóëà ïîêàçûâàåò, ÷òî íàïðÿæåíèÿ ìàêñèìàëüíû â êðàéíèõ âîëîêíàõ, à â íåé-

òðàëüíîì ñëîå (

y = 0

) ðàâíû íóëþ.

Ñâÿæåì íàïðÿæåíèÿ ñ âíóòðåííèìè ñèëîâûìè ôàêòîðàìè. Èçãèáàþùèå ìîìåíòû îïðå-

äåëÿþòñÿ èíòåãðàëàìè:

σy dF, M

σx dF.

′

dθ

Íåéòðàëüíûé ñëîé

Çîíà ðàñòÿæåíèÿ

Ðèñ. 5: Äåôîðìàöèÿ ýëåìåíòà áðóñà äëèíîé

Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå (2) â èíòåãðàë äëÿ

dF =

(3)

Äëÿ ìîìåíòà îòíîñèòåëüíî îñè

y · x dF =

yx dF

| {z }

= 0,

òàê êàê äëÿ ãëàâíûõ öåíòðàëüíûõ îñåé öåíòðîáåæíûé ìîìåíò èíåðöèè

= 0

Èç óðàâíåíèÿ (3) âûðàçèì êðèâèçíó:

Ïðèðàâíèâàÿ ýòî âûðàæåíèå ê ïîëó÷åííîìó èç çàêîíà Ãóêà (

), ïîëó÷àåì îñíîâíóþ

ôîðìóëó äëÿ ðàñ÷åòà íàïðÿæåíèé:

=⇒ σ =

· y

Ìàêñèìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ âîçíèêàþò â êðàéíèõ âîëîêíàõ (

max

· y

max

Ââîäÿ ïîíÿòèå ìîìåíòà ñîïðîòèâëåíèÿ ñå÷åíèÿ

max

, ïîëó÷àåì ôîðìóëó äëÿ ïðî-

âåðêè ïðî÷íîñòè:

max

Óñëîâèå ïðî÷íîñòè òðåáóåò, ÷òîáû ìàêñèìàëüíîå ðàñ÷åòíîå íàïðÿæåíèå íå ïðåâûøàëî

äîïóñêàåìîãî:

max

≤ [σ].

Äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ñå÷åíèÿ øèðèíîé

è âûñîòîé

, y

max

→ W

Àíàëîãè÷íî äëÿ îñè

→ W

Äëÿ êðóãëîãî ñå÷åíèÿ äèàìåòðîì

ìîìåíò ñîïðîòèâëåíèÿ ïðèáëèæåííî ðàâåí

W ≈ 0, 1d

Àëãîðèòì ðàñ÷åòà íà ïðî÷íîñòü (Çàäà÷à 12):

1. Îïðåäåëèòü âíóòðåííèå ñèëî-

âûå ôàêòîðû. 2. Íàéòè ìàêñèìàëüíûé èçãèáàþùèé ìîìåíò

max

è ïîïåðå÷íóþ ñèëó. 3.

Âûáðàòü ìàòåðèàë è îïðåäåëèòü äîïóñêàåìîå íàïðÿæåíèå

[σ]

. 4. Âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíò

çàïàñà

. 5. Ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå óñëîâèÿ ïðî÷íîñòè:

max

≤ [σ]

. Â ñëó÷àå ïðîåêòèðî-

âî÷íîãî ðàñ÷åòà (ïîäáîð ñå÷åíèÿ òèïà êâàäðàò) èñïîëüçóåòñÿ îòíîøåíèå ñòîðîí

h/b

27 Ýíåðãèÿ óïðóãèõ äåôîðìàöèé

Ýíåðãèÿ óïðóãèõ äåôîðìàöèé ñòåðæíÿ ïðè èçãèáå.

Ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà âíóòðåííèõ ñèë íà ïåðåìåùåíèè

dθ

ðàâíà:

dU =

Mdθ.

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî óãîë ïîâîðîòà ñâÿçàí ñ ìîìåíòîì çàâèñèìîñòüþ

dθ =

, ïîëó÷àåì

âûðàæåíèå äëÿ ýëåìåíòàðíîé ýíåðãèè:

dU =

2EJ

dz.

Ïîëíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ äåôîðìàöèè ïî âñåé äëèíå ñòåðæíÿ

ℓ

îïðåäåëÿåòñÿ èíòå-

ãðàëîì (èíòåãðàë Ìîðà):

V =

ℓ

2EJ

dz.

Ôîðìóëà ñïðàâåäëèâà è äëÿ èçãèáà îòíîñèòåëüíî äðóãîé îñè.

28 Ïîïåðå÷íûé èçãèá

Ïóñòü êðîìå èçãèáàþùåãî ìîìåíòà ê ñòåðæíþ ïðèëîæåíà íåêîòîðàÿ ïîïåðå÷íàÿ ñèëà

(

Q = 0

). Â ýòîì ñëó÷àå â âûäåëåííîì ýëåìåíòå áóäóò âîçíèêàòü íå òîëüêî íîðìàëüíûå,

íî è êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ. Òàêîå íàãðóæåíèå íàçûâàåòñÿ ïîïåðå÷íûì èçãèáîì.

Âîçíèêíîâåíèå êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé ñîïðîâîæäàåòñÿ ïîÿâëåíèåì óãëîâûõ äåôîð-

ìàöèé (ñäâèãà). Âñëåäñòâèå ýòîãî ïîïåðå÷íûå ñå÷åíèÿ íå îñòàþòñÿ ñòðîãî ïëîñêèìè (äå-

ïëàíàöèÿ ñå÷åíèé), ÷òî ôîðìàëüíî ïðîòèâîðå÷èò ãèïîòåçå ïëîñêèõ ñå÷åíèé. Îäíàêî íà

çíà÷åíèå íîðìàëüíûõ íàïðÿæåíèé èñêðèâëåíèå ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé çàìåòíûì îáðàçîì

íå ñêàçûâàåòñÿ.

Îöåíêà ïîãðåøíîñòè ïðè ðàñ÷åòàõ íà ïðî÷íîñòü ñ ïðèìåíåíèåì ôîðìóë ÷èñòîãî èçãèáà

äëÿ çàäà÷ ïîïåðå÷íîãî èçãèáà ïîêàçûâàåò, ÷òî îøèáêà èìååò ïîðÿäîê îòíîøåíèÿ âûñîòû

ñå÷åíèÿ ê äëèíå ñòåðæíÿ (

h/l

). Îáû÷íî ýòà ïîãðåøíîñòü íå ïðåâûøàåò 10%, ÷òî ñîîò-

âåòñòâóåò ïðèåìëåìîé òî÷íîñòè èíæåíåðíûõ ðàñ÷åòîâ. Ïîýòîìó íà ïåðâîíà÷àëüíîì ýòàïå

ðåøåíèÿ ïðÿìîé çàäà÷è ñëîæíûìè óòî÷íÿþùèìè ôîðìóëàìè ÷àñòî æåðòâóþò.

Äëÿ ðàñ÷åòà êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé ïðè ïîïåðå÷íîì èçãèáå èñïîëüçóþò ôîðìóëó

Æóðàâñêîãî:

τ =

Q · S

∗

· b

ãäå:



∗

 ñòàòè÷åñêèé ìîìåíò îòñå÷åííîé ÷àñòè ïëîùàäè ñå÷åíèÿ;



 øèðèíà (õàðàêòåðíûé ðàçìåð) ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ íà óðîâíå ðàññìàòðèâàåìîãî

ñëîÿ;



 ìîìåíò èíåðöèè âñåãî ñå÷åíèÿ.

Äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ñå÷åíèÿ ìàêñèìàëüíîå êàñàòåëüíîå íàïðÿæåíèå (íà íåéòðàëüíîé

îñè) ñîñòàâëÿåò:

max

Ñðàâíèì åãî ñ ìàêñèìàëüíûì íîðìàëüíûì íàïðÿæåíèåì. Ïóñòü

Q = P

, à ìàêñèìàëüíûé

ìîìåíò

M = P l

(êàê â êîíñîëè). Òîãäà:

max

6P l

Îòíîøåíèå íàïðÿæåíèé:

max

3P/(2bh)

6P l/(bh

)

Òàê êàê äëÿ áàëîê âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå

h ≪ l

, òî

max

< 10%

. Êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ

ìíîãî ìåíüøå íîðìàëüíûõ. Ïîýòîìó ïðè ïîïåðå÷íîì èçãèáå ðàñ÷åò íà ïðî÷íîñòü, êàê

ïðàâèëî, âåäóò ïî ôîðìóëàì ÷èñòîãî èçãèáà, ïðîâåðÿÿ òîëüêî íîðìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ.

29 Ïåðåìåùåíèå â ñòåðæíåâîé ñèñòåìå ïðè ïðîèçâîëü-

íîé íàãðóçêå

Ðàññìîòðèì ñèñòåìó, âêëþ÷àþùóþ çóá÷àòîå êîëåñî, âàë è ïîäøèïíèêè. Äëÿ êîíñîëü-

íîé ñõåìû ðàññìîòðèì îáùèé ñëó÷àé íàãðóæåíèÿ, ïðè êîòîðîì â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè

âîçíèêàþò âñå øåñòü âíóòðåííèõ ñèëîâûõ ôàêòîðîâ.

Àíàëèç áóäåì ïðîâîäèòü íà îñíîâå îáùåãî âûðàæåíèÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè. Îïðåäå-

ëèì ðàáîòó, êîòîðóþ ñîâåðøàþò øåñòü âíóòðåííèõ ñèëîâûõ ôàêòîðîâ è êîòîðàÿ ïåðåõîäèò

â ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ

. Ïðè îïðåäåëåíèè ðàáîòû

áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êàæäîìó èç

ýòèõ øåñòè âíóòðåííèõ ñèëîâûõ ôàêòîðîâ ñîîòâåòñòâóåò ñâîå ïåðåìåùåíèå, íà êîòîðûõ íè

îäèí èç ïÿòè îñòàëüíûõ ðàáîòû íå ñîâåðøàåò. Ñëåäîâàòåëüíî,

ýëåìåíòà ìîæíî ðàññìàò-

ðèâàòü êàê ñóììó íåçàâèñèìûõ ðàáîò êàæäîãî èç øåñòè âíóòðåííèõ ñèëîâûõ ôàêòîðîâ:

dU = dU(M

) + dU(M

) + dU(N) + dU(Q

) + dU(Q

)

Ïîëíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû âûðàæàåòñÿ èíòåãðàëîì ïî äëèíå ñòåðæíÿ

U =

2GJ

2EJ



2EF



2GF



2GF

Ñëàãàåìûå, ñîäåðæàùèå ïðîäîëüíóþ ñèëó

è ïîïåðå÷íûå ñèëû

, îáû÷íî íå ðàññìàò-

ðèâàåì (èìè ïðåíåáðåãàþò èç-çà ìàëîñòè âëèÿíèÿ íà ïåðåìåùåíèÿ ïðè èçãèáå).

29.1 Òåîðåìà Êàñòèëüÿíî

Îïðåäåëèì ïåðåìåùåíèå ÷åðåç òåîðåìó Êàñòèëüÿíî: ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ïîòåíöè-

àëüíîé ýíåðãèè ñèñòåìû ïî ñèëå ðàâíà ïåðåìåùåíèþ òî÷êè ïðèëîæåíèÿ ñèëû ïî íàïðàâ-

ëåíèþ åå äåéñòâèÿ.

∂U

∂P

Çäåñü ìû îïðåäåëÿåì ïåðåìåùåíèå òî÷êè ïðèëîæåíèÿ ñèëû èìåííî ïî íàïðàâëåíèþ

äåéñòâèÿ ýòîé ñèëû (ñ ó÷åòîì îãðàíè÷åíèé).

08.10.25 ã.

29.2 Èíòåãðàë Ìîðà

Ðàññìîòðèì áàëêó (íàïðèìåð, ñ æåñòêîé çàäåëêîé ñëåâà). Ïóñòü â òî÷êå

ïðèëîæåíà

ñèëà

, à â òî÷êå

, ãäå òðåáóåòñÿ íàéòè ïåðåìåùåíèå, ïðèëîæåíà åäèíè÷íàÿ ñèëà

Φ = 1

(èëè

Q = 1

Èñêîìîå ïåðåìåùåíèå

îïðåäåëÿåòñÿ êàê:

∂U

∂P

Åñëè ðàñïèñàòü âûðàæåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè äëÿ êðóòÿùåãî ìîìåíòà è äðóãèõ

ôàêòîðîâ, ïîëó÷èì:

U =

+ ΦM

)

2GJ

dz + ··· +

+ M

· P)

2EJ

+ . . .

Ãäå èíäåêñîì

îáîçíà÷åíû óñèëèÿ îò âíåøíåé íàãðóçêè, à èíäåêñîì

 óñèëèÿ îò

åäèíè÷íîé ñèëû. Äèôôåðåíöèðóÿ ïî îáîáùåííîé ñèëå

è ïîëàãàÿ çàòåì

P = 0

, ïîëó÷àåì

ôîðìóëó äëÿ ïåðåìåùåíèÿ

∂U

∂P



P=0

· M

+ . . .

Ïîëó÷åííûå èíòåãðàëû è îñòàëüíûå ïîäîáíûå ñëàãàåìûå íîñÿò íàçâàíèå èíòåãðàëîâ

Ìîðà. Ïðè ýòîì ìîìåíòû âûðàæàþòñÿ êàê ôóíêöèè îò êîîðäèíàòû

= −P z, M

= −1(l − z)

29.3 Ñïîñîá Âåðåùàãèíà

Ñïîñîá Âåðåùàãèíà ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà Ìîðà, êîãäà îäíà èç ýïþð

ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé. Ðàññìîòðèì èíòåãðàë âèäà:

J =

(l)

(0)

(z) · f

(z) dz

Ïóñòü

(z) = b + kz

 ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ (îäíîçíà÷íàÿ). Íà ãðàôèêàõ ýòî ñîîòâåò-

ñòâóåò ýïþðå ñ ïëîùàäüþ

Ω

(äëÿ

(z)

) è ïðÿìîé ëèíèè äëÿ

(z)

. Òîãäà:

(z) dz

| {z }

Ω

Ω·z

ö.ò.

z }| {

z · f

(z) dz

Âòîðîå ñëàãàåìîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñòàòè÷åñêèé ìîìåíò. Ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå:

J = bΩ

+ kΩ

ö.ò.

= Ω

(b + kz

ö.ò.

) = Ω

· f

ö.ò.

)

Ïðàâèëî Âåðåùàãèíà:

âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà çàìåíÿåòñÿ óìíîæåíèåì ïëîùàäè ïåð-

âîé (êðèâîëèíåéíîé) ýïþðû íà îðäèíàòó âòîðîé (ëèíåéíîé) ýïþðû, âçÿòóþ ïîä öåíòðîì

òÿæåñòè ïåðâîé.

Ω

· f

ö.ò.

)

Òàáëèöà ãåîìåòðè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ýïþð

Ýïþðà Ïëîùàäü

(

Ω

)

Àáñöèññà ö.ò.

Mℓ ℓ/2

Mℓ 2/3ℓ

Mℓ 3/4ℓ

Mℓ ℓ/2

Mℓ 5/8ℓ

Ïðèìåð ðàñ÷åòà

Ðàññìîòðèì çàùåìëåííóþ áàëêó äëèíîé

ℓ

, íàãðóçêà ðàñïðåäåëåíà íà ó÷àñòêå

3/4ℓ

1. Ãðóçîâàÿ ýïþðà

Ñëîæíóþ ôèãóðó ðàçáèâàåì íà ïðîñòûå ÷àñòè: ïðÿìîóãîëü-

íèê è ïàðàáîëè÷åñêèé òðåóãîëüíèê (ñåãìåíò). Êîîðäèíàòû öåíòðîâ òÿæåñòè ÷àñòåé:

3/4ℓ

5/8ℓ

. Âûñîòà ïàðàáîëè÷åñêîãî ñåãìåíòà (ïðîãèá)

f =

qℓ

(äëÿ ó÷àñòêà

qℓ

2. Åäèíè÷íàÿ ýïþðà

Ïðèëîæåíî åäèíè÷íîå óãëîâîå âîçäåéñòâèå (ìîìåíò). Ñî-

îòâåòñòâóþùàÿ îðäèíàòà ïîä öåíòðîì òÿæåñòè ãðóçîâîé ýïþðû íàõîäèòñÿ èç ïîäîáèÿ èëè

ëèíåéíîé ôóíêöèè.

Âû÷èñëåíèå ïåðåìåùåíèÿ:







| {z }

Ω

l +

1 · 15

3 · 32

l ·







(Òðåáóåòñÿ çàâåðøèòü àðèôìåòè÷åñêèé ïîäñ÷åò).

30 Ðàñ÷¼ò íà ïðî÷íîñòü ïðè ñëîæíîì íàïðÿæåííîì ñî-

ñòîÿíèè

Ñîâîêóïíîñòü íàïðÿæåíèé, âîçíèêàþùèõ âî ìíîæåñòâå ïëîùàäîê, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç

ðàññìàòðèâàåìóþ òî÷êó, íàçûâàåòñÿ íàïðÿæåííûì ñîñòîÿíèåì â òî÷êå. Â êîíå÷íîì ñ÷å-

òå âñå ñâîäèòñÿ ê íîðìàëüíûì íàïðÿæåíèÿì. Îñíîâíîé âîïðîñ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, êàê

ñîâìåñòèòü êàñàòåëüíûå è íîðìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ.

Çàêîí ïàðíîñòè êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé:

Íà äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ

ïëîùàäêàõ ñîñòàâëÿþùèå êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé, ïåðïåíäèêóëÿðíûå ê îáùåìó ðåáðó,

ðàâíû è íàïðàâëåíû ëèáî ê îáùåìó ðåáðó, ëèáî îò ðåáðà.

Â êàæäîé òî÷êå íàïðÿæåííîãî òåëà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò, â êîòîðîé

êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ ðàâíû íóëþ. Òàêèå îñè íàçûâàþòñÿ ãëàâíûìè îñÿìè, à ñîîò-

âåòñòâóþùèå èì âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïëîùàäêè  ãëàâíûìè. Íà ýòèõ ãëàâíûõ

ïëîùàäêàõ äåéñòâóþò òðè íîðìàëüíûõ íàïðÿæåíèÿ:

, σ

íàèìåíüøåå (

)

−→

ãëàâíûå íàïðÿæåíèÿ

←−

íàèáîëüøåå (

)

Èçîáðàçèì ýëåìåíòàðíûé êóá â ãëàâíûõ îñÿõ:

Íàèáîëüøåå èç òðåõ ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèì èç âñåõ íàïðÿæåíèé

â äàííîé òî÷êå, à íàèìåíüøåå  íàèìåíüøèì. Â àáñîëþòíîì áîëüøèíñòâå ïðàêòè÷åñêèõ

ñëó÷àåâ ïîëîæåíèå îäíîé èç ãëàâíûõ ïëîùàäîê èçâåñòíî çàðàíåå, ÷òî ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü

äðóãèå ãëàâíûå íàïðÿæåíèÿ.

30.1 Êðóãîâûå äèàãðàììû Ìîðà

Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè Ìîðà ñâÿçûâàåò íîðìàëüíûå (

) è êàñàòåëüíûå (

) íàïðÿæå-

íèÿ:



σ −

+ σ



+ τ



− σ



Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì íà îñè

è ðàäèóñîì

R =

−σ

30.1.1 Ïðèìåð îïðåäåëåíèÿ ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé

Ïóñòü äàíî íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå ýëåìåíòà (ñì. ðèñóíîê íèæå ñëåâà), ãäå

= 40

= 0

(èëè ìàëî),

τ = 30

. Òðåáóåòñÿ íàéòè ãëàâíûå íàïðÿæåíèÿ ñ ïîìîùüþ êðóãà Ìîðà.

40(σ

)

30(τ)

≈ 56σ

≈ −16

Äàíî:

= 0

= 40

τ = 30

. Ðàäèóñ êðóãà Ìîðà:

R =



− σ







√

900 + 400

∼

Ãëàâíûå íàïðÿæåíèÿ:

+ σ

− R = 20 − 36 = −16

(

èëè

) =

+ σ

+ R = 20 + 36 = 56

Òàêèì îáðàçîì:

= −16; σ

= 0; σ

= 56

31 Ãèïîòåçû ïðî÷íîñòè ïðè ñëîæíîì íàïðÿæåííîì ñî-

ñòîÿíèè

15.10.25 ã.

Îáû÷íî óñëîâèå ïðî÷íîñòè çàïèñûâàåòñÿ êàê

max

≤ [σ]

(äëÿ ðàñòÿæåíèÿ) èëè

max

≤

[τ]

(äëÿ êðó÷åíèÿ). Îäíàêî ïðè ñëîæíîì íàïðÿæåííîì ñîñòîÿíèè (êîãäà äåéñòâóþò

, σ

)

òðåáóåòñÿ íàéòè íåêèé áàëàíñ è îòûñêàòü ýêâèâàëåíòíûå íàïðÿæåíèÿ.

Àëãîðèòì ðàñ÷åòà: 1. Îïðåäåëÿåì îïàñíûå íàïðÿæåíèÿ

, σ

. 2. Âûáèðàåì ìàòåðè-

àë ñ èçâåñòíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè (

 ïðåäåë òåêó÷åñòè,

 ïðåäåë ïðî÷íîñòè). 3.

Îïðåäåëÿåì êîýôôèöèåíò çàïàñà

Äëÿ çàäàííîãî ìàòåðèàëà íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå ìîæíî ñðàâíèâàòü ïî ÷èñëîâîé õà-

ðàêòåðèñòèêå ýòàëîííîãî (ýêâèâàëåíòíîãî) íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ. Óäîáíåå âñåãî ïðè-

íèìàòü çà

ýêâ

íàïðÿæåíèå îáû÷íîãî îäíîîñíîãî ðàñòÿæåíèÿ.

Ýêâèâàëåíòíîå íàïðÿæåíèå

(

ýêâ

)  ýòî òàêîå íàïðÿæåíèå, êîòîðîå ñëåäóåò ñîçäàòü

â ðàñòÿíóòîì îáðàçöå, ÷òîáû åãî ñîñòîÿíèå áûëî ðàâíîîïàñíûì ñ çàäàííûì ñëîæíûì

íàïðÿæåííûì ñîñòîÿíèåì.

Êîýôôèöèåíò çàïàñà:

n =

ýêâ

ãäå

 ïðåäåëüíîå íàïðÿæåíèå (

èëè

). Ïðîåêòíûé ðàñ÷åò ñâîäèòñÿ ê óñëîâèþ:

ýêâ

≤ [σ] =

31.1 Îñíîâíûå ãèïîòåçû ïðî÷íîñòè

1. Ãèïîòåçà íàèáîëüøèõ êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé (III ãèïîòåçà, Òðåñêà è

Ñåí-Âåíàíà):

Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðàçðóøåíèå íàñòóïàåò òîãäà, êîãäà ìàêñèìàëüíûå

êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ äîñòèãàþò êðèòè÷åñêîé âåëè÷èíû.

max

− σ

⇒ σ

ýêâ

= σ

− σ

2. Ýíåðãåòè÷åñêàÿ òåîðèÿ (IV ãèïîòåçà, Õóáåðà-Ìèçåñà):

Îñíîâàíà íà óäåëüíîé

ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ôîðìîèçìåíåíèÿ.

ýêâ

√

(σ

− σ

)

+ (σ

− σ

)

+ (σ

− σ

)

3. Òåîðèÿ Ìîðà:

Ó÷èòûâàåò ðàçëè÷èå ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëà ðàñòÿæåíèþ è ñæà-

òèþ.

ýêâ

= σ

− k · σ

Êîýôôèöèåíò

îòðàæàåò ýòî ðàçëè÷èå:

k =

Òð

Òñ

èëè

k =

âð

âñæ

Â îáùåì ñëó÷àå óñëîâèÿ ïðî÷íîñòè ñëåäóåò îïðåäåëÿòü ïî íàèáîëåå îïàñíîé èç òåî-

ðèé, âû÷èñëÿÿ ñîîòâåòñòâóþùåå

ýêâ

. Ñàìîå ñëîæíîå â ðàñ÷åòàõ êîíñòðóêöèé  ýòî ó÷åò

ñîâìåñòíîãî äåéñòâèÿ íîðìàëüíîãî è êàñàòåëüíîãî íàïðÿæåíèÿ.

32 Ñîïðîòèâëåíèå ìàòåðèàëîâ: Íàïðÿæåííûå ñîñòîÿíèÿ

è ðàñ÷åòû

32.1 Ýêâèâàëåíòíûå íàïðÿæåíèÿ (Òåîðèè ïðî÷íîñòè)

Äëÿ îöåíêè ïðî÷íîñòè ìàòåðèàëà ïðè ñëîæíîì íàïðÿæåííîì ñîñòîÿíèè èñïîëüçóþòñÿ

ðàçëè÷íûå òåîðèè ïðî÷íîñòè:

1. Ãèïîòåçà íàèáîëüøèõ êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé (Òðåñêà):

σ =

√

+ 4τ

2. Ýíåðãåòè÷åñêàÿ òåîðèÿ (Ãóáåð-Ìèçåñ-Ãåíêè):

σ =

√

+ 3τ

3. Òåîðèÿ Ìîðà (äëÿ õðóïêèõ ìàòåðèàëîâ):

σ =

1 − k

σ +

1 + k

√

+ 4τ

Íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå ýëå-

ìåíòà:

Êðóã Ìîðà (Ãðàôè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå)

(0)

Öåíòð

R =





+ τ

32.2 Ðàñ÷åò âàëà (Êðó÷åíèå è èçãèá)

Ïðè ðàñ÷åòå âàëà ó÷èòûâàþòñÿ êðóòÿùèé

(

) è èçãèáàþùèé (

) ìîìåíòû.

Ñõåìà íàãðóæåíèÿ:

P l

Ìàêñèìàëüíûå êàñàòåëüíûå íàïðÿæå-

íèÿ:

max

(

 ïîëÿðíûé ìîìåíò ñîïðîòèâëå-

íèÿ)

Äëÿ êðóãëîãî ñå÷åíèÿ:

≈ 0.1d

Ìàêñèìàëüíûå íîðìàëüíûå íàïðÿæå-

íèÿ:

max

(

 ìîìåíò ñîïðîòèâëåíèÿ ñå÷åíèÿ)

Ñå÷åíèå

32.3 Çàäà÷è è ïðèìåðû ðàñ÷åòà

1. Ïîñòðîåíèå ýïþð

Ðàññìîòðèì áàëêó ñ ðàñïðåäåëåííîé íàãðóçêîé è ìîìåíòîì íà êîíöå.

2ℓ ℓ

2pℓ

2. Àíàëèç îïàñíîé òî÷êè è êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé

Íåîáõîäèìî îïèñàòü íàèáîëåå îïàñíóþ òî÷êó è ïîñòðîèòü ýïþðó êàñàòåëüíûõ íàïðÿ-

æåíèé. Â ïðÿìîóãîëüíîì ñå÷åíèè ïðè êðó÷åíèè îïàñíûå òî÷êè ðàñïîëîæåíû ïîñåðåäèíå

äëèííûõ ñòîðîí.

Âîçíèêàþò:



Íîðìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ îò

;



Êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ îò

Ýòî ñîçäàåò ïëîñêîå íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå.

Ôîðìóëû:

íîðìàëüíûå:

êàñàòåëüíûå:

τ =

omc

Ðàñ÷åò ïðÿìîóãîëüíîãî ñå÷åíèÿ:

max

αhb

ãäå

 êîýôôèöèåíò, çàâèñÿùèé îò ñîîòíîøåíèÿ ñòîðîí. Ïðè

= 2 =⇒ h = 2b

êîýôôèöèåíò

α = 0, 246

. Ýòî íàïðÿæåíèå ïîñåðåäèíå äëèííîé ñòîðîíû. Äëÿ ñåðåäèíû

êîðîòêîé ñòîðîíû ïðèìåíÿåòñÿ êîýôôèöèåíò

γ = 0, 795

τ = γτ

max

3. Ñëîæíîå ñîïðîòèâëåíèå (Ðàñ÷åò òî÷êè Â)

Íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå òî÷êè Â (÷àñòíûé ñëó÷àé):

Òî÷êà Â ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå

îïàñíîé. Ðàññ÷èòàåì ìîìåíòû ñîïðîòèâëåíèÿ:

b(2b)

(

îòí. îñè

2b(b)

(

îòí. îñè

Ýêâèâàëåíòíîå íàïðÿæåíèå:

σ = σ

+ σ

2P l

P l

3P l

6P l

Äàëåå ó÷èòûâàåì êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ:

max

4P l

0, 246 · 2b · b

≈ 3, 2

P l

Èòîãîâîå ýêâèâàëåíòíîå íàïðÿæåíèå â òî÷êå Â:

(σ

)

+ 3τ



3P l



+ 3



3, 2

P l



= 6, 3

P l

32.4 Àëãîðèòì ðàñ÷åòà

1. Âûáîð ìàòåðèàëà

→ σ

(ïðåäåë ïðî÷íîñòè) èëè

(ïðåäåë òåêó÷åñòè).

2. Çàäàíèå êîýôôèöèåíòà çàïàñà

n = 1, 5 . . . 2; 2, 5

3. Óñëîâèå ïðî÷íîñòè:

ýêâ

≤

(σ

)

4. Îïðåäåëåíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ

b = . . . ; h = 2b . . .

Äëÿ êðóãëîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ:

Íåò ñìûñëà ñ÷èòàòü

îòäåëüíî. Èñ-

ïîëüçóåòñÿ ñóììàðíûé èçãèáàþùèé ìîìåíò:

+ M

max

, τ

max

êð

33 Îñíîâû âçàèìîçàìåíÿåìîñòè è ìåòðîëîãèÿ

33.1 Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ

Âçàèìîçàìåíÿåìîñòü äåòàëåé, óçëîâ è ïðèáîðîâ ïî ãåîìåòðè÷åñêèì ïàðàìåòðàì îñó-

ùåñòâëÿåòñÿ ñ ó÷¼òîì òðåáîâàíèé åäèíîé ñèñòåìû äîïóñêîâ è ïîñàäîê (íàïðèìåð, ÅÑÊÄ).

Òåðìèíîëîãèÿ:



Âàë

(

)  òåðìèí äëÿ îáîçíà÷åíèÿ íàðóæíûõ èëè îõâàòûâàåìûõ ýëåìåíòîâ äåòàëè.



Îòâåðñòèå

(

)  òåðìèí äëÿ îáîçíà÷åíèÿ âíóòðåííèõ èëè îõâàòûâàþùèõ ýëåìåí-

òîâ äåòàëè.

Ýòè òåðìèíû îòíîñÿòñÿ íå òîëüêî ê öèëèíäðè÷åñêèì ýëåìåíòàì, íî è ê ýëåìåíòàì ëþáîé

ôîðìû.

à) Âàë

á) Îòâåðñòèå

â) Ñîåäèíåíèå

33.2 Ðàçìåðû è ðÿäû ïðåäïî÷òèòåëüíûõ ÷èñåë

Ðàçìåð

 ÷èñëîâîå çíà÷åíèå ëèíåéíîé âåëè÷èíû. Ðàçìåðû áûâàþò:

Íîìèíàëüíûé

 îêîí÷àòåëüíî ïðèíÿòûé ïðè ïðîåêòèðîâàíèè è ïðîñòàâëÿåìûé

íà ÷åðòåæå. Âûáèðàåòñÿ èç ðÿäîâ ïðåäïî÷òèòåëüíûõ ÷èñåë (ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðî-

ãðåññèÿ):

(

√

Q =

√

Ïðèìåðû ðÿäîâ:



R5 : 1, 0; 1, 6; 2, 5; 4, 0; 6, 3; 10, 0 . . .



R10 : 1, 0; 1, 25; 1, 6; 2, 0; 2, 5; 3, 15; 4, 0; 5, 0; 6, 3; 8; 10.

Äåéñòâèòåëüíûé

 ðàçìåð, óñòàíîâëåííûé èçìåðåíèåì ñ äîïóñòèìîé ïîãðåøíî-

ñòüþ.

Ïðåäåëüíûå

 äâà äîïóñòèìûõ ðàçìåðà (

max

, D

min

), ìåæäó êîòîðûìè äîëæåí

íàõîäèòüñÿ äåéñòâèòåëüíûé ðàçìåð.

Ðàñïðåäåëåíèå (Ãàóññ)

Ïðèìåð ñîåäèíåíèÿ (ñ íàòÿãîì)

9, 985

10, 028

33.3 Äîïóñêè è ïðåäåëüíûå îòêëîíåíèÿ

Ïðåäåëüíîå îòêëîíåíèå  àëãåáðàè÷åñêàÿ ðàçíîñòü ìåæäó ïðåäåëüíûì è íîìèíàëüíûì

ðàçìåðàìè.

∆

(ES, es) = D

max

) − D(d)

∆

(EI, ei) = D

min

) − D(d)

Ïðèìåð ðàñ÷åòà:

∆

= 9, 985 − 10 = −15

ìêì

∆

= 9, 973 − 10 = −27

ìêì

Äîïóñê

(èëè

T = D

max

− D

min

= ∆

− ∆

(

âñåãäà

> 0)

33.4 Ñèñòåìû ïîñàäîê è êâàëèòåòû

Ñóùåñòâóþò äâå ñèñòåìû îáðàçîâàíèÿ ïîñàäîê:

Ñèñòåìà îòâåðñòèÿ (

Îñíîâíîå îòâåðñòèå,

EI = 0

. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïîñàäêè

ïîëå äîïóñêà âàëà ïîäáèðàþò ê ïîëþ äîïóñêà îñíîâíîãî îòâåðñòèÿ.

Ñèñòåìà âàëà (

Îñíîâíîé âàë,

es = 0

Òèïû ïîñàäîê: ñ çàçîðîì, ïåðåõîäíûå, ñ íàòÿãîì.

Ñòàíäàðòîì ïðåäóñìîòðåíî 19

êâàëèòåòîâ

(ñòåïåíåé òî÷íîñòè):

01, 0, 1, 2, . . . 17



01, 0, 1

: Êîíöåâûå ìåðû äëèíû.



2, 3, 4

: Êàëèáðû.



: Ïðåöèçèîííîå ïðèáîðîñòðîåíèå.



6, 7, 8

: Ñîïðÿãàåìûå ïîâåðõíîñòè.



9 . . . 17

: Íåñîïðÿãàåìûå ïîâåðõíîñòè.

33.5 Ðàçìåðíûå öåïè

Ðàçìåðíàÿ öåïü  ñîâîêóïíîñòü âçàèìîñâÿçàííûõ ðàçìåðîâ, îáðàçóþùèõ çàìêíóòûé

êîíòóð. Ðàçìåðû îáîçíà÷àþòñÿ çàãëàâíûìè áóêâàìè.

Ðèñ. 6: Ïðèìåðû ðàçìåðíûõ öåïåé

Ðàçìåðû äåëÿòñÿ íà:



Çàìûêàþùèé ðàçìåð

 ïîëó÷àåòñÿ ïîñëåäíèì ïðè îáðàáîòêå èëè ñáîðêå (çàçîð,

íàòÿã).



Ñîñòàâëÿþùèå ðàçìåðû

 âñå îñòàëüíûå. Îíè äåëÿòñÿ íà:



Óâåëè÷èâàþùèå

 ïðè èõ óâåëè÷åíèè çàìûêàþùèé ðàçìåð óâåëè÷èâàåòñÿ.



Óìåíüøàþùèå

 ïðè èõ óâåëè÷åíèè çàìûêàþùèé ðàçìåð óìåíüøàåòñÿ.